Calculadora de antilogaritmo

x = b^y (b é a base, y o logaritmo, x o argumento)

y

O logaritmo, o expoente de onde se parte. Qualquer valor entre menos mil e mil é aceito, e valores negativos não são um caso especial: um expoente de −2 na base 10 dá 0,01, uma resposta abaixo de 1, que é exatamente o que um logaritmo negativo significa. Expoentes fracionários também são aceitos, e costumam produzir um argumento irracional.

b

A base, o número que é elevado a uma potência. Ela precisa ser positiva, e não pode ser 1. A base 1 falha aqui de um jeito pior do que falha na página do logaritmo: calculada ao contrário, 1 elevado a qualquer potência devolve 1 em silêncio, então uma calculadora sem essa guarda imprimiria um argumento igual a 1 para todo logaritmo digitado. Bases menores que 1 são aceitas e descrevem decaimento, e não crescimento.

b^y

A potência em si, a operação que esta página executa. Tudo o que a página faz é uma potenciação, mais as duas verificações de estouro que decidem se o resultado é um número que ela consegue realmente imprimir. Elevar a base ao expoente é o mesmo que subir a base por uma reta numérica de potências, e é por isso que uma mudança modesta no expoente produz uma mudança enorme na resposta.

x

O argumento, o número do qual o logaritmo original foi tirado, e a única saída da página. Ele é sempre positivo, já que uma base positiva elevada a qualquer potência é positiva — então, ao contrário da página do logaritmo, aqui não há caso de zero ou de negativo a recusar. Quando o logaritmo de entrada é exatamente 0, o argumento é 1, em qualquer base, porque todo número elevado a zero é um.

1. O antilogaritmo de 3 na base 10

   1. Eleve a base ao logaritmo: 10 elevado a 3
   2. 10 × 10 × 10 = 1.000
   3. O argumento é 1.000, exatamente
   4. Conferido na página do logaritmo: o logaritmo de 1.000 na base 10 é 3

   É aqui que o par de páginas fica mais fácil de ver. A calculadora de logaritmo recebe 1.000 e devolve 3; esta página recebe 3 e devolve 1.000. Nenhuma das duas respostas é uma aproximação, e a conferência é uma única potenciação em qualquer direção. Qualquer um dos dois números que um problema entregue, dá para chegar ao outro.

2. O antilogaritmo de um logaritmo negativo

   1. Um expoente negativo significa o inverso da potência positiva
   2. 10 elevado a 2 é 100, então 10 elevado a −2 é 1 ÷ 100
   3. O argumento é 0,01
   4. Um argumento abaixo de 1 sempre significa que o logaritmo era negativo

   Metade do que se pede a um antilogaritmo, e a metade que um leitor mais erra à mão. Qualquer logaritmo negativo dá um argumento entre 0 e 1 — nunca zero e nunca negativo, já que nenhuma potência de uma base positiva alcança qualquer um dos dois. O argumento exatamente igual a 1 é a linha divisória, e corresponde a um logaritmo igual a zero. Vale saber que o painel arredonda em seis casas decimais: com logaritmos muito negativos ele imprime 0,000000, e essa faixa silenciosa está descrita em Limitações.

3. O antilogaritmo de um logaritmo fracionário

   1. Separe o expoente: 10 elevado a 2,5 é 10 ao quadrado vezes a raiz quadrada de 10
   2. 10 ao quadrado é 100 e a raiz quadrada de 10 é aproximadamente 3,162278
   3. 100 × 3,162278 = 316,227766
   4. O valor exato é irracional, então a resposta é arredondada em seis casas decimais

   O caso que distingue um logaritmo de uma tabela de logaritmos: 2,5 não é inteiro, então o antilogaritmo também não é. Escrito exatamente ele é 100√10, um número irracional, e nenhuma quantidade de casas decimais o termina. As seis casas mostradas são um limite de exibição, e não o valor em si.

A base precisa ser positiva e não pode ser 1, pelo motivo acima: calculada nesta direção, a base 1 devolve 1 em silêncio para qualquer entrada, que é justamente a falha que esta página mais precisa evitar. O logaritmo é limitado a mais ou menos mil. Esse limite é o da entrada, e não o ponto em que a conta deixa de caber: com a base 10 o painel ainda imprime 10^302 por extenso, um número de 303 dígitos, e a partir de 303 ele falha — mas com um erro diferente, o do arredondamento final, que estoura antes de qualquer guarda de estouro entrar em ação (essa só dispara em 10^309). Na outra ponta existe uma faixa em que a página imprime 0,000000 sem avisar: tudo o que fica abaixo de 5 × 10⁻⁷ é arredondado para zero nas seis casas decimais, e zero não é o valor. Com a base 10 essa faixa começa em 10^−6,4 e vai até 10^−323; o guard só dispara quando o próprio resultado em ponto flutuante vira zero, o que só acontece em 10^−324 ou abaixo. Zero parece uma resposta perfeitamente comum, e não é: nenhum logaritmo tem zero como argumento, e é por isso que essa faixa silenciosa é uma limitação, e não um arredondamento inofensivo. Mesmo assim, o mesmo teto protege o outro lado: uma base de 1e-15 elevada a 100 estoura para baixo e é recusada, em vez de imprimir Infinity. O resultado é arredondado em seis casas decimais para exibição. Bases menores que 1 são aceitas e dão argumentos menores que 1, que é o caso de decaimento, e não um erro. Bases negativas são recusadas de saída: uma base negativa elevada a um expoente inteiro é um número real, mas elevada a um expoente fracionário não é, e a página aceita expoentes fracionários, então não aceita nenhuma das duas.

O que é um antilogaritmo?

É o número do qual um logaritmo foi tirado. O logaritmo de 1.000 na base 10 é 3, então o antilogaritmo de 3 na base 10 é 1.000. Escrito como fórmula, o antilogaritmo de y na base b é b elevado a y. O nome vem das tabelas impressas, em que o leitor procurava um logaritmo em uma direção e o antilogaritmo na outra.

O antilogaritmo é o mesmo que log inverso?

Sim. Log inverso é o nome mais descritivo: as duas operações se desfazem, então aplicar um logaritmo e depois o inverso dele devolve o número de onde se partiu. Na prática o inverso de um log na base 10 é escrito 10 elevado a x, e o inverso de um log natural é e elevado a x. Esta página calcula esse inverso para qualquer base, e não apenas para as duas que têm nome.

O que acontece quando o logaritmo é negativo?

O argumento sai entre 0 e 1. Um expoente negativo significa o inverso da potência positiva correspondente, então o antilogaritmo de −2 na base 10 é 1 ÷ 100, que é 0,01. Não é um caso extremo a ser tratado à parte — é o comportamento comum de um expoente, e é a única maneira de um antilogaritmo produzir uma resposta pequena.

Por que a base não pode ser 1?

Porque 1 elevado a qualquer potência é 1, então a equação não pode ser resolvida para um argumento específico. A falha é pior nesta direção do que na página do logaritmo: calcular 1 elevado a y não gera erro nenhum, devolve 1 em silêncio, e a página imprimiria um argumento igual a 1 para todo logaritmo digitado. A guarda existe para impedir exatamente isso.

Por que uma base muito pequena é recusada?

Porque a aritmética estoura para baixo. Uma base de 1e-15 elevada a 100 fica muito abaixo do menor número positivo que a precisão dupla consegue representar, então o resultado calculado é zero — e zero parece uma resposta perfeitamente razoável, enquanto na verdade nenhum logaritmo tem zero como argumento. A página recusa a entrada em vez de imprimir um número errado com aparência normal.

O argumento pode ser negativo?

Nunca. Uma base positiva elevada a qualquer potência é positiva, então o argumento de qualquer logaritmo é positivo, e o antilogaritmo também precisa ser. A página garante isso pela construção, e não por uma verificação na saída: as entradas que quebrariam a regra — uma base não positiva ou uma base igual a 1 — são recusadas antes de a potenciação acontecer.

• Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)