Calculadora de interpolação linear

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

O primeiro ponto conhecido. É ele que ancora a reta: em x igual a x₁ a fórmula devolve y₁ exatamente, porque todo o termo de distância se anula. Fazer x₁ igual a 0 é permitido e comum, já que assim o ponto fica sobre o eixo y.

x₂, y₂

O segundo ponto conhecido. Os dois pontos juntos fixam a reta, que é tudo de que uma reta precisa. As coordenadas x deles precisam ser diferentes: dois pontos com o mesmo x descrevem uma reta vertical, em que um único x corresponde a todos os y ao mesmo tempo, e aí não existe uma resposta única.

x

A posição em que você quer um valor. Ela não precisa ficar entre os dois pontos — fora dessa faixa a mesma expressão continua e o resultado é uma extrapolação, e não uma interpolação, e é por isso que a posição é informada em vez de restringida.

t

A posição ao longo do segmento: quanto do caminho o ponto já percorreu, contado a partir do primeiro ponto. Ela é 0 no primeiro ponto, 0,5 na metade e 1 no segundo, e é o peso com que os dois valores de y são misturados — a seção da reta, no sentido da razão em que o ponto a divide.

Recorra a esta página quando duas medições forem conhecidas e você quiser um valor entre elas: uma leitura entre duas linhas de uma tabela, um valor numa data entre duas observações, ou qualquer par de grandezas que se suponha variar em linha reta. Quando os dois pontos existirem para medir a inclinação, o assunto é a inclinação de uma reta; quando o valor desejado for exatamente o do meio, o assunto é o ponto médio.

1. Na metade entre (1, 2) e (3, 8)

   1. A variação de y é 8 − 2 = 6, e a de x é 3 − 1 = 2
   2. A reta sobe 3 em y para cada 1 em x, então a inclinação é 3
   3. x = 2 fica 1 unidade ao longo de um intervalo de 2, então a posição no segmento é 1 ÷ 2 = 0,5
   4. Misture os dois valores nessa proporção: (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. O valor interpolado é y = 5

   É o caso padrão, e o que vale ler duas vezes: com posição de meio, a resposta é a média simples dos dois valores de y, 2 e 8. Isso é coincidência de cair bem no centro, não uma regra — a um quarto do caminho a resposta seria 3,5.

2. Uma reta que desce

   1. A variação de y é −20 − 0 = −20, e a de x é 10 − 0 = 10
   2. A inclinação é −20 ÷ 10 = −2, então a reta desce duas unidades a cada uma que avança
   3. x = 4 está 4 unidades ao longo de um intervalo de 10, então a posição no segmento é 0,4
   4. Misture: 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
   5. O valor interpolado é y = −8

   As duas pontas deste exemplo têm sinal, e é isso que o torna útil para conferir à mão: o deslocamento em x é 10 e não −10, e a resposta cai entre os dois valores conhecidos em vez de além deles. Trocar a ordem dos dois pontos não muda nem o y interpolado nem a posição no segmento aqui — a posição de 0,4 é a mesma dos dois jeitos, porque ela é contada a partir do ponto que você digitou primeiro e os dois pontos deste par estão a distâncias diferentes do alvo. Com o par padrão e um alvo deslocado, a troca aparece: ali a posição vira o complemento dela.

3. Perguntando além do último ponto

   1. É a mesma reta do primeiro exemplo: sobe 3 a cada 1 que avança
   2. x = 4 está 3 unidades ao longo de um intervalo de 2, então a posição no segmento é 3 ÷ 2 = 1,5
   3. A posição é maior que 1, e é assim que a resposta avisa que o ponto está além do segundo valor conhecido
   4. Misture: (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. O valor é y = 11

   É uma extrapolação, e a razão de a posição ser impressa como número puro em vez de ser limitada ao intervalo. Uma posição de 1,5 diz que o ponto está meio segmento depois da ponta mais distante; a aritmética é idêntica à da interpolação, e só a interpretação muda.

Os dois pontos conhecidos precisam ter coordenadas x diferentes. Dois pontos empilhados no mesmo x descrevem uma reta vertical, em que um único x corresponde a infinitos valores de y e não existe nenhuma resposta interpolada única — então essa entrada é recusada em vez de devolver um infinito. Os cinco números são limitados a uma ordem de grandeza de um milhão, já que a inclinação e a posição são quocientes que o painel arredonda para seis casas decimais e a conferência de ida e volta deixa de ser possível além disso. Valores fora do intervalo são aceitos e informados em vez de recusados: a posição volta acima de 1 ou abaixo de 0, e é assim que a página diz que extrapolou. O que ela não tem como dizer é se extrapolar fazia sentido — uma reta traçada por dois pontos não diz nada sobre o que acontece depois deles, e nenhum número de confiança é impresso, porque dois pontos não sustentam um. Por fim, a página não devolve o valor com unidade nenhuma: as coordenadas são números, e se elas forem medições, a unidade da resposta é a mesma da entrada em y.

O que é interpolação linear?

É traçar uma reta por dois pontos conhecidos e ler o valor numa posição entre eles. A palavra linear diz a suposição em voz alta: a grandeza é tomada como variando a uma taxa constante ao longo do intervalo, então a resposta é uma mistura ponderada dos dois valores conhecidos, e não uma medição.

O que a posição ao longo do segmento me diz?

Quanto do caminho o ponto já percorreu, contado a partir do primeiro ponto conhecido. Ela é 0 no primeiro, 0,5 na metade e 1 no segundo. O próprio valor pode ser escrito como os dois valores de y conhecidos misturados nessas proporções, então a posição é tudo o que a interpolação acrescenta aos dois pontos.

Posso interpolar fora dos dois pontos?

Pode, e esta página faz isso — mas a operação passa a ser uma extrapolação, e a posição volta acima de 1 ou abaixo de 0 para dizer isso. Uma reta traçada por dois pontos é um palpite sobre o intervalo entre eles; estendida para além de qualquer das pontas, é um palpite muito mais forte sobre algo que os dados nunca cobriram.

Por que um par de pontos na vertical é recusado?

Porque não há uma resposta única a dar. Dois pontos com o mesmo x ficam um sobre o outro, e a reta que passa por eles atribui todos os valores de y de uma vez àquele único x. A página recusa essa entrada em vez de devolver um infinito, que teria a aparência de resposta — o aviso mostrado no painel, porém, é genérico e não nomeia o motivo, então a razão da recusa é esta.

A ordem dos dois pontos importa?

Para o valor lido na reta, não: o y interpolado é o mesmo. A inclinação também não muda, porque trocar os dois pontos inverte o numerador e o denominador ao mesmo tempo. O que muda é a posição no segmento, que é contada a partir do primeiro ponto digitado: com o par (1, 2) e (3, 8) e x em 2,5 ela vale 0,75, e com o par escrito na outra ordem, no mesmo x, ela vale 0,25 — o complemento da anterior. Ler as duas colunas junto com a resposta é o que torna a troca visível.

Por que não é impresso nenhum número de confiança?

Porque dois pontos não sustentam um. Um ajuste medido contra dois pontos é perfeito por construção, então qualquer indicador de qualidade do ajuste sairia no seu melhor valor todas as vezes, independentemente do que os dados de fato fazem. O que a página imprime em vez disso é a inclinação e a posição, que são fatos sobre a reta e não afirmações sobre os dados.

• Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)