Calculadora de logaritmo

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

O argumento, o número do qual se tira o logaritmo. Ele precisa ser positivo: o logaritmo de 0 foge para o infinito negativo, e o logaritmo de um número negativo não é um número real, então a página recusa os dois em vez de imprimir um valor com cara de resposta.

b

A base, o número que é elevado a uma potência. Ela precisa ser positiva e não pode ser 1, porque 1 elevado a qualquer potência continua sendo 1 — o único argumento que tem logaritmo na base 1 é o próprio 1, o que é uma afirmação sobre o 1 e não sobre o argumento, então a equação deixa de carregar informação e a página diz isso.

log_b(x)

O logaritmo na base que você informou, a leitura principal. Ele é o expoente que transforma a base no argumento: o logaritmo de 1.000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1.000. Lendo a página ao contrário, ele também é o número de vezes que a base precisa ser multiplicada por si mesma, e é isso que faz do logaritmo a ferramenta natural para tudo o que se multiplica repetidamente.

ln x

O logaritmo natural, o logaritmo na base e, em que e vale aproximadamente 2,718281828. Ele é calculado com a base fixa em e, independentemente da base que estiver na caixa, e é o logaritmo em que o cálculo diferencial é escrito e o que tem tecla própria numa calculadora científica. Meia-vida e crescimento contínuo saem direto dele.

lg x

O logaritmo decimal, o logaritmo na base 10, também calculado sem olhar para a base que está na caixa. É o logaritmo das ordens de magnitude, e é por isso que ele está por trás do pH, do decibel e da escala Richter. Quando a base informada é 10, esta coluna e a principal mostram o mesmo número, e isso é o ponto, não uma duplicação.

1. O logaritmo de 1.000 na base 10

   1. Base 10, argumento 1.000 — um logaritmo decimal
   2. 10 × 10 × 10 = 1.000, então a base precisa ser multiplicada por si mesma três vezes
   3. O logaritmo é 3, e ele é exato, não arredondado
   4. A coluna do logaritmo decimal mostra 3 também, porque a base informada já é 10

   É o caso com que a página é mais vezes aberta, e a demonstração mais limpa de que um logaritmo é um expoente e não um botão. O logaritmo natural do mesmo argumento é 6,907755, e os dois números não são rivais: eles contam o mesmo fato em duas bases diferentes, e qualquer um deles vira o outro dividindo pelo logaritmo da nova base.

2. O logaritmo de 1.024 na base 2

   1. Base 2, argumento 1.024 — a base em que os computadores são contados
   2. Dobrando dez vezes: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024
   3. Então o logaritmo é 10, e 2 elevado a dez dá 1.024 exatamente
   4. A fórmula de mudança de base dá o mesmo: ln 1.024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   O caso da base 2 é onde o logaritmo deixa de ser um objeto de sala de aula e passa a ser contável: a resposta é quantas duplicações são necessárias, e é por isso que ele aparece desde prefixos binários até a profundidade de uma árvore balanceada. Repare que o logaritmo decimal é 3,0103, e não 3 — 1.024 é um pouco mais que mil, e esse pouco mais é exatamente o que a parte fracionária registra.

3. O logaritmo de 0,5 na base 2

   1. O argumento é menor que 1, então o logaritmo é negativo
   2. 2 elevado a −1 é 1 ÷ 2 = 0,5
   3. O logaritmo é −1 exatamente
   4. Todas as colunas são negativas aqui, inclusive os dois logs com nome próprio

   É a metade da página que um leitor tem mais chance de errar à mão: argumento abaixo de 1 dá logaritmo negativo, e o logaritmo passa por 0 exatamente quando o argumento é 1. Não existe outro argumento com logaritmo zero além do 1, em nenhuma base, e essa é a conferência mais rápida de uma resposta suspeita.

O argumento precisa ser um número real positivo. Argumentos iguais a zero ou negativos são recusados em vez de respondidos: o primeiro foge para o infinito negativo e o segundo é um número complexo, e nenhum dos dois é algo que esta página consiga imprimir. A base precisa ser positiva e não pode ser 1, pelo motivo explicado acima e não como um arredondamento do domínio. A página mostra seis casas decimais, o que é um limite de exibição e não de precisão — a aritmética por trás roda em precisão dupla completa, e a fórmula de mudança de base é calculada em ponto flutuante, então um logaritmo que deveria ser um número inteiro pode sair a um fio de distância dele e é arredondado de volta para a exibição. Esta é uma ferramenta de números reais: logaritmos complexos, os logaritmos de argumentos complexos e os cortes de ramo que vêm com eles ficam fora dela. Ela também não desenha gráficos, não deriva nem integra nada, e a tabela de referência lista apenas logaritmos que dão números inteiros — uma tabela de logaritmos decimais teria de ser localizada, já que 0,301030 se escreve de formas diferentes em cada idioma, enquanto números inteiros se escrevem igual em todos.

O que é um logaritmo?

É o expoente que transforma a base no argumento. Pedir o logaritmo de 1.000 na base 10 é perguntar a que potência o 10 precisa ser elevado para dar 1.000, e a resposta é 3. A definição é só isso: b elevado a log na base b de x é igual a x. Todo o resto a respeito de logaritmos — as regras do produto, do quociente e da potência — decorre dessa frase, e é por isso que a página imprime a forma exponencial embaixo da fórmula.

Por que a base não pode ser 1?

Porque 1 elevado a qualquer potência continua sendo 1. Na base 1, a equação 1 elevado a y igual a x só tem solução quando x é 1, e nesse caso qualquer y serve, então o logaritmo não seria um único número. A aritmética mostra o mesmo pelo outro lado: calcular pela fórmula de mudança de base divide pelo logaritmo da base, e o logaritmo de 1 é 0 em qualquer base, então a divisão é por zero. A página recusa a base 1 em vez de devolver o que a divisão em ponto flutuante produzir.

Posso tirar o logaritmo de um número negativo?

Não como número real, e não nesta página. O logaritmo de um argumento negativo é complexo, e esta é uma ferramenta de números reais. O zero é recusado por outro motivo: o logaritmo de 0 não é indefinido, é ilimitado, fugindo para o infinito negativo conforme o argumento se aproxima de 0 pela direita, e o infinito negativo não é um número que esta página consiga imprimir. As duas recusas dizem qual argumento as causou.

Qual é a diferença entre ln e lg?

São a mesma operação em duas bases com nome. ln é o logaritmo natural, na base e, em que e vale aproximadamente 2,718281828; lg é o logaritmo decimal, na base 10. A página mostra os dois independentemente da base que você informar, porque nenhum é caso particular do outro e os dois são pedidos pelo nome. ln é o que aparece no cálculo diferencial e no crescimento contínuo, e lg é o que está por trás do pH, do decibel e de qualquer escala medida em ordens de magnitude.

Por que a página mostra o mesmo número duas vezes?

Porque você informou uma base que coincide com um dos logs com nome. Com base 10, a coluna principal e a do logaritmo decimal trazem o mesmo número; com base e, a principal e a do logaritmo natural trazem. Isso não é um cálculo duplicado, e sim uma confirmação: é assim que o leitor vê que a base digitada é a base do log que ele tinha em mente. Qualquer outra base dá três números diferentes.

Como conferir um logaritmo à mão?

Eleve a base à resposta e veja se você recupera o argumento. Para o logaritmo de 1.024 na base 2 a resposta é 10, e 2 elevado a dez dá 1.024, então confere. Com uma resposta fracionária a conferência continua valendo, mas fica mais difícil de fazer de cabeça, e é aí que a fórmula de mudança de base da seção de fórmula ganha o seu lugar: dividir dois logaritmos que você já tem é mais fácil do que procurar o expoente.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)