Calculadora de fórmula de Bhaskara

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

O coeficiente de x². Ele não pode ser zero: com a igual a zero a equação é uma reta disfarçada, tem uma raiz única em vez de duas, e as fórmulas da soma e do produto dividem as duas por a. A página recusa essa entrada em vez de responder a outra pergunta, e a explicação de por que ela é recusada é este parágrafo — o aviso mostrado no painel é genérico e não nomeia coeficiente nenhum

b

O coeficiente de x. O sinal dele é o que o mais ou menos da fórmula lê, e é também onde mora o risco de cancelamento: quando b é grande e as duas raízes estão distantes uma da outra, subtrair uma raiz quadrada da outra joga dígitos fora. A página evita essa subtração em vez de torcer para que não faça diferença

c

O termo constante. Ele é o produto das duas raízes multiplicado por a, que é a conferência mais rápida disponível sem a calculadora: se as raízes que você esperava não se multiplicam para dar c ÷ a, há algo errado mais acima. Quando c é zero, uma raiz é zero e a outra é −b ÷ a, o que sai da fórmula sem nenhum caso especial

Δ = b² − 4ac

O discriminante, o número único que decide o formato da resposta. Positivo significa duas raízes reais distintas, zero significa uma raiz real repetida, negativo significa que as raízes são complexas e vêm como par conjugado. A página o usa duas vezes — uma para escolher quais raízes calcular, outra para escolher o selo acima do resultado — e as duas leituras saem do mesmo valor, então não têm como discordar

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

A fórmula de Bhaskara propriamente dita. O mais ou menos produz as duas raízes a partir de uma única expressão, e a raiz quadrada é o único passo que pode falhar nos números reais: um Δ negativo não tem raiz quadrada real, que é exatamente o caso que a página ainda responde, em números complexos. A divisão por 2a é a razão de a não poder ser zero

x₁ + x₂ = −b ÷ a

A soma das raízes, conhecida como uma das relações de Girard. Vale a pena imprimi-la porque ela atravessa o caso complexo intacta: as raízes de x² − 2x + 5 são 1 + 2i e 1 - 2i, e ainda assim somam 2. Quem desconfiar que a página está inventando respostas quando o discriminante é negativo pode conferir essa coluna e encontrá-la coerente com a equação que digitou

x₁ · x₂ = c ÷ a

O produto das raízes, a segunda das relações de Girard, e a conferência que pega um erro de sinal no termo constante. Para uma equação com a igual a 1 ele é simplesmente c: x² − 3x + 2 se fatora como (x − 1)(x − 2), então as raízes se multiplicam para dar 2 e a soma é 3. Assim como a soma, ele não se altera quando as raízes são complexas

b² − 4ac = 0

O caso de fronteira, em que as duas raízes colapsam em uma e a página imprime o mesmo valor nas duas linhas. Não é uma raridade: é a condição para um trinômio quadrado perfeito, então aparece em todo exercício de fatoração. O selo acima do resultado muda para dizer isso, e é o único lugar da página em que a contagem de raízes é dita em palavras

Use-a para qualquer equação com um termo x² da qual você queira as raízes, o que na prática cobre três situações: um exercício em que a fatoração não é óbvia, um modelo físico cujos coeficientes vêm de medições e portanto não têm fatoração disponível, e um caso em que se sabe que a resposta é complexa e o tratamento só com raízes reais não deixaria nada nas mãos. Ela também é a ferramenta para conferir uma fatoração que você já fez: a soma e o produto das raízes são impressos, então (x − 1)(x − 2) pode ser confirmado sem desfazer o produto. Recorra à calculadora de coeficiente angular quando a der zero — aquilo é uma reta, e a página que trata ax + by = c é a que responde. Recorra à calculadora de raiz quadrada quando a operação de que você precisa for de fato uma raiz quadrada, já que o discriminante sob o radical é uma raiz quadrada como qualquer outra e as regras para índices maiores estão lá. Recorra à calculadora de potência quando x² estiver sendo calculado em vez de resolvido, que é a diferença entre avaliar uma quadrática e descobrir onde ela se anula.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. O discriminante: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ é positivo, então as duas raízes são reais e distintas
   3. √Δ = 1, então as raízes são (3 + 1) ÷ 2 = 2 e (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. A ordem decrescente põe 2 na primeira linha, e as conferências batem: 2 + 1 = 3 e 2 × 1 = 2

   É a equação com que a maioria dos leitores chega, e a que se fatora de forma limpa como (x − 1)(x − 2) — então todo número do painel pode ser confirmado refazendo o produto dos fatores. É também o caso em que a resposta parece fácil demais para valer uma calculadora, e é justamente esse o ponto: o painel está mostrando o serviço numa questão cuja resposta você já sabe, e as mesmas cinco linhas voltam para uma que você não sabe.

2. x² − x − 1 = 0

   1. O discriminante: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ é positivo mas não é um quadrado perfeito, então as raízes são irracionais
   3. √5 = 2,2360679…, então as raízes são (1 + 2,2360679…) ÷ 2 e (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Com seis casas decimais: 1,618034 e −0,618034

   A razão áurea, e o caso que mostra por que a página só imprime frações quando elas são exatas. Não existe fração igual a (1 + √5) ÷ 2, então a resposta é decimal — e quem vê 1,618034 sabe que houve arredondamento, ao passo que o mesmo número escrito como fração pareceria exato. As duas raízes também se multiplicam para dar exatamente −1, que é o tipo de coincidência que confirma a aritmética em vez da entrada.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. O discriminante: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, então as raízes são (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 e (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. A primeira raiz é exata como fração, então é impressa como 1/2 e não como 0,5
   4. As conferências: 1/2 + (−2) = −1,5 e 1/2 × (−2) = −1

   É o caso que decide como a página imprime raízes. As duas raízes são exatamente representáveis, e a menor é inteira enquanto a maior é fração — então quem supusesse que as raízes saem sempre em decimal erraria na primeira linha e acertaria na segunda. A soma e o produto são o que torna a fração legível: −1,5 não é obviamente a soma de 1/2 com −2 antes de você fazer a conta, e fazê-la leva uma linha.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. O discriminante: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ é negativo, então as raízes são complexas e vêm como par conjugado
   3. A parte real é −b ÷ 2a = 1 e a parte imaginária é √16 ÷ 2 = 2
   4. As duas raízes são impressas, e as relações de Girard continuam valendo: elas somam 2 e se multiplicam para dar 5

   É onde esta página se separa das que imprimem não há raízes reais e param. As duas raízes são números perfeitamente definidos, e as duas colunas de conferência provam isso: 2 e 5 são a soma e o produto que a equação exige, e os mesmos valores voltariam se as raízes fossem reais. Quem ouviu que não existe resposta deveria ler as duas últimas linhas deste exemplo antes de acreditar nisso.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. O discriminante: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ é exatamente zero, então as duas raízes coincidem
   3. A raiz repetida é −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. A página imprime 2 nas duas linhas, e a soma é 4 porque a raiz é contada duas vezes

   É a fronteira para a qual o selo existe. A equação é (x − 2)², então as duas linhas dizem 2 e nada no par parece um erro — mas quem contasse as linhas concluiria que há duas raízes quando há uma. O selo acima do resultado diz uma raiz real repetida, e a soma ser 4 em vez de 2 é a aritmética concordando com o veredito.

Esta página resolve equações do segundo grau e para por aí. Equações cúbicas, quárticas e equações com um termo x⁴ têm métodos próprios e páginas próprias em outro lugar; nada aqui se estende a elas. Um coeficiente líder igual a zero é recusado em vez de tratado em silêncio como equação linear, então bx + c = 0 precisa ir para a calculadora de coeficiente angular, que dá conta desse formato. Quando o discriminante é negativo, as raízes são impressas como números complexos na forma a ± bi, o que basta para ler e conferir, mas não é uma ferramenta completa de aritmética complexa — multiplicar dois deles à mão é com você. As raízes são impressas com seis casas decimais quando são irracionais, o que é um limite de exibição e não de precisão: o cálculo por trás delas é de precisão dupla completa e o arredondamento acontece só na saída. A ordem das duas raízes é fixada por convenção e não pela fórmula, então uma página ou um livro que as liste na ordem inversa não está contradizendo esta, apenas ordenando de outro jeito. Os coeficientes são limitados a um milhão em valor absoluto, o que é uma faixa de exibição e não uma faixa matemática. Por fim, a soma e o produto das raízes são impressos com as mesmas seis casas decimais que o resto, então uma soma exata de um terço volta como 0,333333 em vez de fração — as colunas das raízes recebem o tratamento de fração e essas duas não. Uma observação sobre o tipo de letra do painel: as duas raízes são impressas como texto puro, e nesse par de linhas o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar — uma raiz de 1000000 sai como 1000000, e não como 1.000.000.

O que fazer quando o discriminante é negativo?

Leia as duas raízes que a página imprime mesmo assim. Um discriminante negativo significa que as soluções são um par conjugado de números complexos e não duas raízes reais, e elas são perfeitamente definidas: x² − 2x + 5 tem as raízes 1 + 2i e 1 - 2i. Muitos livros param em não há raízes reais, o que é verdade, mas incompleto — a equação continua tendo duas soluções, e as colunas de soma e produto desta página as confirmam.

Qual das raízes é a primeira?

A maior das duas. O mais ou menos da fórmula não ordena as raízes, então a página precisa escolher, e escolhe a ordem decrescente — o que significa que a raiz 1 nunca é menor que a raiz 2. Isso importa mais do que parece: sem uma ordem fixa, mudar o sinal de b trocaria as duas linhas de lugar e quem comparasse dois cálculos acharia que as respostas mudaram.

Por que uma raiz às vezes é impressa como fração e às vezes como decimal?

As frações são impressas quando são exatas e o denominador é pequeno; os decimais, no resto. 2x² + 3x − 2 tem as raízes 1/2 e −2, e 1/2 é ao mesmo tempo exata e curta, então é escrita como fração — imprimir 0,5 ali sugeriria um valor arredondado. A razão áurea é (1 + √5) ÷ 2, que não é fração nenhuma, então é escrita como 1,618034 e a vírgula decimal avisa que o valor é aproximado.

O que acontece se a for zero?

A página recusa a entrada em vez de resolver. Com a igual a zero a equação é bx + c = 0, que é uma reta com uma raiz única igual a −c ÷ b, e as fórmulas da soma e do produto das raízes dividem as duas por a e deixam de significar qualquer coisa. A calculadora de coeficiente angular dá conta de equações nesse formato, e é para lá que você deve ir quando a equação tiver essa forma. Vale saber que o aviso mostrado no painel não diz nada disso: ele é genérico e só informa que aquela combinação não gera resultado, então a razão da recusa fica aqui e no bloco de fórmula.

Para que serve o discriminante?

Ele é o número único que diz em qual dos três casos você está antes de calcular qualquer outra coisa: Δ = b² − 4ac. Positivo significa duas raízes reais distintas, zero significa uma raiz real repetida, negativo significa um par conjugado de raízes complexas. Ele fica sob a raiz quadrada na fórmula, então o sinal dele é exatamente a pergunta existe uma raiz quadrada real para tirar.

Posso usar isto para conferir uma fatoração?

Sim, e as colunas de soma e produto existem para isso. Se você acha que x² − 3x + 2 se fatora como (x − 1)(x − 2), as raízes devem ser 1 e 2, a soma delas deve ser 3 e o produto, 2 — que é o que o painel imprime. Um erro de sinal no termo constante aparece na hora como um produto com o sinal errado, o que é mais rápido do que refazer o produto dos fatores.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)