Calculadora de raízes

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

O radicando, o número do qual se tira a raiz. Ele pode ser negativo quando o índice é ímpar, e pode ser decimal: 2,5 é aceito e a forma exata sai como √2.5, com o decimal preservado embaixo do radical. O que ele não pode é ser fracionário por extenso, e o teto é um bilhão em valor absoluto.

n

O índice da raiz, de 2 a 12. Um índice 1 é a identidade — a primeira raiz de qualquer coisa é ela mesma — e um índice 0 não tem definição, então os dois são recusados em vez de respondidos. O limite superior de 12 é prático: a forma exata funciona achando a maior potência n-ésima perfeita que divide o radicando, e essas ficam raras depressa, de modo que acima de 12 aquela coluna seria quase sempre um radical vazio ao lado de um número enorme

ⁿ√x

A raiz como decimal, a leitura principal, impressa com seis casas quando não é exata. É o valor com que se calcula, e é o que perde informação: 8,485281 não diz se veio de √72 ou de √71,9999, e a forma exata ao lado é o que diz

m · ⁿ√r

A forma exata: qualquer potência n-ésima perfeita que divida o radicando sai do radical e é escrita como um coeficiente na frente de um radical menor. Para √72 isso dá 6√2, porque 72 é 36 × 2 e 36 é um quadrado perfeito. Quando o radicando é uma potência perfeita não sobra nada, o radical desaparece por completo e a resposta é escrita como um número inteiro — que é como a página informa que a raiz foi exata

x^(1/n)

A mesma raiz escrita como potência, que é como ela é calculada. As duas notações são a mesma operação e vale saber disso: o expoente 1/n é a razão de um expoente fracionário ser uma raiz e não algo desconhecido. A calculadora de potenciação aceita essa forma diretamente, e é a página a usar quando o índice não é um número inteiro

√

O sinal de radical sem índice escrito sempre significa a raiz quadrada, e é por isso que a página imprime um √ puro para o índice 2 e ∛ para o índice 3. Depois do 12 a notação fica sem caracteres únicos, então índices maiores são escritos com os algarismos na frente do sinal, e a página coloca um sinal de multiplicação entre o coeficiente e um índice 4 ou maior — 2 × 4√2 — porque 24√2 seria lido como vinte e quatro vezes a raiz quadrada de dois

Recorra a ela quando uma raiz precisar ser simplificada em vez de apenas calculada, que é o que a separa de uma ferramenta de raiz quadrada que só dá decimal: simplificar √72 em 6√2, verificar se um número é um quadrado perfeito, resolver um problema em que a resposta é esperada na forma exata. É também a página para as duas perguntas que sempre aparecem em torno de raízes — qual é a raiz cúbica de um número negativo (um número real, para índices ímpares) e qual é a raiz quarta de alguma coisa. Use a calculadora de potenciação quando o índice não for um número inteiro, já que um expoente fracionário é a mesma operação escrita como potência e aquela página aceita isso diretamente. Use a calculadora de fórmula de Bhaskara quando o radical aparecer dentro de uma fórmula em vez de sozinho, já que o discriminante é uma raiz quadrada e aquela página lê o sinal dele além do valor. Use a calculadora de raiz quadrada ou a de raiz cúbica quando só um dos dois índices interessar, já que cada uma delas traz o material específico do próprio caso.

1. A raiz quadrada de 16

   1. Índice 2, radicando 16 — uma raiz quadrada
   2. 16 é 4 × 4, então é um quadrado perfeito e sai tudo
   3. A raiz é 4, e é exata em vez de arredondada
   4. A forma exata é o número inteiro puro, 4, sem nenhum radical sobrando

   O caso pelo qual a página é mais vezes aberta, e o que mostra como a coluna exata informa sucesso: nenhum radical, nenhum decimal, só o inteiro. Quem só queria saber se 16 é um quadrado perfeito tem a resposta na segunda coluna sem precisar ler a primeira.

2. A raiz quadrada de 72

   1. 72 não é um quadrado perfeito, então a raiz é irracional
   2. O maior quadrado perfeito que divide 72 é 36, já que 72 = 36 × 2
   3. Tirar o 36 do radical deixa 6 fora dele: √72 = 6√2
   4. O valor decimal é 8,485281 com seis casas, e 6√2 é o valor exato

   O exemplo que justifica a página inteira. 8,485281 é uma aproximação e o painel diz isso ao imprimir a forma exata ao lado; uma página concorrente que mostre só o decimal deixou o leitor com um número que não é a raiz quadrada de 72. O 2 que sobrou dentro do radical é também a leitura mais rápida da situação — ainda tem algo ali dentro, então nada saiu exato.

3. A raiz cúbica de 54

   1. Índice 3, radicando 54 — uma raiz cúbica
   2. 54 não é um cubo perfeito, mas 27 o divide: 54 = 27 × 2
   3. Tirar o 27 deixa 3 fora do radical: ∛54 = 3∛2
   4. O valor decimal é 3,779763

   A mesma simplificação com outro índice, e o caso que mostra que a página é uma ferramenta só em vez de duas. O passo que precisa ser feito à mão é achar o maior cubo perfeito abaixo de 54 — 27, e não 8 —, e a tabela de referência desta página é exatamente a lista que torna essa consulta rápida: três ao cubo é 27, quatro ao cubo é 64, e 64 é grande demais.

4. A raiz quarta de 32

   1. 32 é 16 × 2, e 16 é uma quarta potência, já que 16 = 2⁴
   2. Tirar o 16 do radical deixa 2 fora: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. O sinal de multiplicação é escrito porque um índice 4 não tem um sinal de radical de um caractere só
   4. O valor decimal é 2,378414

   Onde a notação precisa de cuidado. Escrever isso como 24√2 seria lido pela maioria das pessoas como vinte e quatro vezes a raiz quadrada de dois, então a página insere um sinal de multiplicação sempre que o índice é 4 ou maior — o coeficiente e o índice são os dois números e algo precisa separá-los. Nem o √ nem o ∛ têm esse problema, e é por isso que o sinal aparece só a partir do índice 4.

5. A raiz cúbica de −54

   1. O radicando é negativo e o índice é ímpar, então a raiz é um número real
   2. O módulo se simplifica exatamente como antes: ∛54 = 3∛2
   3. O sinal é levado para fora, e a forma exata o imprime bem na frente: -3∛2
   4. O valor decimal é -3,779763

   O caso negativo, e o único lugar em que a forma exata tem uma regra própria: o sinal de menos vai na frente da expressão inteira em vez de dentro do radical. É também o ponto de entrada pelo qual a calculadora de potenciação manda as pessoas para cá — aquela página recusa uma base negativa com expoente fracionário porque a aritmética por trás passa por um logaritmo, e esta é a página que trata a mesma pergunta tirando uma raiz.

Um radicando decimal é aceito, mas a simplificação não tem o que fazer com ele. A forma exata sai como √2.5 — o decimal preservado embaixo do radical — porque a simplificação procura potências inteiras que dividam o radicando, e nenhuma divide 2,5. A consequência vale a pena saber de cor: √2.25 tem raiz exata (o valor é 1,500000), mas a forma exata continua sendo √2.25, e não 1,5. Uma fração escrita como fração não é aceita: escreva-a na forma decimal. Radicandos negativos são aceitos apenas para índices ímpares: a raiz cúbica de −8 é −2, mas a raiz quadrada de −4 não é um número real e a página a recusa em vez de imprimir um valor complexo. O índice da raiz é um número inteiro entre 2 e 12; um índice 1 é a identidade e um índice 0 não tem definição, então nenhum dos dois é aceito, e índices fracionários vão para a calculadora de potenciação como potências fracionárias. Raízes que não são exatas ficam impressas com seis casas decimais, o que é um limite de exibição e não de precisão — a aritmética por trás delas é de precisão dupla completa. A forma exata é simplificada até onde dá para tirar potências perfeitas, que é a forma padrão de um radical simplificado, e nada aqui racionaliza denominador: uma raiz dentro de uma fração fica por conta de quem lê. O radicando é limitado a um bilhão em valor absoluto, e esse limite é de custo e não de matemática — a simplificação funciona por divisão tentativa, e um radicando maior deixaria a página lenta ao digitar em vez de errada. A forma exata é impressa como texto puro, sem formatação numérica: com √1000000 ela sai como 1000, sem ponto de milhar, enquanto o decimal ao lado sai como 1.000,000000, com ponto; com √1000000000 ela sai como 10000√10, com o coeficiente sem separador. E o decimal do próprio radicando é preservado com ponto, no padrão do sistema: a forma exata de 2,5 é impressa como √2.5, com ponto, e não como √2,5.

Qual é a diferença entre a forma exata e o decimal?

O decimal é um valor arredondado e a forma exata é o valor em si. A raiz quadrada de 72 é 6√2 exatamente; 8,485281 é quanto isso dá em seis casas, então multiplicar 8,485281 por ele mesmo dá 71,99999… e não 72. A página imprime as duas porque cada uma sozinha engana: o decimal é o valor com que se calcula, e a forma exata é o que diz se a resposta saiu exata.

Como simplifico uma raiz quadrada?

Procure o maior quadrado perfeito que divide o número, tire a raiz dele para fora e deixe o resto dentro. Para 72 esse quadrado é 36, porque 72 = 36 × 2, então √72 = 6√2. Se nenhum quadrado perfeito divide o número — o que acontece com 2, 3, 5, 7 e todos os outros números sem fator primo repetido — o radical não pode ser simplificado e a forma exata é apenas √2.

Posso tirar a raiz quadrada de um número negativo?

Nesta página não, e como número real em lugar nenhum. A raiz quadrada de −4 é 2i, um número complexo, e esta página é uma ferramenta de números reais. Índices ímpares são diferentes: a raiz cúbica de −8 é −2, um número real perfeitamente comum, porque multiplicar três negativos dá um negativo. Então a página aceita −8 com índice 3 e recusa −4 com índice 2.

Posso informar um decimal como radicando?

Pode, e ele é preservado. A raiz quadrada de 2,5 sai como 1,581139 e a forma exata sai como √2.5, com o decimal ainda embaixo do radical — a simplificação procura potências inteiras que dividam o radicando e nenhuma divide 2,5, então não há nada a tirar de lá. Isso tem uma consequência que surpreende: √2.25 tem raiz exata, 1,500000, mas a forma exata continua sendo √2.25, porque a simplificação só reconhece potências inteiras.

O que significa o índice no sinal do radical?

É quantas vezes a raiz precisa ser multiplicada por si mesma para dar o radicando de volta: um índice 3 significa raiz cúbica, então ∛8 é 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Nenhum índice escrito significa 2, e é por isso que esta página imprime um √ puro para raízes quadradas e ∛ para raízes cúbicas. Um índice 1 devolveria o número sem mudança e um índice 0 não tem sentido, então a página começa em 2.

Raiz cúbica é o mesmo que elevar a um terço?

É, e é assim que a página calcula. A raiz enésima de x é x elevado a 1/n, então a raiz cúbica de 54 é 54 elevado a 0,3333…, que dá 3,779763. As duas notações descrevem uma operação só. Elas se separam em bases negativas: a forma com expoente passa por um logaritmo e recusaria −54, enquanto tirar uma raiz ímpar dele é direto, e é por isso que a calculadora de potenciação manda esses casos para cá.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)