Calculadora de completar quadrados

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

O coeficiente principal, que não pode ser zero: com a igual a zero não há termo ao quadrado, a expressão é uma reta e não uma quadrática, e não há quadrado a completar. O sinal de a decide para que lado a parábola abre — para cima quando a é positivo, para baixo quando é negativo — e o módulo dele decide quão estreita a curva é.

b

O coeficiente do termo linear. É ele que fixa a posição horizontal do vértice: h é −b dividido pelo dobro de a, então um b positivo empurra o vértice para a esquerda e um b negativo o empurra para a direita. O quadrado dele também entra em k, e é por isso que um b grande com um a pequeno desloca o vértice muito para cima ou para baixo.

c

O termo constante. Ele sobe ou desce a parábola inteira e não move o vértice para os lados — c aparece só em k, nunca em h. Ele continua sendo uma entrada obrigatória em vez de ser tratado como zero quando omitido, porque deixá-lo de fora tornaria o k da forma impressa errado sem que nada na página mostrasse que alguma coisa tinha sido suposta.

h

A coordenada x do vértice, igual a −b ÷ 2a. É o valor de x que anula o termo ao quadrado, e é isso que a palavra vértice significa aqui: o ponto mais baixo da curva quando a é positivo e o mais alto quando a é negativo. Na forma impressa o sinal dele é dobrado para dentro do parêntese, então um vértice em −3 fica escrito (x + 3)² e não (x − (−3))².

k

A coordenada y do vértice, igual a c − b² ÷ 4a. É o valor que a expressão inteira assume quando x é igual a h, então é o mínimo da quadrática quando a é positivo e o máximo dela quando a é negativo. Quando k dá exatamente zero, a forma impressa descarta a constante por completo — um trinômio quadrado perfeito fica escrito (x + 3)², e não (x + 3)² + 0.

1. Completando o quadrado em x² + 6x + 5

   1. Divida o coeficiente de x pela metade: 6 ÷ 2 = 3, então o parêntese é (x + 3)
   2. Eleve isso ao quadrado: (x + 3)² = x² + 6x + 9, que é 4 a mais do que a expressão dada
   3. Subtraia o excesso: (x + 3)² − 4
   4. O vértice está em (−3, −4), e o coeficiente principal é positivo, então a parábola abre para cima

   É o exemplo clássico, e aquele em que a aritmética pode ser conferida desenvolvendo o produto. O parêntese é escolhido de modo que o quadrado dele reproduza exatamente os dois primeiros termos; o que esse quadrado passar disso é subtraído de volta, e o resultado é a mesma expressão com outra forma. A partir dessa forma o vértice se lê sem cálculo nenhum.

2. Uma forma que sai em frações

   1. Metade de 1 dá o parêntese: (x + 1/2)
   2. Elevando ao quadrado sai x² + x + 1/4, um quarto a mais do que x² + x
   3. Subtraia o quarto: (x + 1/2)² − 1/4
   4. O vértice está em (−1/2, −1/4), que as duas colunas numéricas informam como −0,5 e −0,25

   É aqui que a impressão em fração se paga. A metade de um coeficiente ímpar é uma fração, e ela continua sendo uma fração ao longo de toda a conta, então a forma impressa é exata enquanto 0,5 e 0,25 são apenas duas das grafias decimais dela. As duas colunas numéricas usam necessariamente casas decimais, já que guardam números e não notação — e aqui vale ler cada uma por causa da outra.

3. Um trinômio quadrado perfeito

   1. Metade de 6 para o parêntese: (x + 3)
   2. Elevando ao quadrado sai x² + 6x + 9, que é exatamente a expressão
   3. Não sobra nada, então o termo constante desaparece da forma impressa
   4. O vértice fica sobre o eixo x, em (−3, 0)

   É o caso que mostra por que a constante é omitida em vez de impressa como + 0. Quando a expressão já é um quadrado perfeito, o vértice toca o eixo x, e a forma final tem dois termos em vez de três. O sumiço da cauda é ele mesmo a informação: diz que a quadrática tem uma raiz dupla, e é por isso que o vértice está exatamente sobre o eixo.

O coeficiente principal não pode ser zero. Com a igual a zero a expressão é linear, seu gráfico é uma reta, e a ideia de completar o quadrado não se aplica — a página recusa a entrada em vez de dividir por zero no caminho até h. Os três coeficientes são limitados a uma ordem de grandeza de um milhão, já que as coordenadas do vértice crescem com o quadrado de b, e além dessa faixa a coluna de k entraria na casa das centenas de bilhões e deixaria de ser um número utilizável. Os valores da forma impressa aparecem como frações quando a fração tem representação decimal finita e o denominador não passa de mil, e como seis casas decimais nos demais casos; as duas colunas nomeadas usam sempre casas decimais, porque guardam números e não notação. Aqui vale um aviso que só aparece nesta página: a linha Forma completada em quadrado é impressa como texto puro e por isso não passa pela localização que o resto da página usa — nela o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar, enquanto as duas colunas de coordenadas logo acima, sendo números, usam a vírgula e o ponto de milhar. Com a = 3, b = 1 e c = 0 as duas tipografias aparecem juntas na mesma tela: a Forma completada em quadrado diz 3(x + 0.166667)² - 0.083333 e a Coordenada x do vértice diz -0,166667. É o mesmo número em duas tipografias, e não um erro de cálculo. Esta página não resolve a quadrática. Ela informa a expressão na sua forma canônica e as coordenadas do vértice, e as raízes — onde a parábola cruza o eixo x — são calculadas na página da fórmula de Bhaskara, ligada logo abaixo. Ela também não imprime se a parábola abre para cima ou para baixo: isso é decidido pelo sinal do coeficiente principal, e o sinal está visível no primeiro campo que você digitou, e não em nenhum dos três resultados.

O que completar o quadrado faz?

Reescreve uma expressão quadrática na forma canônica, a(x − h)² + k, em que o vértice da parábola se lê direto da expressão em vez de ser calculado. O procedimento é tomar a metade do coeficiente de x, elevar o parêntese resultante ao quadrado e subtrair o que esse quadrado acrescentou. Nada na expressão muda de valor — só de forma.

Por que os números são impressos como frações?

Porque a metade de um coeficiente ímpar é uma fração, e uma fração continua exata ao longo do resto da conta. Escrever 1/2 como 0,5 parece inofensivo até o passo seguinte multiplicá-lo, e aí o decimal precisa ser arredondado e a resposta se desvia. A forma impressa usa uma fração sempre que a fração tem decimal finito e o denominador é no máximo mil, e recorre a seis casas decimais só quando não dá.

Como sei se a parábola abre para cima ou para baixo?

Pelo sinal do coeficiente principal a: positivo abre para cima, negativo abre para baixo. Esta página não imprime essa conclusão, porque o sinal de a não aparece em nenhum dos três resultados dela — ele está visível no primeiro campo que você digitou, e a forma canônica reflete esse sinal. Quando a é positivo, o vértice é o mínimo da quadrática; quando a é negativo, é o máximo.

Esta página resolve a equação quadrática?

Não. Ela informa a expressão na forma canônica e as coordenadas do vértice. Resolver significa achar os valores de x em que a expressão vale zero, que são os pontos em que a parábola cruza o eixo x, e isso é o que faz a página da fórmula de Bhaskara ligada abaixo. As duas páginas recebem os mesmos três coeficientes e devolvem coisas diferentes: uma devolve uma expressão, a outra devolve raízes.

Por que o termo constante às vezes desaparece da resposta?

Porque ele deu zero. Quando a quadrática já é um trinômio quadrado perfeito, o vértice fica sobre o eixo x, e a forma impressa descarta a constante final em vez de escrever + 0 — o quadrado de x + 3 fica escrito (x + 3)², e não (x + 3)² + 0. A cauda que sumiu é significativa: ela diz que a quadrática tem uma raiz dupla exatamente naquele valor de x.

Por que o coeficiente principal não pode ser zero?

Porque sem ele não há termo ao quadrado, então a expressão é uma reta e não há quadrado a completar. Dividir por 2a para achar o vértice também seria dividir por zero, e o vértice de uma reta não é um ponto bem definido no mesmo sentido. A página recusa a entrada em vez de produzir uma forma sem sentido — o aviso mostrado no painel, porém, é genérico e não nomeia o coeficiente, então a razão da recusa é esta e o bloco de fórmula.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)