Como funciona a regra dos 72?

Divida 72 pela taxa anual e o resultado é, aproximadamente, quantos anos o dinheiro leva para dobrar. A 8% isso dá 9,00 anos e a resposta exata é 9,006 anos, então o atalho é quase perfeito; a 1% ele diz 72 anos quando a resposta exata é 69,661, e a 20% diz 3,60 quando a resposta exata é 3,802. O atalho é uma ferramenta de cálculo mental e esta página mostra o tempo exato de duplicação ao lado dele.

Por que a regra dos 72 é apenas aproximada?

Porque ela troca um logaritmo por uma divisão. O tempo exato de duplicação resolve a equação dos juros compostos para o número de períodos, o que dá o logaritmo natural de dois dividido pelo logaritmo de um mais a taxa. O atalho usa um numerador fixo, e esse numerador fixo só combina bem em uma faixa de taxas: as duas respostas se cruzam entre 7,85% e 7,86% ao ano e se afastam em direções opostas dos dois lados desse cruzamento.

Para que lado a regra dos 72 erra?

Para os dois, dependendo da taxa, e é essa a parte que a maioria das pessoas não espera. Abaixo do ponto de cruzamento o atalho dá uma resposta longa demais: a 1% ele diz 72 anos contra 69,661 exatos, exagerando a espera em mais de dois anos. Acima dele o atalho dá uma resposta curta demais: a 20% ele diz 3,60 contra 3,802 exatos. O sinal do erro muda entre 7%, onde ainda é positivo, e 8%, onde já virou negativo.

O que significa o múltiplo na resposta da regra?

É em quanto o seu dinheiro realmente se transforma se você esperar exatamente o tempo que o atalho mandou. Crescer um saldo a 8% por 9 anos dá 1,9990 vez o seu dinheiro, e não as 2 vezes que a regra insinua; a 20%, esperar os 3,60 anos da regra dá apenas 1,9278 vez. Ele converte o erro de anos em dinheiro, que é a forma na qual o erro realmente custa alguma coisa.

Posso usar a regra dos 72 com uma taxa baixa?

Pode, mas o erro cresce rápido conforme a taxa cai, e cresce na direção de exagerar a espera. A 1% o atalho diz 72 anos enquanto o tempo exato de duplicação é 69,661, uma diferença de mais de dois anos, e um saldo crescendo a 1% por 72 anos termina em 2,0471 vezes o valor inicial. O campo não aceita taxa igual ou abaixo de zero, porque tanto a divisão quanto o logaritmo quebram ali.

A regra dos 72 considera inflação ou imposto?

Não, e o número exato desta página também não. Os dois trabalham sobre a taxa que você digita, então se essa taxa for um rendimento nominal o tempo de duplicação é em dinheiro nominal, e um saldo que dobra em termos nominais ao longo de vinte e quatro anos com inflação de 3% ao ano não dobrou em poder de compra. Vale o mesmo para imposto: um rendimento tributado no caminho é composto a uma taxa efetiva menor, e o tempo de duplicação da taxa líquida é mais longo do que o mostrado aqui.

Calculadora da regra dos 72

Resultado

9,00

Anos para dobrar, regra dos 72

Anos para dobrar, exato: 9,006
Erro da regra dos 72: -0,006
Múltiplo real após os anos da regra: 1,9990

A regra dos 72 é um atalho para saber em quanto tempo o dinheiro dobra: divida 72 pela taxa anual e o resultado é o número de anos. O atalho é realmente útil e é realmente aproximado, e esta página imprime as duas metades dessa frase. A primeira saída é o que a regra diz. A segunda é a resposta exata, que vem de resolver a equação dos juros compostos para o tempo, e não de dividir coisa nenhuma; a terceira é a diferença entre as duas. Essa diferença é o número interessante, porque o sinal dela muda. A 1% ao ano a regra diz 72 anos, enquanto a resposta exata é 69,661 anos, então o atalho exagera a espera em mais de dois anos. A 20% ao ano a regra diz 3,60 anos e a resposta exata é 3,802 anos, então ele subestima a espera. As duas se cruzam entre 7,85% e 7,86% ao ano — medido, com o erro exibido em 0,000 em 7,85% e em −0,001 em 7,86% — e é por isso que 8% é o padrão desta página e que a tabela abaixo traz tanto 7% quanto 8% em vez de escolher um dos dois. A quarta saída reformula o mesmo erro em dinheiro, não em tempo: ela cresce um saldo à sua taxa por exatamente o número de anos que a regra mandou esperar e reporta com quanto você termina. A 8% isso dá 1,9990 vez o seu dinheiro em vez de 2, e a 20% dá apenas 1,9278 vez. Esta página não tenta explicar de onde vem o número 72 — essa é uma pergunta sobre história e convenção, e o que interessa aqui é a aritmética que você consegue conferir. A taxa usada em toda a página é anual, e os valores são lidos na moeda que você usar.

Nove taxas de 1% a 20%: a regra, a resposta exata e a distância entre elas

Taxa (%)	Regra dos 72 (anos)	Exato (anos)	Erro (anos)	Múltiplo na resposta da regra
1	72	69.661	2.339	2.0471
2	36	35.003	0.997	2.0399
5	14.4	14.207	0.193	2.019
7	10.29	10.245	0.041	2.0055
8	9	9.006	-0.006	1.999
10	7.2	7.273	-0.073	1.9862
12	6	6.116	-0.116	1.9738
15	4.8	4.959	-0.159	1.9559
20	3.6	3.802	-0.202	1.9278

Leia a coluna do erro de cima para baixo e veja o sinal mudar, porque é esse o ponto da tabela. A 1% a regra é 2,339 anos longa demais; a distância diminui de forma constante conforme a taxa sobe e passa por 7%, onde ainda é levemente positiva em 0,041, e por 8%, onde já virou negativa em 0,006. O cruzamento medido fica entre 7,85% e 7,86% ao ano, e é por isso que as duas linhas estão aqui: uma tabela que pulasse de 5% para 10% mostraria uma coluna que só fica mais negativa e esconderia o fato de que o atalho é melhor no meio da faixa. Abaixo do cruzamento a coluna do múltiplo fica acima de 2, o que significa que a regra fez você esperar mais do que precisava; acima dele o múltiplo cai abaixo de 2 e continua caindo, e a 20% o atalho deixa você com 1,9278 vez o seu dinheiro em vez de 2.

Fórmula

Regra dos 72: anos para dobrar ≈ 72 ÷ taxa anual; exato: anos = ln(2) ÷ ln(1 + taxa anual ÷ 100)

Taxa anual: A taxa anual em porcentagem — 8 significa oito por cento — que precisa ser maior que zero, porque as duas expressões dividem por algo que desaparece ali
72: O numerador do atalho, escolhido para que a divisão seja fácil de fazer de cabeça nas taxas que as pessoas encontram com mais frequência
ln(2): O logaritmo natural de dois, cerca de 0,6931, que aparece porque dobrar significa resolver (1 + r) elevado a n igual a 2
Anos para dobrar: Quanto tempo o dinheiro leva para dobrar a uma taxa que é composta; o atalho e a resposta exata aparecem lado a lado
Erro: A resposta do atalho menos a resposta exata, que é positiva em taxas baixas e negativa em taxas altas
Múltiplo na resposta da regra: Em quanto o seu dinheiro realmente se transforma se você esperar exatamente o tempo que o atalho mandou, o que fica um pouco abaixo de dois em quase toda taxa

Use o atalho quando você precisa de uma resposta de cabeça no meio de uma conversa, e use o número exato quando a resposta for ser registrada por escrito. Como os dois concordam de perto na faixa onde vivem as taxas mais comuns, o atalho é melhor para planejamento aproximado entre 5% e 10% ao ano, e é pior nos dois extremos: abaixo de cerca de 3% ele exagera bastante a espera, e acima de cerca de 15% ele a subestima. A saída do múltiplo responde a pergunta que o erro em anos levanta mas não resolve, que é se errar por um quinto de ano custa alguma coisa na prática. A 20%, esperar os 3,60 anos da regra em vez dos 3,802 exatos deixa você com 1,9278 vez o seu dinheiro em vez de 2 — uma falta de cerca de 7% do seu ganho, o que vale saber antes de usar o atalho em uma taxa alta.

Exemplos resolvidos

Oito por cento: a taxa em que a regra é quase exata
1. A regra: 72 ÷ 8 = 9,00 anos
2. A resposta exata: ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 anos
3. Erro: 9,00 − 9,006 = −0,006 ano, cerca de dois dias
4. Crescendo a 8% por exatamente 9 anos: 1,08⁹ = 1,9990
Este é o padrão da página porque é o melhor caso da regra, e vale ver como é bom o melhor caso: o atalho erra cerca de dois dias em nove anos. A saída do múltiplo é o sinal de que nem aqui ele é exato — nove anos a 8% compostos dão 1,9990 vez o seu dinheiro, não 2, e são precisos mais alguns dias para fechar esse último milésimo.
Um por cento: a regra exagera a espera em mais de dois anos
1. A regra: 72 ÷ 1 = 72,00 anos
2. A resposta exata: ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 anos
3. Erro: 72,00 − 69,661 = +2,339 anos
4. Crescendo a 1% por 72 anos: 1,01⁷² = 2,0471
Em uma taxa de aplicação conservadora o atalho é generoso quanto ao tempo de espera, e a direção é o oposto do que a maioria das pessoas supõe. O múltiplo torna isso concreto: esperar os 72 anos da regra a 1% deixa você com 2,0471 vezes o seu dinheiro em vez de 2, então os dois anos e pouco extras não foram desperdiçados, apenas passaram do ponto. Este é o maior erro da tabela.
Vinte por cento: agora a regra subestima a espera
1. A regra: 72 ÷ 20 = 3,60 anos
2. A resposta exata: ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 anos
3. Erro: 3,60 − 3,802 = −0,202 ano
4. Crescendo a 20% por 3,6 anos: 1,2^3,6 = 1,9278
Compare com o caso de 1% e o ponto da página fica visível: o erro mudou de sinal. A regra agora promete a duplicação um quinto de ano cedo demais, e quem confia nela termina com 1,9278 vez o seu dinheiro em vez de 2 — cerca de 7% do ganho que esperava. Os dois casos estão deliberadamente muito distantes em taxa e muito próximos no tamanho do erro em anos, e é por isso que o erro em anos é um guia ruim sozinho e que o múltiplo aparece ao lado dele.

Limitações

A regra dos 72 é uma aproximação e esta página não finge o contrário; o que ela faz é dizer o tamanho da aproximação na sua taxa. Ela supõe que a taxa é composta e que permanece a mesma durante todo o período — uma taxa que muda no meio do caminho não tem um tempo de duplicação único, e a regra não tem como expressar um. Funciona apenas com taxa acima de zero, porque tanto a divisão quanto o logaritmo falham em zero, e é por isso que o campo não aceita uma taxa abaixo de um décimo de por cento. Não diz nada sobre imposto ou inflação, então o tempo de duplicação que ela reporta é em dinheiro nominal: com inflação de 3% ao ano, um saldo que dobra em vinte e quatro anos não dobrou no que ele consegue comprar. E descreve um único depósito deixado em paz, então não se aplica a uma série de aportes, onde a aritmética é outra e a resposta é mais curta. Por fim, o atalho é uma regra sobre o número 72, não sobre o seu investimento — a resposta exata é a que se usa quando o número importa, e o atalho é o que se usa quando você está apenas conversando.

Perguntas frequentes

Como funciona a regra dos 72?: Divida 72 pela taxa anual e o resultado é, aproximadamente, quantos anos o dinheiro leva para dobrar. A 8% isso dá 9,00 anos e a resposta exata é 9,006 anos, então o atalho é quase perfeito; a 1% ele diz 72 anos quando a resposta exata é 69,661, e a 20% diz 3,60 quando a resposta exata é 3,802. O atalho é uma ferramenta de cálculo mental e esta página mostra o tempo exato de duplicação ao lado dele.
Por que a regra dos 72 é apenas aproximada?: Porque ela troca um logaritmo por uma divisão. O tempo exato de duplicação resolve a equação dos juros compostos para o número de períodos, o que dá o logaritmo natural de dois dividido pelo logaritmo de um mais a taxa. O atalho usa um numerador fixo, e esse numerador fixo só combina bem em uma faixa de taxas: as duas respostas se cruzam entre 7,85% e 7,86% ao ano e se afastam em direções opostas dos dois lados desse cruzamento.
Para que lado a regra dos 72 erra?: Para os dois, dependendo da taxa, e é essa a parte que a maioria das pessoas não espera. Abaixo do ponto de cruzamento o atalho dá uma resposta longa demais: a 1% ele diz 72 anos contra 69,661 exatos, exagerando a espera em mais de dois anos. Acima dele o atalho dá uma resposta curta demais: a 20% ele diz 3,60 contra 3,802 exatos. O sinal do erro muda entre 7%, onde ainda é positivo, e 8%, onde já virou negativo.
O que significa o múltiplo na resposta da regra?: É em quanto o seu dinheiro realmente se transforma se você esperar exatamente o tempo que o atalho mandou. Crescer um saldo a 8% por 9 anos dá 1,9990 vez o seu dinheiro, e não as 2 vezes que a regra insinua; a 20%, esperar os 3,60 anos da regra dá apenas 1,9278 vez. Ele converte o erro de anos em dinheiro, que é a forma na qual o erro realmente custa alguma coisa.
Posso usar a regra dos 72 com uma taxa baixa?: Pode, mas o erro cresce rápido conforme a taxa cai, e cresce na direção de exagerar a espera. A 1% o atalho diz 72 anos enquanto o tempo exato de duplicação é 69,661, uma diferença de mais de dois anos, e um saldo crescendo a 1% por 72 anos termina em 2,0471 vezes o valor inicial. O campo não aceita taxa igual ou abaixo de zero, porque tanto a divisão quanto o logaritmo quebram ali.
A regra dos 72 considera inflação ou imposto?: Não, e o número exato desta página também não. Os dois trabalham sobre a taxa que você digita, então se essa taxa for um rendimento nominal o tempo de duplicação é em dinheiro nominal, e um saldo que dobra em termos nominais ao longo de vinte e quatro anos com inflação de 3% ao ano não dobrou em poder de compra. Vale o mesmo para imposto: um rendimento tributado no caminho é composto a uma taxa efetiva menor, e o tempo de duplicação da taxa líquida é mais longo do que o mostrado aqui.

Referências

31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)

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