Calculadora de arredondamento

1.234,5678 para a unidade mais próxima ⇒ 1.235 na metade para cima, 1.234 truncado; 2,5 ⇒ 3 ou 2; 1.567 com 2 algarismos significativos ⇒ 1.600

1234.5678

O valor a arredondar, um número qualquer de −1.000.000.000 a 1.000.000.000, decimais incluídos. É também o número a partir do qual a tabela de referência abaixo foi construída, então as sete linhas dela são as sete colocações do valor que já está na tela

p0, pm2, s2

Para onde arredondar, escolhido entre treze opções numa única lista. As opções p nomeiam uma casa decimal: p3 é o milhar mais próximo, p0 a unidade mais próxima, pm2 o centésimo mais próximo. As opções s nomeiam uma quantidade de algarismos significativos, de s1 a s6, contados a partir do primeiro algarismo diferente de zero

metade para cima, afastando do zero

A regra para o caso da metade: um valor exatamente entre dois candidatos se afasta do zero, então 2,5 vira 3 e −2,5 vira −3. É a convenção ensinada nas escolas. É também a que parece um defeito quando uma sequência longa de valores terminados em ,5 é somada, já que todos eles são empurrados na mesma direção

truncado

A segunda saída, e a outra metade da questão da metade: o mesmo valor na mesma casa com os algarismos extras descartados em vez de arredondados, o que sempre caminha em direção ao zero. 2,5 truncado é 2 e −2,5 é −2. Imprimi-lo ao lado do valor arredondado é o que torna a convenção visível, já que na maioria das entradas as duas saídas são idênticas

1567 → 1600

Algarismos significativos em ação. A contagem começa no primeiro algarismo diferente de zero, então 1.567 com dois algarismos significativos mantém o 1 e o 5 e arredonda o resto, dando 1.600. Os zeros à direita ficam: a resposta afirma dois algarismos significativos, e escrever 1.600 como 1.600 é o único jeito de o leitor conseguir ver essa afirmação

1.005 → 1.01

Por que a aritmética é feita sobre os algarismos decimais em vez de multiplicar e dividir em ponto flutuante. 1,005 é guardado como um valor um pouco abaixo de 1,005, então o caminho usual de precisão dupla o arredonda para 1,00; trabalhar sobre os algarismos dá a resposta que uma pessoa espera, 1,01. O exemplo abaixo fixa este caso

Relatar uma medição é o caso clássico, e é de onde vêm os algarismos significativos: um comprimento lido numa régua até o milímetro não deve ser informado com seis casas decimais, porque os algarismos extras afirmam uma precisão que o instrumento nunca teve. Algarismos significativos são a notação que mantém essa afirmação honesta, e são a razão de arredondar uma medição não ser a mesma coisa que arredondar um número de quebra-cabeça. Dinheiro é a versão do dia a dia de uma casa decimal — os preços são arredondados para o centésimo mais próximo, e a regra da metade é uma questão de política real, porque decide para que lado vai uma fração de centavo, e ao longo de muitas transações uma regra que empurra sempre para o mesmo lado produz um desvio visível. Estatística e relatórios arredondam por legibilidade: porcentagens com uma casa decimal, populações para o milhar mais próximo, médias com a mesma precisão das entradas. O truncamento tem usos próprios, e eles são a razão de ele ser impresso aqui em vez de omitido: tomar o piso ou o teto em direção ao zero é o que muitas linguagens de programação fazem por padrão, e é o que aparece quando um valor é guardado num formato de precisão fixa. Em todos esses contextos a regra a ter em mente é que arredondar duas vezes não é o mesmo que arredondar uma vez, e que um número arredondado é uma afirmação sobre precisão, e não apenas um jeito mais curto de escrever o original. Aritmética sobre valores arredondados acumula a diferença, e é por isso que a versão com algarismos significativos desse problema é uma ferramenta separada desta.

1. 1.234,5678 para a unidade mais próxima

   1. Os candidatos de cada lado de 1.234,5678 são 1.234 e 1.235
   2. O algarismo que decide é o primeiro decimal, 5
   3. A metade para cima trata o 5 como razão para se afastar do zero, então o valor arredonda para 1.235
   4. O ,5678 que vem depois não muda isso — o algarismo na casa de arredondamento é quem decide, e tudo depois dele só desempata
   5. O truncamento descarta a parte decimal, dando 1.234

   A entrada padrão, e a amostra a partir da qual a tabela de referência abaixo foi construída. O 5 da primeira casa decimal está fazendo todo o trabalho: o 6, o 7 e o 8 depois dele são irrelevantes, e um valor de 1.234,5001 arredondaria exatamente do mesmo jeito. As duas saídas diferem aqui, o que é o caso conveniente — na maioria das entradas a metade para cima e o truncamento concordam, e é o par de números que diz se a regra da metade entrou em ação.

2. O caso da metade: 2,5 para a unidade mais próxima

   1. 2,5 fica exatamente na metade entre 2 e 3
   2. A metade para cima se afasta do zero, então o valor arredondado é 3
   3. O truncamento caminha em direção ao zero, então o valor truncado é 2
   4. Nenhum dos dois é um erro; são duas convenções para a mesma entrada

   O menor caso que mostra a discordância, e o que vale memorizar. A metade para cima não é a única convenção em uso: o arredondamento bancário levaria 2,5 para o vizinho par, 2, o que importa em listas longas de medições porque arredondar sempre as metades para cima introduz um pequeno viés para cima. Esta página usa a metade para cima — a convenção da escola — e diz isso, em vez de deixar que você descubra.

3. Um valor negativo na metade: −2,5 para a unidade mais próxima

   1. −2,5 fica exatamente na metade entre −3 e −2
   2. A metade para cima se afasta do zero, e afastar-se do zero do lado negativo significa descer mais, então a resposta é −3
   3. O truncamento caminha em direção ao zero, dando −2
   4. O sinal é tratado pela distância até o zero, e não pela direção ao longo da reta numérica

   O caso que separa a metade para cima do «arredondar sempre para cima». Os dois valores aqui se movem pela mesma regra — afastando-se do zero —, mas na reta numérica eles vão em direções opostas, porque o zero fica no meio. Qualquer código ou regra descrito como «arredonda para cima» sem qualificação é ambíguo exatamente por isso, e as linhas negativas da tabela de referência mostram o mesmo efeito em outras casas.

4. 1,005 com duas casas decimais

   1. Os candidatos são 1,00 e 1,01
   2. O algarismo que decide é a terceira casa decimal, 5, que é exatamente o caso da metade
   3. A metade para cima se afasta do zero, então o valor arredonda para 1,01
   4. Truncar descarta o 5 e mantém 1,00, com o zero à direita preservado para que a precisão fique visível

   O exemplo que justifica a implementação. O caminho óbvio — multiplicar por 100, arredondar, dividir por 100 — dá 1,00, porque 1,005 não pode ser guardado exatamente e o valor que fica guardado é um fio abaixo de 1,005. A resposta que uma pessoa espera é 1,01, e é isso que o trabalho sobre os algarismos decimais produz. A mesma coisa acontece em muitos valores do dia a dia, então um resultado errado por um na última casa geralmente é isto, e não um erro na regra. Repare que aqui as duas saídas usam o ponto do sistema — 1.01 e 1.00 —, e não a vírgula que este texto usa.

5. 1.567 com dois algarismos significativos

   1. O primeiro algarismo significativo é o 1, na casa dos milhares; o segundo é o 5
   2. Dois algarismos significativos significa manter esses dois algarismos e arredondar na casa das centenas
   3. O algarismo depois deles é 6, que arredonda o 5 para cima, então o valor fica 1.600
   4. Os zeros à direita ficam, porque são eles que registram que dois algarismos significativos foram mantidos
   5. Truncar na mesma casa dá 1.500

   A mesma resposta de arredondar para a centena mais próxima, chegando pelo outro lado. Note o que a saída não consegue dizer: 1.600 escrito como número comum é indistinguível de 1.600 arredondado para a unidade mais próxima ou de uma medição que por acaso fosse exatamente 1.600. Manter os zeros é o máximo que esta notação consegue fazer, e conduzir algarismos significativos ao longo de um cálculo — onde a contagem precisa sobreviver a multiplicações e divisões — é um problema separado de arredondar um valor isolado.

O valor precisa estar entre −1.000.000.000 e 1.000.000.000, decimais incluídos, e a casa é escolhida entre treze opções em vez de ser digitada, então não há como pedir uma casa fora dessa lista. O arredondamento é feito sobre os algarismos decimais do valor como ele foi escrito, e não por escalonamento em ponto flutuante, então os resultados batem com o que os algarismos dizem — 1,005 com duas casas decimais é 1,01 aqui, onde o caminho usual de multiplicar e dividir dá 1,00. Essa mesma escolha tem uma consequência visível: os resultados saem sempre com ponto decimal e nunca com separador de milhar, então quem digitou uma vírgula como marca decimal vê um ponto na resposta — arredondar 1.000.000.000 para o milésimo devolve 1000000000.000, e não 1.000.000.000,000. Isso é deliberado e é o mesmo comportamento das outras páginas que imprimem resultados em texto. Os zeros à direita são mantidos, porque registram a precisão que a resposta afirma, o que significa que 1.234,6 e 1.234,60 são saídas diferentes de casas diferentes e não se escrevem do mesmo jeito. Valores negativos são arredondados pela distância até o zero, então um valor negativo na metade desce a reta numérica em vez de subir. A tabela de referência abaixo está fixada em 1.234,5678 e não acompanha a sua entrada; ela mostra as sete primeiras opções aplicadas a esse único número, e as seis opções de algarismos significativos são descritas na nota dela em vez de receberem linhas próprias. Não há arredondamento de um total acumulado aqui, e nada se acumula: esta página arredonda um valor por cálculo.

O que significa arredondar a metade para cima?

Que um valor que fica exatamente na metade entre dois candidatos se afasta do zero: 2,5 vira 3 e −2,5 vira −3. É a convenção que as escolas ensinam e a que esta página usa. Não é a única em uso — o arredondamento bancário manda a metade para o vizinho par, o que evita o pequeno viés para cima que arredondar sempre as metades para cima introduz em listas longas de valores.

Qual é a diferença entre casas decimais e algarismos significativos?

As casas decimais contam a partir da vírgula; os algarismos significativos contam a partir do primeiro algarismo diferente de zero. 1.567 com dois algarismos significativos é 1.600, o mesmo que arredondar para a centena mais próxima, enquanto 1.567 com duas casas decimais é 1567,00. Algarismos significativos são a notação usada para medições, porque a contagem não muda quando a mesma grandeza é escrita em unidades diferentes.

Por que 1,005 arredonda para 1,01 e não para 1,00?

Porque o valor está no ponto de metade e a página arredonda as metades afastando do zero, trabalhando sobre os algarismos decimais em vez de escalonar em ponto flutuante. O caminho comum de multiplicar por 100, arredondar e dividir por 100 dá 1,00, já que 1,005 é guardado como um valor um pouco abaixo de 1,005. A resposta obtida dos algarismos é 1,01, que é o que a regra diz e o que uma pessoa escrevendo o número à mão produziria.

O que é truncamento, e por que mostrá-lo?

O truncamento descarta os algarismos extras em vez de arredondá-los, o que sempre leva o valor em direção ao zero: 2,5 vira 2 e −2,5 vira −2. Ele é impresso ao lado do valor arredondado na mesma casa porque o par é o jeito mais claro de ver se a regra da metade entrou em ação — em entradas longe de um ponto de metade as duas saídas concordam, e onde elas diferem foi a convenção que fez a diferença.

Os zeros à direita são significativos?

São, e são mantidos de propósito. 1.234,6 com uma casa decimal e 1.234,57 com duas casas decimais são afirmações diferentes sobre quão precisamente o valor é conhecido, e descartar o zero à direita apagaria a diferença. O mesmo vale para um número inteiro arredondado para algarismos significativos: 1.600 mantém os zeros porque são eles que registram que dois algarismos significativos foram mantidos.

Esta página conduz algarismos significativos ao longo de um cálculo?

Não. Ela arredonda um valor por vez, e não carrega uma precisão através de uma cadeia de operações, onde o resultado é limitado pela entrada menos precisa e os valores intermediários precisam ficar sem arredondamento até o fim. Esse é um problema separado de arredondar um número isolado, porque exige que a contagem de algarismos significativos sobreviva a multiplicações e divisões, o que um valor simplesmente arredondado não consegue representar.

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)