Calculadora de vértice da parábola

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a

O alongamento e a direção. É o mesmo número da forma geral — a forma canônica não o altera — e agora ele fica na frente do parêntese. Positivo abre para cima, negativo abre para baixo, e o módulo dele decide quão estreita a parábola é: |a| maior que 1 é mais estreita que o x² puro, menor que 1 é mais larga.

h

A coordenada x do vértice, que é em torno de quem o parêntese é construído. O sinal dela se inverte ao entrar no parêntese: um vértice em x = −3 fica escrito (x + 3). Ela é também o eixo de simetria, e o ponto mais alto ou mais baixo da curva fica sobre a reta vertical x = h.

k

A coordenada y do vértice: o valor que a curva assume ali e, portanto, o menor valor que ela alcança quando abre para cima, ou o maior quando abre para baixo. É o que sobra depois que o quadrado dá conta do resto, e k = 0 é o caso especial em que o vértice cai exatamente sobre o eixo x.

x, y

As duas variáveis da equação pronta. Qualquer par que a satisfaça fica sobre a curva, então a forma canônica é uma descrição completa da parábola — a mesma descrição da forma geral, arrumada de modo que o ponto interessante seja o que se consegue ler.

Recorra a ela quando você tiver uma quadrática na forma geral e o que quiser saber for onde a curva vira — o máximo de um lucro, o mínimo de um custo, o alto de uma bola lançada — ou quando precisar esboçar o gráfico, porque o vértice mais a direção de abertura já são quase toda a forma. É também a forma a procurar quando o vértice for o dado e a forma geral for o que você quer, lendo ao contrário. Toda quadrática tem uma, e os três coeficientes são tudo de que se precisa para achá-la.

1. y = 2x² − 4x + 1 — um coeficiente principal diferente de 1

   1. O x do vértice: h = −b ÷ 2a = 4 ÷ 4 = 1
   2. O y do vértice: k = c − b² ÷ 4a = 1 − 16 ÷ 8 = 1 − 2 = −1
   3. O parêntese é construído em torno de h = 1, então ele lê (x − 1)
   4. O coeficiente principal 2 vai na frente do parêntese: y = 2(x − 1)² − 1

   A conferência é desenvolver de volta: 2(x − 1)² = 2x² − 4x + 2, e somar o −1 devolve 2x² − 4x + 1, que foi onde começamos. É isso que faz disto uma reescrita e não uma curva diferente — a mesma parábola, descrita pelo ponto onde ela vira em vez de pelos coeficientes dela. O 2 na frente está fazendo trabalho de verdade e não desaparece; um coeficiente principal igual a 1 é o único que deixa o parêntese sozinho.

2. y = −x² + 4 — abrindo para baixo, sem termo em x nenhum

   1. O x do vértice: h = −0 ÷ (2 × −1) = 0
   2. O y do vértice: k = 4 − 0 = 4
   3. Com h = 0 o parêntese diria (x − 0), então ele encolhe para um x² sozinho
   4. Um coeficiente principal −1 é escrito como um único sinal de menos: y = −x² + 4

   É o caso em que a forma canônica e a forma geral são a mesma string, e é esse o ponto: quando b é zero o vértice já está sobre o eixo y, então não havia nada para deslocar nem quadrado para completar. Leia a resposta como uma descrição e não como uma mudança — a curva abre para baixo e vira em (0, 4), que fica quatro unidades acima da origem.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — um coeficiente principal fracionário

   1. O x do vértice: h = −3 ÷ (2 × 0,5) = −3
   2. O y do vértice: k = 0,5 − 9 ÷ 2 = 0,5 − 4,5 = −4
   3. O parêntese é construído em torno de h = −3, então ele lê (x + 3) — o sinal se inverte
   4. O meio sai como fração e entre parênteses, porque 1/2(x + 3)² se leria como 1 dividido por 2(x + 3)²: y = (1/2)(x + 3)² − 4

   Desenvolver confirma: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, e 4,5 − 4 traz a constante de volta para 0,5. A fração aparece porque os coeficientes eram fracionários, e não porque alguma coisa foi aproximada — 1/2 é exato onde 0,5 é o mesmo número, e a forma impressa é a que uma pessoa escreve à mão.

O coeficiente principal não pode ser zero. Com a = 0 não há quadrado a completar nem vértice a informar, porque o gráfico é uma reta: a página recusa a entrada em vez de inventar uma resposta. Os três coeficientes são limitados a um milhão em qualquer direção, e acima disso a entrada é recusada — o aviso mostrado no painel é genérico e não nomeia o coeficiente. Um a muito pequeno junto com um b muito grande também é recusado, mas o gatilho disso é bem mais estreito do que parece: com a = 0,000001 e b = 1.000.000 a página ainda responde, com coordenadas na casa das centenas de bilhões, e só quando o vértice sai fora dos números representáveis — algo como a = 10⁻³⁰⁶ com b = 1.000.000 — o cálculo é recusado. A equação é impressa, não resolvida: a página não informa as raízes, onde a curva cruza o eixo x, nem o valor de y em outro x — as raízes são a calculadora da fórmula de Bhaskara, ligada abaixo, e desenvolver a forma canônica de volta é o que faz a calculadora de produtos notáveis. Os números da forma impressa aparecem como frações quando a fração tem representação decimal finita e o denominador não passa de mil, e como seis casas decimais nos demais casos; as duas coordenadas nomeadas usam sempre casas decimais, porque guardam números e não notação. Aqui vale o aviso que só aparece nas páginas desta família: a linha Forma canônica é impressa como texto puro e por isso não passa pela localização que o resto da página usa — nela o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar, enquanto as duas coordenadas logo acima, sendo números, usam a vírgula e o ponto de milhar. Com a = 3, b = 1 e c = 0 as duas tipografias aparecem juntas na mesma tela: a Forma canônica diz y = 3(x + 0.166667)² - 0.083333 e a Coordenada x do vértice diz -0,166667. É o mesmo tipo de número em duas tipografias, e não um erro de cálculo. Nada aqui carrega unidade, porque os coeficientes de uma quadrática são números e não medidas.

O que é a forma canônica?

É y = a(x − h)² + k, um jeito de escrever uma equação quadrática que põe o vértice à vista: o ponto onde a parábola vira é o ponto (h, k), e as duas coordenadas se leem da equação sem fazer conta nenhuma. A forma geral ax² + bx + c descreve a mesma curva — as duas são reescritas uma da outra, e o a é o mesmo número nas duas.

Em que isto é diferente da calculadora de completar quadrados?

A aritmética é a mesma e o vértice sai idêntico, porque as duas páginas recebem exatamente os mesmos três coeficientes. O que muda é o que elas devolvem: aquela página imprime a expressão reescrita, a(x − h)² + k, e explica o método para chegar até ela; esta imprime a equação da parábola, y = a(x − h)² + k, e trata de ler o gráfico — onde ele vira, para que lado abre, quão larga é.

Como sei se a parábola abre para cima ou para baixo?

Pelo sinal de a, o número na frente do parêntese. Positivo abre para cima, então o vértice é o ponto mais baixo da curva e k é o valor mínimo; negativo abre para baixo, então o vértice é o ponto mais alto e k é o máximo. A página não imprime esse veredito, porque o sinal de a não é uma das saídas dela — mas ele está ali mesmo na equação, na frente do parêntese.

Onde fica o eixo de simetria?

Em x = h, a reta vertical que passa pelo vértice — o mesmo h que aparece no parêntese. A parábola é uma imagem espelhada em torno dessa reta, e é por isso que o vértice é o ponto onde ela vira: tudo à esquerda dele é o reflexo de alguma coisa à direita. Isso também quer dizer que as duas raízes, quando a curva as tem, ficam à mesma distância de um lado e do outro, então a média delas é h.

Por que a equação às vezes mostra frações?

Porque o valor exato era uma fração. Um decimal que termina em poucos dígitos e tem denominador pequeno é impresso como fração — 0,5 como 1/2, 0,25 como 1/4 —, já que é assim que ele seria escrito à mão e porque 1/2 é exato em vez de aproximadamente 0,5. Qualquer coisa mais longa sai como decimal arredondado a seis casas, e é por isso que os dois números nomeados da resposta sempre trazem vírgula: com a = 3, b = 1 e c = 0 a coordenada x do vértice sai como -0,166667, e não como uma fração.

Por que às vezes falta o último termo da resposta?

Porque o y do vértice é zero, e somar nada à equação só acrescentaria um termo que é sempre zero. Isso acontece exatamente quando a curva toca o eixo x em vez de atravessá-lo — o vértice fica sobre o eixo, e a quadrática é um trinômio quadrado perfeito. Então y = (x + 1)² é uma forma canônica completa, e não uma forma truncada.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)