Calculadora de meia-vida

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T proporção restante = N ÷ N₀

N₀

A quantidade inicial, o que existia antes de qualquer decaimento. Nesta página ela não tem unidade: gramas, becquerels, átomos e concentrações são todos a mesma entrada, porque a lei do decaimento só pergunta que fração sobrou. Ela precisa ser maior que zero — uma quantidade inicial igual a zero transforma a fração restante em uma divisão de zero por zero, e não em um número pequeno

T

A meia-vida, o tempo que metade do que está presente leva para sumir. É uma propriedade da substância, não da amostra, então não muda quando a quantidade inicial muda. Precisa ser informada na mesma unidade do tempo decorrido; a página não pergunta qual é essa unidade, porque os dois tempos se dividem um pelo outro e a razão não se altera quando ambos são convertidos

t

O tempo decorrido, o intervalo sobre o qual você está perguntando. É medido na mesma unidade da meia-vida e não pode ser negativo — a fórmula rodaria para trás sem reclamar, mas quanto havia antes é outra pergunta, diferente da que este painel foi montado para responder

n = t ÷ T

O número de meias-vidas decorridas, a segunda leitura e a que torna o resto conferível. As meias-vidas são contadas, não decaídas em passos inteiros: 2,5 é um valor perfeitamente comum e significa que a amostra está entre a segunda e a terceira divisão por dois. O painel imprime quatro casas decimais para que 2,9999 e 3 continuem distinguíveis entre si, já que um significa que ainda não se chegou a três meias-vidas e o outro, exatamente três

(½)^n

A fração restante, um meio multiplicado por si mesmo uma vez por meia-vida. É a lei do decaimento inteira: nenhuma constante, nenhuma base além de um meio e nenhuma dependência da substância além da meia-vida. Dez meias-vidas deixam menos de um décimo de por cento, e a fração nunca chega exatamente a zero por mais meias-vidas que passem, embora o cálculo acabe virando zero por esgotamento da precisão dupla

N = N₀ × (½)^n

A quantidade restante, a leitura principal. É a quantidade inicial ajustada por aquela fração, então é uma resposta proporcional e não absoluta: dobrar a quantidade inicial dobra o que resta em qualquer ponto da curva, e a porcentagem não se altera

N ÷ N₀

A fração restante em porcentagem, impressa já com o sinal de porcentagem. É a leitura a citar quando a substância é desconhecida — cerca de 25 por cento restantes dizem tudo o que 2,5 becquerels dizem, desde que a atividade inicial esteja na mesa, e é a única das três que sobrevive a uma mudança na quantidade inicial

Use esta página quando algo decai a uma taxa expressa como meia-vida, que é como o decaimento de tudo que é instável é escrito: um radioisótopo, um remédio sendo eliminado pelo corpo, um poluente se degradando, uma população de coisas morrendo em proporção fixa. Ela também é a página das duas perguntas que aparecem em volta da datação por carbono — quanto do carbono-14 original resta depois de um dado número de anos e a quantas meias-vidas corresponde uma fração medida, sendo essa segunda a etapa que vira uma idade. Recorra à calculadora de crescimento exponencial quando a base não for um meio e vier de uma taxa, que é a mesma lei com outra constante. Recorra à calculadora de tempo de duplicação quando a pergunta for no sentido oposto e a quantidade estiver crescendo, já que duplicar é dividir por dois lido ao contrário. Recorra à calculadora de juros compostos quando o mesmo expoente estiver sendo aplicado a dinheiro, onde a multiplicação acontece em datas marcadas em vez de continuamente.

1. 100 unidades com meia-vida de 5, depois de 15

   1. Meias-vidas decorridas: 15 ÷ 5 = 3
   2. Fração restante: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
   3. Quantidade restante: 100 × 0,125 = 12,5
   4. Em porcentagem: 12,5%

   É a linha que a tabela de referência também traz, e a mais fácil de conferir sem a página: três divisões por dois a partir de 100 dão 50, depois 25, depois 12,5. Essa leitura em passos é exatamente para o que serve a contagem de meias-vidas, e é por isso que a página imprime a contagem ao lado da quantidade — a quantidade sozinha não diz nada sobre em que ponto da curva você está.

2. Carbono-14 com meia-vida de 5.730 anos, depois de 11.460

   1. Meias-vidas decorridas: 11.460 ÷ 5.730 = 2
   2. Fração restante: (½)² = 0,25
   3. Quantidade restante: 1 × 0,25 = 0,25
   4. Em porcentagem: 25%

   É o caso em torno do qual a página foi desenhada, e a razão de os dois campos de tempo não terem seletor de unidade: aqui as unidades são anos, e a meia-vida está muito fora de qualquer lista de horas e semanas. A quantidade inicial é 1 em vez de uma medição real, para que a resposta se leia direto como fração — depois de duas meias-vidas resta um quarto do carbono-14 original, que é a primeira metade do raciocínio em toda datação por radiocarbono.

3. 200 unidades com meia-vida de 4, depois de 10

   1. Meias-vidas decorridas: 10 ÷ 4 = 2,5
   2. Fração restante: (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
   3. Quantidade restante: 200 × 0,176776695… = 35,355339…
   4. Em porcentagem: 17,67767%

   É o caso comum, e o que mostra que as meias-vidas não são contadas em passos inteiros: duas e meia se passaram, então a amostra está entre um quarto e um oitavo do que era no começo. A fração aqui é um número irracional, e é por isso que a resposta vem com decimais — ela só seria exata se o tempo decorrido fosse um número inteiro de meias-vidas. Ler 2,5 como a contagem faz trabalho de verdade: multiplique 12,5 por cento pela raiz quadrada de um meio e você chega aos mesmos 17,68 por cento.

4. 80 unidades com meia-vida de 12, depois de exatamente 12

   1. Meias-vidas decorridas: 12 ÷ 12 = 1
   2. Fração restante: (½)¹ = 0,5
   3. Quantidade restante: 80 × 0,5 = 40
   4. Em porcentagem: 50%

   Uma meia-vida, que é a definição da grandeza sendo conferida e não um caso dela. É a linha a usar quando uma meia-vida foi citada e você quer confirmar que ela significa o que você pensa: qualquer que seja o valor de partida, metade dele some depois desse tempo, e nada na quantidade inicial muda a resposta.

Esta página responde a um sentido só: dadas uma quantidade inicial, uma meia-vida e um intervalo, quanto resta. As perguntas inversas — quanto tempo leva para chegar a uma quantidade dada e qual é a meia-vida conhecendo uma quantidade inicial e uma final — não são campos deste painel, embora as duas saiam da mesma equação e as duas sejam desenvolvidas no bloco de fórmula e nas perguntas abaixo. Não há página de calculadora para nenhuma delas nesta leva, então quem precisar deve rearranjar o expoente em vez de esperar um segundo conjunto de campos. Os dois campos de tempo compartilham uma unidade e a página nunca pergunta qual: informar a meia-vida em dias e o tempo decorrido em horas dá uma resposta errada por um fator de vinte e quatro, e ela volta com aparência completamente normal, que é o único erro desta página que não dá para pegar por dentro. A quantidade inicial não tem rótulo, então a página não converte entre unidades de massa ou de atividade — gramas entram, gramas saem. Não há faixas: quanto resta é uma leitura contínua e a página a imprime em vez de julgá-la. A fração nunca chega a zero, mas o cálculo estoura antes disso: a porcentagem impressa já é 0,000000% a partir de 28 meias-vidas, porque seis casas decimais não conseguem mostrar 2⁻²⁸, e o próprio número em ponto flutuante só vira zero exatamente em 1.075 meias-vidas, quando 2⁻¹⁰⁷⁵ fica abaixo do menor valor que a precisão dupla representa. Esse é um limite da aritmética, não uma afirmação sobre a substância. Por fim, este é um modelo de decaimento por divisões inteiras e supõe que a taxa é constante, que é o que uma meia-vida significa e não vale para tudo que se apaga.

Como descobrir quanto resta depois de um tempo?

Divida o tempo decorrido pela meia-vida para obter o número de meias-vidas e depois divida a quantidade inicial por dois essa quantidade de vezes. Com meia-vida de 5 e tempo decorrido de 15, três meias-vidas se passaram, então a fração restante é 1 ÷ 8 e uma quantidade inicial de 100 deixa 12,5. A página faz a mesma coisa em uma única expressão: a quantidade inicial multiplicada por um meio elevado ao tempo decorrido dividido pela meia-vida.

Quanto tempo até restar apenas uma certa quantidade?

Inverta a equação. Divida a quantidade que você quer alcançar pela quantidade inicial para obter a fração, tire o logaritmo dessa fração na base um meio e multiplique pela meia-vida. Querer um oitavo do original restante significa três meias-vidas, qualquer que seja a substância; querer um quarto significa duas, então uma meia-vida de 5.730 anos põe essa resposta em 11.460 anos. A contagem de meias-vidas é a parte que vale fazer primeiro, porque o resto é uma multiplicação.

Em que unidade a meia-vida e o tempo decorrido devem estar?

Em qualquer uma, desde que os dois estejam na mesma. Os dois tempos se dividem um pelo outro, então uma meia-vida de 5 dias com um tempo decorrido de 15 dias dá exatamente a mesma resposta que 120 horas com 360 horas. A página não tem seletor de unidade de propósito, porque as unidades que as pessoas realmente usam vão de segundos a bilhões de anos e nenhuma lista daria conta de todas. O preço é que misturar unidades não é detectado: dias contra horas dá uma resposta vinte e quatro vezes maior, e ela parece completamente normal.

A resposta chega a zero em algum momento?

Matematicamente não — cada meia-vida remove metade do que está lá, e metade de um número positivo é sempre positiva, então a fração restante se aproxima de zero sem chegar. Na prática ela chega: um computador guarda um número com precisão finita, e por volta de mil meias-vidas o resultado deixa de ser representável e volta como exatamente zero. Isso é a aritmética se esgotando, e não a substância desaparecendo, e acontece muito além de qualquer faixa em que o modelo seja usado a sério.

Qual é a diferença entre meia-vida e constante de decaimento?

As duas descrevem o mesmo decaimento de duas maneiras. A constante de decaimento é a taxa por unidade de tempo no expoente, e a meia-vida é o tempo para metade sumir; as duas se relacionam por um fator igual ao logaritmo natural de dois, com a meia-vida igual a esse logaritmo dividido pela constante de decaimento. Esta página usa a meia-vida porque é assim que os números são publicados — 5.730 anos para o carbono-14, algumas horas para um remédio — enquanto a constante de decaimento é o que aparece se você escrever a mesma lei usando o número e como base.

A quantidade inicial muda o tempo que o decaimento leva?

Não. É justamente esse o ponto de uma meia-vida: ela é uma propriedade da substância, não da amostra. Começar com 200 unidades em vez de 100 significa que sobram 200 vezes dois elevado a menos n em vez de 100 vezes dois elevado a menos n, então toda quantidade ao longo da curva dobra e as porcentagens são idênticas. A contagem de meias-vidas e a fração restante não se movem nem um pouco quando você muda a quantidade inicial.

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Radiocarbon dating — how the remaining fraction of carbon-14 in a sample is turned into an age, which is the step that follows the number this page prints — Wikipedia