Calculadora de raiz quadrada

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

O radicando, o número embaixo do sinal do radical. Ele não pode ser negativo: um radicando negativo não tem raiz quadrada real, já que elevar qualquer número real ao quadrado dá um resultado não negativo, então a página o recusa e aponta para as raízes de índice ímpar na calculadora de raízes. O zero é aceito — a raiz quadrada de 0 é 0. O teto é um milhão, e a razão é o custo da simplificação e não a matemática: a página procura o quadrado perfeito por tentativa e erro, e acima disso a conta deixaria de ser algo que roda a cada tecla digitada.

m²

O maior quadrado perfeito que divide o radicando: 4, 9, 16, 25, 36 e por aí. Achá-lo é a simplificação inteira, e a página procura de cima para baixo, de modo que o primeiro fator que encontra já é o maior. Para 72 esse fator é 36, que deixa 2 atrás, embaixo do radical.

m

A raiz quadrada desse quadrado perfeito, que sai para a frente do sinal do radical: 6 no caso do 72. Quando o coeficiente é um número inteiro diferente de 1 ele é impresso normalmente, e a forma exata se lê 6√2. Quando é 1 o coeficiente é omitido em vez de impresso, porque 1√2 não é como esse número se escreve.

r

O que sobra embaixo do radical depois que todo fator quadrado saiu. Ele é livre de quadrados, ou seja, nenhum quadrado perfeito o divide, e é exatamente isso que torna a forma final. Se não sobrar nada — se o radicando já era um quadrado perfeito — o sinal do radical desaparece por completo e a forma exata passa a ser um número, como acontece com a raiz quadrada de 144.

√x

O valor decimal, informado com seis casas. É o mesmo número que a forma exata vale — 6√2 é 8,485281 — e ele é impresso ao lado dela em vez de no lugar dela, porque as duas respondem a perguntas diferentes. O decimal é com o que se mede; a forma exata é com o que se demonstra.

1. Simplificando a raiz quadrada de 72

   1. Procure o maior quadrado perfeito que divide 72
   2. 36 divide: 72 ÷ 36 = 2, então 72 = 36 × 2
   3. A raiz quadrada de 36 é 6, que sai para a frente: √72 = 6√2
   4. Avaliar a forma exata dá 8,485281

   O caso que justifica o painel de duas colunas. Como decimal, √72 é 8,485281 e não há mais nada a dizer sobre ele; como forma exata é 6√2, que mostra de imediato que elevá-lo ao quadrado devolve 72 exatamente. A verificação cabe em uma linha: 6√2 ao quadrado é 36 × 2, que é 72.

2. Um radicando com uma casa decimal

   1. Um radicando decimal é primeiro transformado em fração: 1,5 = 3/2
   2. Reparta a raiz entre numerador e denominador com √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
   3. Isso dá √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. O decimal é 1,224745

   A forma exata usa um sinal de divisão em vez de uma barra de propósito. Escrita como √6/2 a linha fica ambígua — ela se lê tanto como a raiz quadrada de seis dividida por dois quanto como a raiz quadrada de seis meios, que é √3. A página imprime √6 ÷ 2 para que só exista uma leitura. Este é o caso que a calculadora de raízes deliberadamente não aceita, já que ela exige radicandos inteiros.

3. Um decimal que acaba sendo um quadrado perfeito

   1. 2,25 como fração é 9/4
   2. As duas partes são quadrados perfeitos: √9 = 3 e √4 = 2
   3. Não sobra nada embaixo do radical, então a forma exata é a fração 3/2
   4. Como decimal é 1,5

   Quando o radical se esvazia, a forma exata deixa de ser um radical — passa a ser uma fração comum, e é esse o sinal de que o radicando era um quadrado perfeito. Vale preferir a forma exata 3/2 a 1,5 em qualquer conta posterior, já que multiplicar por 3 e dividir por 2 mantém tudo exato onde o decimal não manteria.

O radicando não pode ser negativo: a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, e elevar um número real ao quadrado nunca produz um. O zero é aceito e dá zero. O radicando é limitado a duas casas decimais, e uma terceira casa é recusada em vez de arredondada — a simplificação funciona transformando o decimal em fração e depois dividindo por tentativa, e cada casa decimal a mais multiplica o trabalho por dez, então a página informa o limite em vez de imprimir em silêncio uma forma simplificada que pertence a um número ligeiramente diferente. A forma exata é uma notação e não um número: ela é escrita do mesmo jeito em todos os idiomas, já que um sinal de radical e um sinal de divisão não carregam palavra nenhuma. O decimal, em contrapartida, é arredondado em seis casas, o que é um limite de exibição e não de precisão. Essa diferença se vê no próprio painel: a forma exata é impressa como texto puro, sem formatação numérica, então a raiz de 1000000 sai como 1000, sem ponto de milhar, enquanto o decimal ao lado sai como 1.000,000000, com ponto; a raiz de 144 sai como 12 ao lado de 12,000000. Também convivem na mesma coluna o sinal ÷ e a barra de fração — √6 ÷ 2 e 3/2 —, e o ÷ está ali justamente porque √6/2 admitiria duas leituras. A página tem índice fixo dois: ela só simplifica raízes quadradas. Raízes cúbicas, raízes quartas e qualquer outro índice, incluindo as raízes de índice ímpar de números negativos, ficam na calculadora de raízes, para a qual esta página aponta. E um radicando que tenha sido escrito como fração não é aceito: escreva-o na forma decimal, como 1,5.

O que simplificar uma raiz quadrada faz, de fato?

Tira o maior quadrado perfeito de debaixo do sinal do radical. A raiz quadrada de 72 é o mesmo número que 6√2 — nada foi aproximado nem arredondado —, mas 6√2 é a maneira mais limpa de escrevê-lo e é a forma que continua exata quando entra em contas posteriores. Simplificar nunca muda o valor, só a grafia.

Como sei que uma raiz quadrada está totalmente simplificada?

Quando não sobra embaixo do radical nada que um quadrado perfeito divida. Em 6√2 o 2 é livre de quadrados: 4 não o divide, 9 não o divide, e nenhum quadrado maior também não, então a forma é final. É também assim que a página decide quando parar — ela procura o maior fator quadrado, de cima para baixo, e para no primeiro que encontra.

Por que a forma exata é escrita com um sinal de divisão?

Porque a barra seria ambígua. √6/2 se lê tanto como a raiz quadrada de seis dividida por dois quanto como a raiz quadrada de seis meios, e esses são números diferentes — o segundo é √3. Imprimir √6 ÷ 2 deixa uma leitura só. É a mesma razão de o coeficiente ser omitido quando é 1: a notação é escolhida para não poder ser mal lida, e não para ser curta.

Posso informar um radicando decimal?

Pode, até duas casas decimais. A página transforma o decimal de volta em fração e tira a raiz do numerador e do denominador separadamente, usando √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. A raiz quadrada de 1,5 é √6 ÷ 2, e a de 2,25 é exatamente 3/2. Uma terceira casa decimal é recusada, porque cada casa a mais multiplica a divisão por tentativa por dez.

Por que a raiz quadrada de um decimal às vezes sai como fração?

Quando o radicando é ele mesmo o quadrado perfeito de uma fração, não sobra nada embaixo do radical e a forma exata se reduz a uma fração comum — a raiz quadrada de 2,25 é 3/2. É a mesma regra de um radicando inteiro que é quadrado perfeito, em que a forma exata se reduz a um número inteiro: se o radical se esvazia, não sobrou nada em volta do que escrevê-lo.

Por que um radicando negativo é recusado aqui?

Não existe número real que ao quadrado dê um número negativo, então a raiz quadrada de um radicando negativo não é um número real. Toda raiz desta página tem índice fixo dois, então não há uma metade de índice ímpar em que negativos seriam aceitos. A calculadora de raízes aceita a raiz cúbica de números negativos, porque uma potência ímpar de um número negativo continua negativa, e esta página aponta para lá.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)