Como se calcula um retorno anualizado?

Divida o valor final pelo valor inicial, eleve esse resultado a um sobre o número de anos e subtraia um. Um retorno total de 60% em cinco anos é um múltiplo de 1,6, e 1,6 elevado a um quinto é 1,09856, então o retorno anualizado é 9,856%. Dividir 60 por 5 dá 12%, que é outro número, sob outra convenção.

Por que o retorno anualizado é menor do que dividir pelos anos?

Porque a composição trabalha sobre uma curva e a divisão trabalha em linha reta. O ganho de cada ano é obtido sobre o ganho do ano anterior, além do valor original, então uma taxa constante que chega ao mesmo ponto final tem de ser menor do que a média do total. Em um ganho, o número composto é sempre o menor dos dois; a distância cresce com o tamanho do retorno e com o comprimento do prazo, chegando a 3,5 pontos percentuais em 200% ao longo de vinte e cinco anos.

Com um prejuízo acontece a mesma coisa?

Sim, mas a comparação se inverte. Quatro anos a menos 50% anualizam para menos 15,910% contra menos 12,5% na divisão, então desta vez o número composto é a perda maior em módulo e o número dividido a disfarça. O motivo é a mesma curva lida na outra direção: recuperar-se de um prejuízo exige um ganho proporcional maior do que o próprio prejuízo, e a taxa anual constante que produz uma redução à metade em quatro anos tem de ser mais íngreme do que um quarto disso.

Qual é a diferença entre esta página e a calculadora de CAGR?

A entrada, e não a aritmética. As duas resolvem a mesma equação e as duas devolvem uma taxa de crescimento anual composta. A página do CAGR recebe dois valores, que é o que você tem ao ler um extrato de conta, e esta recebe uma porcentagem de retorno total e um prazo, que é o que você tem ao ler um relatório de fundo. Nenhuma das duas é mais correta, e as duas páginas apontam uma para a outra para que o leitor entre pelo lado que combina com o papel que tem em mãos.

O número dividido pelos anos está errado?

Não, é uma convenção diferente. Dividir uma taxa periódica pelo período e multiplicar dá o que o regulador de valores mobiliários dos Estados Unidos chama de taxa percentual anual, e isso é usado largamente para cotar e comparar. Simplesmente não é uma taxa composta, então não descreve o que o dinheiro de fato fez ano a ano, e não deve ser comparado com uma taxa de poupança nem com o retorno médio anual anunciado por um fundo, que são números compostos.

O que conta como retorno total?

A variação do valor do dinheiro em si, ou seja, a variação de preço mais os proventos que foram reinvestidos. Se a cota de um fundo subiu 40% e ele ainda pagou dividendos que você reinvestiu, o retorno total passa de 40% e usar só a variação de preço subestima o número anualizado. Proventos recebidos em dinheiro em vez de reinvestidos são outro caso, porque o dinheiro saiu do investimento e não estava lá para compor.

Calculadora de retorno anualizado

Resultado

9,856%

Retorno anualizado

Retorno total dividido pelos anos: 12,000%
Múltiplo de crescimento: 1,6000

Um relatório de fundo diz que o fundo rendeu 60% em cinco anos e a conversa vira imediatamente quanto isso dá por ano. Esta calculadora responde a essa pergunta e, de propósito, responde de uma segunda forma. O resultado principal é o retorno anualizado: a taxa única que, composta a cada ano ao longo do prazo da aplicação, transformaria o seu valor inicial no valor final. Ele não é o retorno total dividido pelo número de anos. Para 60% em cinco anos o retorno anualizado é 9,856%, enquanto a divisão dá 12%, e a diferença não é uma questão de arredondamento — é a diferença entre juros compostos e uma linha reta. Multiplicar um número mensal por doze dá o que o regulador de valores mobiliários dos Estados Unidos chama de taxa percentual anual, uma forma reconhecida de declarar uma taxa que não é a mesma coisa que um retorno anualizado; esta página imprime as duas para que a distância fique visível em vez de discutida. A distância cresce com o tamanho do retorno e com o comprimento do prazo: 60% em cinco anos diferem em 2,1 pontos percentuais, enquanto 200% em vinte e cinco anos dão 4,492% ao ano compostos contra 8% na divisão. A porcentagem que você digita tem de ser o retorno total sobre o dinheiro em si, isto é, a variação de preço mais os dividendos que foram reinvestidos, e não a variação de uma cota publicada. Um prejuízo funciona exatamente do mesmo jeito, e a comparação se inverte: quatro anos a menos 50% anualizam para menos 15,910% contra menos 12,5% na divisão, então na descida a divisão ingênua faz o prejuízo parecer menor.

Um prazo de cinco anos em seis retornos totais

Retorno total (%)	Anualizado (%)	Dividido pelos anos (%)	Múltiplo
20	3.714	4	1.2
40	6.961	8	1.4
60	9.856	12	1.6
80	12.475	16	1.8
100	14.87	20	2
150	20.112	30	2.5

O prazo é de cinco anos em todas as linhas e fica fixo de propósito, para que a única coisa que se move ao descer a tabela seja o retorno total — o outro eixo, o tempo, é o que a página do CAGR varia. Leia as duas colunas do meio juntas: com 20% de retorno total a taxa composta é 3,714% contra 4% na divisão, e em 150% a taxa composta é 20,112% contra 30%, então a distância cresce de 0,3 ponto para quase 10 conforme o retorno aumenta. A última coluna é a mesma informação na unidade que as pessoas usam quando dizem que o dinheiro dobrou: 100% em cinco anos é um múltiplo de 2 e uma taxa composta de 14,870%, e não os 20% que a divisão sugere. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

Retorno anualizado = ((1 + retorno total ÷ 100)^(1 ÷ anos) − 1) × 100

Retorno total: O ganho ou a perda inteira ao longo do prazo, em porcentagem — 60 quer dizer que o dinheiro cresceu sessenta por cento —, incluindo os dividendos que foram reinvestidos
Anos: O comprimento do prazo em anos inteiros, que precisa ser pelo menos um
Retorno anualizado: A taxa anual composta constante que reproduz o retorno total ao longo desses anos; é a resposta principal
Dividido pelos anos: O retorno total repartido igualmente entre os anos, sem composição, que é a convenção da taxa percentual anual e um número diferente
Múltiplo: O valor final dividido pelo valor inicial, que é um mais o retorno total em decimal: 60% é um múltiplo de 1,6

Use sempre que você tiver um retorno total e um prazo e quiser comparar esse resultado com algo cotado por ano — outro fundo, uma taxa de poupança, um índice de referência. É a forma em que os retornos são de fato publicados, porque o retorno médio anual anunciado de um fundo é o número composto e não o dividido, e a regra de divulgação que governa a publicidade de fundos nos Estados Unidos exige esse número em janelas fixas de um, cinco e dez anos. É a medida certa para um valor único aplicado de uma vez e mantido por um período, e depois vendido. Não é a medida certa para uma série de aportes, porque o dinheiro que entra no meio do caminho não ficou aplicado o prazo inteiro; uma conta que cresceu com aportes mensais precisa de um retorno ponderado pelo dinheiro, e esta página vai subestimar ou superestimar esse caso conforme a data em que o dinheiro entrou. Também não é uma previsão: um retorno anualizado passado é a média de um caminho que subiu e desceu, e o fato de um fundo ter composto a 9,856% em cinco anos não diz nada sobre os próximos cinco.

Exemplos resolvidos

60% em cinco anos: 9,856% ao ano, e não 12
1. O dinheiro cresceu para 1,6 vez o valor inicial
2. Anualizado: 1,6^(1 ÷ 5) − 1 = 1,09856 − 1 = 9,856%
3. Dividido pelos anos: 60 ÷ 5 = 12,000%
4. Os dois diferem em 2,144 pontos percentuais
Este é o exemplo padrão da página porque é a frase que as pessoas realmente dizem em voz alta. Cinco anos a 12% compostos dariam 76,2%, e não 60, e o motivo de não darem é que os 12% são uma linha reta enquanto o dinheiro cresceu sobre uma curva. O número da divisão não é um erro — é a convenção por trás de uma taxa percentual anual —, mas é um número diferente, e em uma página que imprime os dois você consegue ver qual deles um prospecto está citando.
Um prejuízo: menos 50% em quatro anos
1. O dinheiro caiu para 0,5 vez o valor inicial
2. Anualizado: 0,5^(1 ÷ 4) − 1 = 0,840896 − 1 = −15,910%
3. Dividido pelos anos: −50 ÷ 4 = −12,500%
4. Os dois diferem em 3,41 pontos percentuais, na direção oposta ao caso do ganho
O sinal da comparação se inverte aqui, e isso pega muita gente. Com um ganho, o número composto é o menor dos dois; com um prejuízo, ele é o maior em módulo, então anualizar faz o prejuízo parecer pior e dividir faz parecer mais brando. Quatro anos a 12,5% ao ano compostos perderiam 41,4% em vez de 50, que é a mesma assimetria vista do outro lado.
Vinte e cinco anos a 200%, onde a distância é maior
1. O dinheiro triplicou, para 3 vezes o valor inicial
2. Anualizado: 3^(1 ÷ 25) − 1 = 1,04492 − 1 = 4,492%
3. Dividido pelos anos: 200 ÷ 25 = 8,000%
4. Os dois diferem em 3,508 pontos percentuais — a maior distância da tabela
Triplicar o dinheiro soa como um triunfo e 4,492% ao ano soa como uma decepção, e os dois são o mesmo evento. É por isso que o prazo precisa estar colado a qualquer retorno total antes de ele significar alguma coisa: 200% em vinte e cinco anos é uma taxa medíocre, os mesmos 200% em oito anos são 14,7% ao ano, e uma porcentagem solta não diz qual dos dois você está olhando.

Limitações

O número vale tanto quanto a porcentagem que você digitou, e essa porcentagem tem de ser o retorno total sobre o dinheiro, e não a variação de um preço publicado. Se um fundo subiu 40% e pagou proventos que você reinvestiu, o retorno total é maior do que 40%, e informar a variação de preço subestima o número anualizado — um erro que produz um número menor e plausível, e por isso nunca parece um erro. O prazo é em anos inteiros, e esta página recusa uma entrada fracionária em vez de arredondá-la; uma posição mantida por dezoito meses tem de ser tratada com o retorno total e um número inteiro de anos, ou com um cálculo ponderado pelo dinheiro. A conta supõe um valor único aplicado no início e intocado até o fim, então aportes ou resgates no meio do caminho a invalidam. Ela supõe também a mesma taxa todo ano, o que nenhum investimento entrega: um retorno anualizado é uma média sobre um caminho, e dois fundos com a mesma média podem ter caminhos bem diferentes. Imposto e inflação ficam de fora — nada aqui é líquido de imposto, e o Brasil tributa ganhos de renda variável e de renda fixa por regras próprias que esta página não aplica. Por fim, nada aqui é previsão: um retorno anualizado passado descreve o que aconteceu, e não é uma taxa que se possa esperar repetir.

Perguntas frequentes

Como se calcula um retorno anualizado?: Divida o valor final pelo valor inicial, eleve esse resultado a um sobre o número de anos e subtraia um. Um retorno total de 60% em cinco anos é um múltiplo de 1,6, e 1,6 elevado a um quinto é 1,09856, então o retorno anualizado é 9,856%. Dividir 60 por 5 dá 12%, que é outro número, sob outra convenção.
Por que o retorno anualizado é menor do que dividir pelos anos?: Porque a composição trabalha sobre uma curva e a divisão trabalha em linha reta. O ganho de cada ano é obtido sobre o ganho do ano anterior, além do valor original, então uma taxa constante que chega ao mesmo ponto final tem de ser menor do que a média do total. Em um ganho, o número composto é sempre o menor dos dois; a distância cresce com o tamanho do retorno e com o comprimento do prazo, chegando a 3,5 pontos percentuais em 200% ao longo de vinte e cinco anos.
Com um prejuízo acontece a mesma coisa?: Sim, mas a comparação se inverte. Quatro anos a menos 50% anualizam para menos 15,910% contra menos 12,5% na divisão, então desta vez o número composto é a perda maior em módulo e o número dividido a disfarça. O motivo é a mesma curva lida na outra direção: recuperar-se de um prejuízo exige um ganho proporcional maior do que o próprio prejuízo, e a taxa anual constante que produz uma redução à metade em quatro anos tem de ser mais íngreme do que um quarto disso.
Qual é a diferença entre esta página e a calculadora de CAGR?: A entrada, e não a aritmética. As duas resolvem a mesma equação e as duas devolvem uma taxa de crescimento anual composta. A página do CAGR recebe dois valores, que é o que você tem ao ler um extrato de conta, e esta recebe uma porcentagem de retorno total e um prazo, que é o que você tem ao ler um relatório de fundo. Nenhuma das duas é mais correta, e as duas páginas apontam uma para a outra para que o leitor entre pelo lado que combina com o papel que tem em mãos.
O número dividido pelos anos está errado?: Não, é uma convenção diferente. Dividir uma taxa periódica pelo período e multiplicar dá o que o regulador de valores mobiliários dos Estados Unidos chama de taxa percentual anual, e isso é usado largamente para cotar e comparar. Simplesmente não é uma taxa composta, então não descreve o que o dinheiro de fato fez ano a ano, e não deve ser comparado com uma taxa de poupança nem com o retorno médio anual anunciado por um fundo, que são números compostos.
O que conta como retorno total?: A variação do valor do dinheiro em si, ou seja, a variação de preço mais os proventos que foram reinvestidos. Se a cota de um fundo subiu 40% e ele ainda pagou dividendos que você reinvestiu, o retorno total passa de 40% e usar só a variação de preço subestima o número anualizado. Proventos recebidos em dinheiro em vez de reinvestidos são outro caso, porque o dinheiro saiu do investimento e não estava lá para compor.

Referências

Annual Return — Investor.gov glossary (the many ways an annual rate can be computed, and which of them is called the A.P.R.) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
17 CFR 230.482 — Advertising by an investment company (the rule that fixes the one, five and ten year average annual total return disclosures) — U.S. Securities and Exchange Commission rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)

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