Calculadora de raiz cúbica

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

O radicando, o número que está sob o sinal de raiz. Ele pode ser negativo, porque a raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar e uma potência ímpar de um negativo continua negativa: a raiz cúbica de −27 é −3 e a raiz cúbica de −1 é −1. Ele também pode ser um decimal, até três casas, e nesse caso a página o converte de volta em fração antes de simplificar.

m³

O maior cubo perfeito que divide o radicando: 8, 27, 64, 125 e assim por diante. Encontrá-lo é a simplificação inteira, e a página procura de cima para baixo, para que o primeiro fator encontrado seja o maior. Para 72 esse fator é 8, que deixa 9 atrás, sob o sinal de raiz.

m

A raiz cúbica desse cubo perfeito, que sai para a frente do sinal de raiz. Quando ela é um número inteiro a forma exata fica 2∛9; quando é 1 o coeficiente é omitido e a forma fica ∛2, porque 1∛2 não é como alguém escreve.

r

O que sobra sob o sinal de raiz depois que todo fator cúbico foi retirado. Ele é livre de cubos, e é exatamente isso que torna a forma final. Quando não sobra nada — quando o radicando já era um cubo perfeito — o sinal de raiz desaparece por completo e a forma exata é um número inteiro, como na raiz cúbica de 27.

d²

O quadrado do denominador, e a razão pela qual o caso decimal não é simplesmente copiado da página da raiz quadrada. Para tirar um denominador d de dentro de uma raiz cúbica você precisa de d elevado ao cubo lá dentro, então n ÷ d é reescrito como (n · d²) ÷ d³, e a raiz cúbica disso é ∛(n · d²) ÷ d. Usar d em vez de d² ainda produz um número, só que o número errado.

Use esta página quando você precisar da forma exata de uma raiz cúbica, ou quando o radicando for negativo. A calculadora de cubo cobre a direção de ida — elevar um número ao cubo e ler a raiz de volta — e imprime um decimal onde esta página imprime uma notação. Quando o índice não for três, a calculadora de raízes aceita qualquer índice de 2 a 12 e simplifica do mesmo jeito.

1. Simplificando a raiz cúbica de 72

   1. Procure o maior cubo perfeito que divide 72
   2. 8 divide: 72 ÷ 8 = 9, então 72 = 8 × 9
   3. A raiz cúbica de 8 é 2, que sai para a frente: ∛72 = 2∛9
   4. Calcular essa forma exata dá 4,160168

   A conferência é de uma linha: 2∛9 ao cubo é 2³ × 9, que é 8 × 9, que é 72. A coluna decimal não pode ser conferida assim — 4,160168 ao cubo volta como 72,000018 e pouco, um fio acima de 72 —, e é esse o argumento inteiro para imprimir a forma exata ao lado dela.

2. Um cubo perfeito vira um número inteiro

   1. 27 é 3 × 3 × 3, então o maior fator cúbico é o próprio 27
   2. Retirá-lo não deixa nada sob o sinal de raiz: 27 = 27 × 1
   3. Sem nada embaixo, o sinal de raiz vai embora e a forma exata é 3
   4. O decimal também é 3, então as duas colunas concordam

   Quando a raiz esvazia, esse é o sinal de que o radicando era um cubo perfeito. Vale saber que esta é a linha que um computador erra por padrão: elevar um cubo perfeito a um terço em ponto flutuante nem sempre devolve o número inteiro — elevar 64 a um terço devolve um valor um fio abaixo de 4, e elevar mil devolve um fio abaixo de 10 —, e a página corrige isso verificando se algum número inteiro vizinho volta ao valor informado quando elevado ao cubo.

3. Um radicando negativo

   1. Tire o sinal primeiro: ∛−72 = −∛72
   2. A parte positiva simplifica exatamente como antes: ∛72 = 2∛9
   3. Devolvendo o sinal, chega-se a −2∛9
   4. O decimal é −4,160168, o negativo do caso positivo

   O sinal de menos fica na frente, e não dentro da raiz. −2∛9 e 2∛−9 são o mesmo número, mas só o primeiro é a maneira padrão de escrever, e imprimir o segundo pareceria uma expressão diferente. Este é o caso que a calculadora de raiz quadrada não consegue tratar de jeito nenhum: uma raiz de índice par de um número negativo não é um número real.

4. Um radicando decimal que é um cubo perfeito

   1. 0,125 como fração é 1/8
   2. As duas partes são cubos perfeitos: ∛1 = 1 e ∛8 = 2
   3. Não sobra nada sob o sinal de raiz, então a forma exata é a fração 1/2
   4. Como decimal, é 0,5

   É esta linha a razão pela qual a página aceita três casas decimais em vez de duas. Um oitavo é o decimal mais natural que uma raiz cúbica encontra, e com duas casas ele não poderia nem ser reconhecido como fração, de modo que o número que mais merece entrar seria justamente o que a página recusaria. A forma exata sai como texto puro, sem separador de milhar nenhum — uma raiz cúbica exata de mil, por exemplo, sairia impressa como 10.

O radicando é limitado a três casas decimais. Uma quarta casa seria recusada em vez de arredondada, porque a simplificação funciona convertendo o decimal em fração e depois dividindo por tentativa, e a aritmética deixa de ser confiável a partir daí — os produtos inteiros envolvidos passariam do que um double consegue representar com exatidão, então a resposta ficaria silenciosamente errada, e não apenas lenta. A ordem de grandeza é limitada a 1.000.000 para cima e para baixo, até onde a divisão por tentativa continua barata. A forma exata é uma notação e não um número, e é escrita de forma idêntica em todos os idiomas, já que um sinal de raiz e um sinal de divisão não carregam palavra alguma; o decimal ao lado dela é arredondado em seis casas. Só a raiz cúbica real é dada: todo número diferente de zero tem três raízes cúbicas no plano complexo, e as outras duas não aparecem. A raiz cúbica de um número negativo é impressa com o sinal na frente, que é a grafia padrão mas não é a mesma cadeia de caracteres que um sinal de raiz sobre um radicando negativo.

O que uma calculadora de raiz cúbica faz?

Ela recebe um radicando e devolve duas coisas: o valor decimal da raiz cúbica dele e a forma exata, com o maior cubo perfeito retirado para a frente do sinal de raiz. A raiz cúbica de 72 é 4,160168 como decimal e 2∛9 na forma exata, e os dois são o mesmo número escrito de duas maneiras.

Como simplificar uma raiz cúbica à mão?

Procure o maior cubo perfeito que divide o radicando, retire-o e tire a raiz cúbica dele para a frente do sinal. Para 72 esse fator é 8, e como 72 ÷ 8 = 9 a coisa toda vira 2∛9. Você sabe que terminou quando não sobra nada livre de cubos sob o sinal de raiz — para 27 a raiz esvazia por completo e a resposta é simplesmente 3.

O radicando pode ser negativo?

Pode, e essa é a diferença mais clara entre esta página e a calculadora de raiz quadrada, que recusa negativos de saída. A raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar, então um radicando negativo não é problema: a raiz cúbica de −64 é −4. O sinal é retirado primeiro e impresso na frente da forma exata, então −72 simplifica para −2∛9 em vez de virar uma raiz sobre um número negativo.

Por que a forma exata às vezes sai como fração?

Quando o radicando é o cubo de uma fração, não sobra nada sob o sinal de raiz e a forma exata se reduz a uma fração simples — a raiz cúbica de 0,125 é 1/2, e a raiz cúbica de 0,001 é 1/10. A raiz só sobrevive quando algo livre de cubos continua embaixo dela, a mesma regra que faz a raiz cúbica de 27 ser um número inteiro.

Quantas casas decimais o radicando aceita?

Três, uma a mais do que a página da raiz quadrada permite. A casa extra existe por causa de um número específico: 0,125 é um oitavo, a raiz cúbica de 0,5, e com duas casas decimais ele não seria reconhecido como fração de jeito nenhum. Uma quarta casa decimal é recusada em vez de arredondada, porque depois desse ponto a divisão por tentativa deixa de ser exata.

• Cube Root — the inverse of cubing, defined on negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes the simplification searches for, from 8 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention for writing a coefficient in front of a root — Wolfram MathWorld (United States)