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CalcMax

Calculadora de divisão longa

Intervalo: 0 – 1.000.000.000

Intervalo: 1 – 1.000.000.000

Resultado

102

Quociente

Resto
10
Passo a passo
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Verificação
12 * 102 + 10 = 1234

A divisão longa é o método escrito para dividir um número inteiro por outro quando a conta não dá exata, e esta página imprime cada passo dela, um a um. Para 1.234 ÷ 12 o desenvolvimento tem quatro linhas. Divida 1 por 12: é pequeno demais, então o algarismo do quociente é 0 e o resto é 1. Desça o próximo algarismo para formar 12, divida por 12: o algarismo é 1 e o resto é 0. Desça o 3 para formar 3, divida por 12: o algarismo é 0 e o resto é 3. Desça o 4 para formar 34, divida por 12: o algarismo é 2 e o resto é 10. Os algarismos do quociente, em ordem, são 1, 0, 2 — então 1.234 ÷ 12 é 102 com resto 10, e o último resto, o 10, é o que fica. Toda linha do algoritmo tem a mesma forma: pegue o valor construído até ali, veja quantas vezes inteiras o divisor cabe nele, registre essa contagem como um algarismo da resposta e guarde o que sobrou para juntar ao próximo algarismo. É por isso que o quociente sempre termina com a mesma quantidade de algarismos do dividendo, e é por isso que um zero pode ser um algarismo perfeitamente bom da resposta — o 0 no meio de 102 está fazendo trabalho de verdade. O resto aqui é sempre o não negativo, a convenção em que 0 é o menor valor que ele pode assumir. Para números negativos as duas convenções dão respostas diferentes, e esse caso pertence à página de resto. A última saída é a verificação: divisor vezes quociente mais resto é igual ao dividendo, que não é uma conta separada e sim a definição do que quociente e resto significam. 12 × 102 + 10 é 1.234, então os três números combinam entre si. Dois casos especiais aparecem. Um dividendo menor que o divisor dá quociente 0 e resto igual ao dividendo, já que o divisor não cabe nem uma vez. E um divisor igual a 1 dá um quociente igual ao dividendo com resto 0, com uma linha por algarismo. Os algarismos do quociente são também de onde saem as expansões decimais: quando o desenvolvimento começa a se repetir, como acontece em 1 ÷ 7, as casas decimais se repetem junto. O painel escreve cada linha no formato 12 / 12 = 1 r 0, com a barra no lugar do sinal de divisão e a letra r abreviando o resto, e o passo a passo inteiro sai como texto puro — sem separador de milhar — enquanto o quociente sai como número, na grafia do idioma.

5.432 ÷ 17 escrito por extenso, uma coluna para cada parte de um passo

etapavalordivisoralgarismoresto
151705
2541733
33317116
41621799

Leia uma linha inteira e você tem uma linha do desenvolvimento: o valor que está sendo dividido, o divisor com que ele é comparado, o algarismo de quociente produzido e o que sobra. A primeira linha é 5 contra 17, que dá 0 vez com 5 sobrando, então o algarismo é 0. A linha seguinte desce o 4 e forma 54, e 54 ÷ 17 dá 3 com 3 sobrando. O padrão a notar está na coluna do valor: cada entrada é o resto anterior com mais um algarismo do dividendo acrescentado, que é o que descer um algarismo quer dizer, e é a única coisa que passa de uma linha para a seguinte. A coluna dos algarismos se junta na resposta, 0 3 1 9, que é 319, e a última entrada da coluna do resto, o 9, é o resto da divisão inteira. Faça a verificação: 17 × 319 + 9 = 5.432. Repare que o 0 inicial da coluna dos algarismos é dispensado da resposta e o 0 do meio não seria — um algarismo zero significa que o divisor não coube no valor daquele passo, o que é informação, enquanto um zero inicial simplesmente não se escreve. A tabela é fixa em 5.432 ÷ 17 e não acompanha o que você digitou; o painel acima faz as mesmas quatro colunas com os seus números, uma linha por algarismo.

Fórmula

1.234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ quociente 102, resto 10, e 12 × 102 + 10 = 1.234

1.234
O dividendo, o número que está sendo dividido, um número inteiro de 0 a 1.000.000.000. O zero é permitido e dá quociente e resto iguais a 0. Números negativos e decimais são recusados, porque o algoritmo escrito abaixo pressupõe algarismos e esta página não enuncia uma convenção de sinal
12
O divisor, o número que divide, um número inteiro de 1 a 1.000.000.000. Ele não pode ser 0: nada pode ser dividido em zero partes, e nenhum quociente satisfaria a verificação. Ele pode ser maior que o dividendo, e nesse caso o quociente é 0 e o resto é o próprio dividendo
1, 2, 3, 4
Os algarismos do dividendo, tomados um a um da esquerda para a direita. Cada passo acrescenta o próximo ao resto do passo anterior, e é isso que descer um algarismo quer dizer. O número de passos é igual ao número de algarismos do dividendo, então 1.234 gasta quatro passos e 1.000.000.000 gasta dez
0, 1, 0, 2
O algarismo de quociente produzido em cada passo: quantas vezes inteiras o divisor cabe no valor daquele passo. Um passo cujo valor é menor que o divisor contribui com o algarismo 0, e esses zeros fazem parte da resposta — 102 tem um no meio, e jogá-lo fora daria 12
1, 0, 3, 10
O resto que sobra em cada passo, sempre o não negativo. O último deles é o resto da divisão inteira; os anteriores são intermediários e desaparecem assim que o próximo algarismo desce. Nada aqui é negativo, e é por isso que dividendos negativos pertencem à página de convenções de resto
dividendo = divisor × quociente + resto
A saída de verificação, e a definição da operação inteira em vez de um resultado a mais: para 1.234 ÷ 12 ela diz 12 × 102 + 10 = 1.234. Se essa linha é verdadeira, o quociente e o resto estão corretos por definição, e se ela é falsa nada mais nesta página merece confiança

Este é o próprio método escrito, então quem precisa dele está aprendendo. A sequência de passos é o desenvolvimento que de outro modo estaria no papel, e vale compará-la linha por linha com o seu quando uma resposta não bate — o ponto em que as duas divergem é o erro, o que é mais útil do que receber o número certo. A linha de verificação é a outra metade disso: divisor vezes quociente mais resto é igual ao dividendo, e quem tem o quociente e o resto consegue confirmá-los sem refazer a divisão longa. Fora dos exercícios, essa mesma decomposição é como a divisão é tratada sempre que os números inteiros não podem ser partidos — 1.234 itens em grupos de 12 dão 102 grupos completos com 10 sobrando, e o resto é justamente a parte que não pode ser distribuída. Um resto igual a 0 quer dizer que a divisão deu exata. O algoritmo é também de onde saem as expansões decimais: levar o desenvolvimento para além da vírgula, acrescentando um zero ao resto, produz as casas decimais do quociente, e quando um resto se repete a casa decimal se repete junto — 1 ÷ 7 percorre os mesmos seis restos para sempre, e é por isso que 1/7 tem um bloco de seis algarismos que se repete. As linguagens de programação têm duas maneiras comuns de tratar um dividendo negativo, o truncamento e o arredondamento para baixo, e elas discordam entre si; o resto não negativo impresso aqui é o do arredondamento para baixo, e a página de resto mostra os dois lado a lado.

Exemplos resolvidos

  1. 1.234 ÷ 12, a entrada padrão

    1. Desça o 1: 1 ÷ 12 cabe 0 vezes, então o primeiro algarismo do quociente é 0 e sobra 1
    2. Desça o 2: o valor é 12, e 12 ÷ 12 cabe 1 vez sem sobrar nada
    3. Desça o 3: o valor é 3, e 3 ÷ 12 cabe 0 vezes, sobrando 3
    4. Desça o 4: o valor é 34, e 34 ÷ 12 cabe 2 vezes, sobrando 10
    5. Os algarismos do quociente em ordem são 0, 1, 0, 2 — escritos sem o zero inicial, isso é 102
    6. O resto final é 10, e a verificação confirma: 12 × 102 + 10 = 1.234

    A entrada padrão, e a que mostra por que os zeros do quociente importam. O terceiro passo contribui com um 0 porque 3 é menor que 12, e esse algarismo não é enfeite — a resposta é 102 e não 12. O zero inicial do primeiro passo é dispensado, já que 102 e 0102 são o mesmo número escrito de duas maneiras. A linha de verificação vale ser lida como uma frase: o divisor vezes a resposta mais o que sobrou devolve o número com que você começou. Na tela ela sai como 12 * 102 + 10 = 1234, com asterisco no lugar do sinal de vezes.

  2. 5.432 ÷ 17, o exemplo da tabela de referência

    1. Desça o 5: 5 ÷ 17 cabe 0 vezes, sobrando 5
    2. Desça o 4: o valor é 54, e 54 ÷ 17 cabe 3 vezes (3 × 17 = 51), sobrando 3
    3. Desça o 3: o valor é 33, e 33 ÷ 17 cabe 1 vez (17), sobrando 16
    4. Desça o 2: o valor é 162, e 162 ÷ 17 cabe 9 vezes (9 × 17 = 153), sobrando 9
    5. Os algarismos do quociente são 0, 3, 1, 9, o que dá 319, e o resto é 9

    As quatro linhas que a tabela abaixo apresenta coluna a coluna, e a razão de valer ler as duas: cada passo multiplica o divisor de volta para achar o maior produto que ainda cabe — 3 × 17 = 51 contra 54, depois 1 × 17 = 17 contra 33, depois 9 × 17 = 153 contra 162 —, e o resto é a diferença. As diferenças aqui são 3, 16 e 9, todas menores que o divisor 17, que é a invariante que faz de cada algarismo do quociente o maior possível.

  3. Um resto que se repete: 1.000.000.000 ÷ 7

    1. Desça o 1: 1 ÷ 7 cabe 0 vezes, sobrando 1
    2. Desça cada 0 por vez, formando 10, 30, 20, 60, 40, 50 e depois 10 de novo
    3. Os algarismos do quociente são 1, 4, 2, 8, 5, 7 e então 1, 4, 2, 8 se repetindo
    4. Depois do sétimo passo o resto volta a ser 1, então o ciclo inteiro recomeça
    5. O quociente é 142.857.142 e o resto final é 6

    Os restos aqui percorrem 1, 3, 2, 6, 4, 5 e então voltam a 1 — o ciclo do 1/7, que é a razão de os algarismos do quociente se repetirem como 142857. Essa repetição não é uma mania deste dividendo: sempre que um resto se repete, tudo depois dele se repete também, já que o passo seguinte depende apenas do valor que desceu. Também é a razão de uma fração na forma decimal ou terminar ou se repetir, e de o 1/7 ter um bloco de seis algarismos que se repete. Repare na grafia: o quociente sai como 142.857.142, com separador de milhar, e a linha de verificação sai como 7 * 142857142 + 6 = 1000000000, sem separador nenhum.

  4. Quando o divisor é maior que o dividendo: 7 ÷ 999.999.999

    1. Há um algarismo a descer, o 7
    2. 7 ÷ 999.999.999 cabe 0 vezes, já que 999.999.999 é muito maior que 7
    3. O algarismo do quociente é 0 e o dividendo inteiro sobra
    4. O quociente é 0 e o resto é 7

    Um quociente igual a 0 é uma resposta de verdade e não uma falha. Quando o divisor não cabe nem uma vez, nada é retirado, então o resto é o dividendo inteiro e a verificação diz 999.999.999 × 0 + 7 = 7. A lista de passos tem uma linha só porque o dividendo tem um algarismo só — o número de passos é sempre igual ao número de algarismos que estão sendo divididos, nunca ao tamanho do divisor.

Limitações

Os dois números precisam ser inteiros. O dividendo vai de 0 a 1.000.000.000, incluindo as pontas, e o divisor vai de 1 a 1.000.000.000, também incluindo as pontas. Um divisor igual a 0 é recusado: não existe número que, multiplicado por 0, devolva um dividendo diferente de zero, então nenhum quociente e nenhum resto satisfariam a verificação. Números negativos são recusados em vez de tratados com uma regra de sinal, porque o algoritmo escrito aqui trabalha com algarismos e as duas convenções para divisão negativa discordam entre si — esta página imprime o resto não negativo, e o caso em que isso importa pertence à página de resto, que mostra as duas convenções lado a lado. Decimais são recusados: o algoritmo pode ser estendido para além da vírgula acrescentando zeros, mas esse é outro procedimento e esta página não o faz, embora os restos que se repetem acima sejam de onde essas casas decimais vêm. Zero como dividendo é aceito e dá quociente 0 com resto 0. A lista de passos tem uma linha por algarismo do dividendo, então um dividendo de dez algarismos produz dez linhas e o painel fica longo de propósito — aquilo é o desenvolvimento, não um resumo dele. Há uma diferença de grafia entre as saídas que vale saber de antemão: o quociente e o resto são impressos como números e seguem a escrita numérica do idioma, com separador de milhar, enquanto o passo a passo e a linha de verificação são impressos como texto puro, sem separador nenhum e com a barra e o asterisco no lugar dos sinais de divisão e de multiplicação — dividindo 1.000.000.000 por 7 o painel mostra o quociente como 142.857.142 e escreve a verificação como 7 * 142857142 + 6 = 1000000000. A tabela de referência abaixo é fixa em 5.432 ÷ 17 e não acompanha o que você digitou; o painel acima responde aos seus números, e a tabela está ali para mostrar o que cada coluna de um passo significa. Todo valor é exato e nada é arredondado.

Perguntas frequentes

Como faço uma divisão longa passo a passo?
Trabalhe da esquerda do dividendo, um algarismo por vez. Divida o valor construído até ali pelo divisor, escreva quantas vezes inteiras ele cabe como o próximo algarismo da resposta e guarde o que sobrou. Depois desça o próximo algarismo — acrescente-o ao que sobrou — e repita até os algarismos acabarem. Para 1.234 ÷ 12 isso dá 0, 1, 0, 2 como algarismos e um resto final de 10, então a resposta é 102 com resto 10.
Qual é a diferença entre o quociente e o resto?
O quociente é quantas vezes inteiras o divisor cabe no dividendo, e o resto é o que sobra quando ele não cabe mais. Os dois estão amarrados pela definição: dividendo é igual a divisor vezes quociente mais resto. Para 1.234 ÷ 12 o quociente é 102 e o resto é 10, e 12 × 102 + 10 devolve 1.234. O resto é sempre menor que o divisor, e é isso que faz do quociente o maior número inteiro possível.
Por que o resto nunca é negativo aqui?
Porque esta página usa a convenção em que o resto é o não negativo — subtrai-se o maior múltiplo do divisor que não ultrapassa o dividendo, e o que sobra fica entre 0 e o divisor. As linguagens de programação costumam truncar, o que pode deixar um resto negativo: dividir −1 por 2 dá resto −1 no truncamento e 1 nesta convenção. A página de resto mostra as duas lado a lado. Dividendos negativos são recusados aqui em vez de tratados com uma escolha silenciosa.
A resposta pode ter um zero no meio?
Pode, e o zero faz parte da resposta. Um algarismo zero aparece sempre que o valor daquele passo é menor que o divisor, então 1.234 ÷ 12 produz os algarismos 0, 1, 0, 2 — o zero do meio não pode ser dispensado, já que 102 e 12 são números diferentes. Só um zero inicial é omitido, porque 0102 e 102 são o mesmo número.
O que acontece quando o dividendo é menor que o divisor?
O quociente é 0 e o resto é o dividendo inteiro. 7 ÷ 999.999.999 cabe 0 vez, então nada é subtraído e todo o 7 sobra; a verificação diz 999.999.999 × 0 + 7 = 7. A lista de passos tem uma linha, porque o número de passos é sempre igual ao número de algarismos do dividendo, e não a algo ligado ao divisor.
Por que os restos começam a se repetir?
Porque cada passo depende apenas do valor que entra nele, então assim que um resto volta, toda a sequência depois dele se repete. Dividir 1.000.000.000 por 7 produz os restos 1, 3, 2, 6, 4, 5 e depois 1 de novo, então os algarismos do quociente se repetem como 142857. É daqui que vêm as dízimas periódicas: levar o mesmo desenvolvimento para além da vírgula, acrescentando zeros, transforma esse ciclo no bloco que se repete de 1/7.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de restoQuociente e resto, nas duas convenções de sinal.Calculadora de fração para decimalConverta uma fração em decimal, exato ou arredondado.Conversor de decimal para binárioConverta um inteiro decimal em binário, passo a passo.Calculadora de arredondamentoArredondamento por casa decimal ou algarismos significativos.