Calculadora de tempo de duplicação

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

A taxa de crescimento de um período, escrita como decimal e não como porcentagem: uma taxa de 5 por cento por período entra na fórmula como 0,05. Ela precisa ser positiva, já que uma quantidade que não cresce nunca dobra, e é informada em porcentagem no campo. O que isto descreve é crescimento composto — o crescimento de cada período incide sobre o total, incluindo tudo o que cresceu antes dele, e é isso que torna o tempo de duplicação finito em vez de impossível.

ln 2

O logaritmo natural de dois, aproximadamente 0,693147, e a única constante da fórmula exata. Ele aparece porque dobrar significa que o fator de crescimento chegou exatamente a dois, então a pergunta é quantas multiplicações por (1 + r) são precisas para transformar um em dois — e o logaritmo é a operação que responde a isso.

t

O tempo de duplicação, em períodos, impresso com três casas decimais. Ele não carrega unidade própria: se a taxa informada foi mensal, t é um número de meses; se foi anual, t é um número de anos. A última duplicação é parcial, e é por isso que t não é um número inteiro — depois de 14 períodos a 5 por cento a quantidade está um pouco abaixo do dobro, e ela cruza a marca em algum ponto do décimo quinto.

R

A mesma taxa, mas em porcentagem, que é o número digitado no campo. A regra dos 72 é a aproximação que divide 72 por R, e é a segunda leitura do painel. Ela é precisa perto de 8 por cento, passa por cima da resposta exata nas taxas baixas e passa por baixo nas altas, e existe porque dividir por um número redondo era muito mais fácil de fazer de cabeça do que um logaritmo.

Recorra a esta página quando a taxa de crescimento for dada e o que você quer for o tempo. A calculadora de crescimento exponencial roda o mesmo modelo na direção oposta, partindo de uma quantidade inicial e de um número de períodos; a calculadora de meia-vida é a imagem espelhada, com um fator de um meio no lugar do dois; e a calculadora de juros compostos é a mesma aritmética num contexto de dinheiro, em que a regra prática e não a resposta exata é a manchete.

1. Cinco por cento por período

   1. A taxa como decimal é 0,05, então cada período multiplica a quantidade por 1,05
   2. A resposta exata é ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 períodos
   3. A regra dos 72 dá 72 ÷ 5 = 14,4 períodos
   4. As duas concordam com uma diferença de pouco mais de um período, que é a distância habitual entre a regra e a verdade

   Conferir a resposta é fácil: 1,05 elevado à décima quarta potência dá 1,98, logo abaixo de dois, e à décima quinta dá 2,08, logo acima. Então o cruzamento acontece entre o décimo quarto e o décimo quinto período, exatamente onde 14,207 diz. Vale fazer essa conferência uma vez, porque ela mostra que o decimal é uma posição numa linha de tempo e não um artefato de contabilidade.

2. Um por cento por período

   1. A resposta exata é ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 períodos
   2. A regra dos 72 dá 72 ÷ 1 = 72 períodos
   3. A regra erra por 2,3 períodos aqui, o que a um por cento significa mais de dois períodos extras de espera
   4. O erro é sistemático e não aleatório: a regra dos 72 é calibrada para taxas em torno de 8 por cento e se desvia na ponta baixa

   A distância nas taxas baixas é a razão de as duas leituras aparecerem lado a lado em vez de uma substituir a outra. Uma regra prática que erra por dois períodos ao longo de uma vida de juros compostos é uma diferença real, e ver os dois números é o que diz em qual confiar para a taxa que você tem de fato.

3. Vinte por cento por período

   1. A resposta exata é ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 períodos
   2. A regra dos 72 dá 72 ÷ 20 = 3,6 períodos
   3. Desta vez a regra fica abaixo e não acima, que é o que acontece acima de 8 por cento
   4. A conferência: 1,2 ao cubo é 1,728 e 1,2 elevado à quarta é 2,074, então o cruzamento fica entre o terceiro e o quarto período

   Entre este exemplo e o de um por cento, o erro da regra troca de sinal — superestima nas taxas baixas, subestima nas altas — e isso é a forma da aproximação, não um defeito dela. A taxa em que as duas leituras ficam mais próximas é em torno de 8 por cento, em que a regra dá 9 e a resposta exata é 9,006.

O tempo de duplicação não tem unidade própria. Ele é medido no mesmo período em que a taxa foi medida, então 14,207 são anos se a taxa era anual, meses se era mensal, e minutos se você estava observando bactérias. A página não tem como saber qual, e não vai adivinhar. A taxa precisa ser positiva e fica entre 0,1 e 1.000 por cento por período; o zero é recusado porque nenhuma das duas fórmulas tem resposta para ele, e uma taxa negativa descreve uma quantidade que encolhe, que nunca dobra e pertence à calculadora de meia-vida. A constante 2 é fixa: esta página encontra o tempo de dobrar e não pode ser consultada sobre o tempo de triplicar nem sobre qualquer outro múltiplo. O crescimento é suposto suave e constante, aplicado continuamente e não em passos anuais, que é o modelo habitual mas não é o que um banco realmente faz. A leitura da regra dos 72 é uma aproximação por construção e aparece para comparação, não como resposta, e nenhuma análise do erro entre as duas leituras é dada aqui.

Como se calcula o tempo de duplicação?

Divida o logaritmo natural de 2 pelo logaritmo natural de um mais a taxa. A 5 por cento por período isso é 0,693147 ÷ 0,048790, que dá 14,207 períodos. O logaritmo está fazendo o trabalho porque dobrar é uma multiplicação repetida um número desconhecido de vezes, e o logaritmo é o que transforma isso numa divisão.

O que é a regra dos 72 e ela é exata?

É o atalho que divide 72 pela taxa em porcentagem, então 5 por cento dobra em cerca de 14,4 períodos. Ela é precisa com alguns por cento de erro perto de 8 por cento, superestima o tempo nas taxas baixas — a 1 por cento ela diz 72 contra os 69,661 verdadeiros — e subestima nas altas, em que 20 por cento dá 3,6 contra 3,802. Esta página mostra os dois números para que a distância fique visível na taxa que você tem.

O tempo de duplicação é medido em anos?

Só se a taxa de crescimento que você informou for anual. A taxa é por período e o período é o que você decidir: uma taxa mensal dá uma resposta em meses, uma diária dá em dias, e uma cultura de bactérias que dobra a cada vinte minutos dá uma resposta em unidades de vinte minutos. A página deliberadamente não rotula a saída, porque ela não tem como saber o que você quis dizer.

Por que uma taxa zero ou negativa é recusada?

Porque nada dobra. No zero a quantidade fica onde está para sempre e a regra dos 72 divide por zero; numa taxa negativa a quantidade encolhe e a pergunta honesta passa a ser a meia-vida, e não o tempo de duplicação. Taxas abaixo de 0,1 por cento por período são recusadas pelo mesmo motivo prático, e a calculadora de meia-vida atende o caso do encolhimento.

Qual é a diferença entre isto e o crescimento exponencial?

A direção. Esta página parte de uma taxa de crescimento e devolve um tempo; a calculadora de crescimento exponencial parte de uma taxa e de um número de períodos e devolve a quantidade resultante. O modelo por baixo é o mesmo, então um tempo de duplicação de 14,207 períodos a 5 por cento é exatamente a afirmação de que o fator de crescimento chega a 2 naquele ponto da curva exponencial.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)