Calculadora de FOIL

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd (primeiro, externo, interno, último)

a, c

Os dois coeficientes de x, um de cada binômio. Nenhum dos dois pode ser zero: um binômio com o termo em x zerado é uma constante, e multiplicar por ela não é este método. O produto dos dois é o primeiro termo da expansão, e é por isso que o coeficiente inicial da resposta é ac, e não simplesmente a ou c.

b, d

As duas constantes. Elas podem ser zero, negativas ou fracionárias, e decidem dois dos quatro produtos: o par externo ad e o par interno bc se somam para formar o termo do meio, enquanto o produto bd é a constante do fim. As duas negativas é o que faz o último termo voltar a ser positivo.

F, O, I, L

Os quatro produtos, na ordem em que o método os nomeia: primeiro (ac), externo (ad), interno (bc) e último (bd). O termo do meio da expansão é a soma dos produtos externo e interno, que é o único passo do FOIL em que dois números se combinam em vez de simplesmente serem escritos.

x

A variável em que os dois binômios estão escritos. Ela não carrega valor nenhum aqui — a resposta é uma expressão, e não um número, e é por isso que a leitura principal é um texto e não uma coluna numérica.

Use esta página para multiplicar dois binômios à mão e conferir o resultado passo a passo. O sentido inverso — pegar uma expressão quadrática expandida e escrevê-la como um produto — é a fatoração, e a página de completar quadrados parte da mesma expressão pela outra ponta. Quando o que você quer é a solução da equação que essa expansão produz, a calculadora de fórmula de Bhaskara é o próximo passo.

1. (x + 2)(x + 3)

   1. Primeiro: x × x = x², então o primeiro produto é 1
   2. Externo: x × 3 = 3x, o produto externo é 3
   3. Interno: 2 × x = 2x, o produto interno é 2
   4. Último: 2 × 3 = 6
   5. Externo e interno se combinam no termo do meio: 3x + 2x = 5x
   6. A forma expandida é x² + 5x + 6

   O caso padrão, e aquele em que os quatro produtos são todos positivos e todos distintos. O termo do meio vem da soma dos produtos externo e interno, que é o passo que os leitores mais pulam — ter os dois números impressos ao lado da resposta é o que torna esse passo conferível.

2. Quando nenhum dos coeficientes de x é 1

   1. Primeiro: 2x × 3x = 6x², então o coeficiente inicial é 6
   2. Externo: 2x × 4 = 8x
   3. Interno: 1 × 3x = 3x
   4. Último: 1 × 4 = 4
   5. Termo do meio: 8x + 3x = 11x
   6. A forma expandida é 6x² + 11x + 4

   O coeficiente inicial é um produto em vez de um número isolado, então não dá para lê-lo em nenhum dos dois binômios. Nada mais no método muda: o termo do meio continua sendo a soma dos produtos externo e interno, e é o único lugar onde dois dos quatro números se juntam.

3. Uma diferença de dois quadrados

   1. Primeiro: x × x = x²
   2. Externo: x × (−5) = −5x
   3. Interno: 5 × x = 5x
   4. Último: 5 × (−5) = −25
   5. Os produtos externo e interno são −5x e +5x, que se cancelam exatamente
   6. Sem termo do meio, a forma expandida é x² − 25

   O caso que prova que o termo do meio é uma soma e não um produto. Os quatro produtos nomeados são todos diferentes de zero, e ainda assim a expansão tem só dois termos — porque os dois que formariam o termo do meio são iguais e opostos. Uma página que imprimisse os quatro produtos sem somá-los pareceria ter perdido um termo.

O coeficiente de x em cada binômio precisa ser diferente de zero. Com um dos dois zerado não há termo em x para parear, a expressão é uma constante vezes um binômio e o primeiro passo do método não produz nada — por isso a entrada é recusada pelo nome, em vez de tratada como um caso degenerado. Os quatro coeficientes têm módulo limitado a um milhão, porque os produtos externo e interno são somados antes de serem arredondados e os maiores valores intermediários passam do que dá para conferir de cabeça. Resultados fracionários saem como frações quando o denominador divide exatamente e não passa de mil, e como seis casas decimais em todos os outros casos: em (x + 1/2)(x + 3) a forma expandida imprime (3/2), e não 1,5. A forma expandida é uma notação e não é localizada — nela o sinal de menos é um hífen simples, o expoente é ² e não há separador de milhar nenhum —, enquanto as quatro leituras numéricas ao lado seguem a convenção do português, com vírgula decimal e ponto de milhar. Com a = c = 1.000 a diferença fica visível na mesma tela: a expansão começa com 1000000x² e a linha Primeiro mostra 1.000.000,000000. Esta página multiplica; ela não fatora. Ir de uma expressão quadrática expandida de volta aos dois binômios é o problema inverso, e a página não tenta fazê-lo.

O que significa FOIL?

First, Outer, Inner, Last — primeiro, externo, interno e último. São os quatro pares de termos tirados dos dois binômios nessa ordem: os dois termos iniciais, os dois que ficam do lado de fora do produto escrito, os dois de dentro e as duas constantes. Multiplicar os quatro pares e somá-los dá a expressão quadrática expandida.

Por que os produtos externo e interno são somados?

Porque os dois produzem um termo em x, e termos semelhantes se combinam. Nada no FOIL é opcional: os quatro produtos são a lista completa de pares, e o resultado é a soma deles. Externo e interno são os dois únicos que podem se juntar, e é por isso que a expansão de dois binômios tem três termos, e não quatro.

O método FOIL funciona com coeficientes negativos?

Funciona, e o sinal viaja junto com o termo a que pertence. Em (x + 5)(x − 5) o produto externo é −5x e o interno é +5x; eles se cancelam, o termo do meio desaparece por completo e sobram apenas dois termos. As duas constantes negativas são outro caso: elas fazem o produto final voltar a ser positivo.

O coeficiente de x pode ser zero?

Nesta página, não. Um binômio cujo coeficiente de x é zero é apenas uma constante, e multiplicar por ela é aritmética comum, não este método — o primeiro passo não teria nada para escrever. A entrada é recusada e o campo é apontado pelo nome, em vez de ser tratada em silêncio como uma constante.

Por que às vezes falta um termo na resposta?

Porque o coeficiente dele deu zero. Quando os produtos externo e interno se cancelam, não existe termo em x nenhum, e a expansão é escrita como x² − 25 em vez de x² + 0x − 25. Omitir o termo vazio é a convenção que a impressão usa em toda esta página; os quatro produtos nomeados continuam mostrando o que aconteceu com ele.

Por que respostas fracionárias saem como frações?

Porque uma fração permanece exata, enquanto um decimal é apenas uma das grafias dela. Em (x + 1/2)(x + 3) o coeficiente de x é 7/2, e imprimi-lo como 3,5 estaria certo aqui, mas começaria a se desviar assim que o próximo passo o multiplicasse. A forma impressa usa uma fração sempre que o denominador divide exatamente e não passa de mil, e só recorre às seis casas decimais quando é obrigada.

• Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)