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CalcMax

Calculadora de fração para decimal

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

0,375000

Em decimal

Fração irredutível
3/8
Dígitos repetidos (0 = decimal finito)
0

Uma calculadora de fração para decimal divide o numerador pelo denominador e informa três coisas: o quociente em decimal, a própria fração reduzida à forma irredutível e o comprimento do bloco de dígitos que se repete. Três oitavos dá 0,375000 e o decimal termina, então o período é zero. Um terço dá 0,333333 no painel e o decimal não termina nunca, então o período é um — um único dígito se repetindo para sempre. Esse terceiro número é o que separa esta página de uma divisão comum. Toda fração tem uma expansão decimal, e essa expansão cai em exatamente dois tipos: ela termina depois de uma quantidade finita de dígitos, ou é uma dízima periódica, continuando para sempre com um bloco de dígitos que se repete. Não existe uma terceira possibilidade, e qual dos dois você recebe é decidido inteiramente pelo denominador antes de qualquer divisão. Reduza a fração primeiro — esta página faz isso por você, então dois quartos é informado como um meio — e olhe de que o denominador reduzido é feito. Se os únicos fatores primos dele forem dois e cinco, o decimal termina, e o número de casas é quantos fatores de dois ou de cinco tiver a corrida mais longa dos dois. Se o denominador tiver qualquer outro fator primo, o decimal se repete, e se repete para sempre. O comprimento do período é então uma propriedade só daquele denominador, e é por isso que ele é uma coisa útil de imprimir: um sétimo se repete a cada seis dígitos, um noventa e sete avos a cada noventa e seis, e a fração vinte e dois sétimos — uma aproximação muito boa de pi — também se repete a cada seis, porque o denominador embaixo é o sete. Ler os resultados na outra ordem vale a pena uma vez. A fração irredutível diz se o decimal vai terminar; o decimal diz qual é ele em seis casas; o período diz quanto dele você não está vendo. Quando esse terceiro resultado é zero, as seis casas são a resposta inteira e nada foi perdido. Quando não é, as seis casas são uma visão arredondada de uma expansão que não tem fim — um terço é exibido como 0,333333, que não é um terço mas um terço arredondado na sexta casa, e a diferença é 0,000000333 e não vai embora. Repare que o painel completa com zeros à direita até as seis casas mesmo quando a divisão é exata: três oitavos aparece como 0,375000 e cinco sobre um como 5,000000. Duas entradas são recusadas. Um denominador zero não tem resposta, e um numerador que não seja um número inteiro é recusado em vez de convertido, já que um número misto tem de virar uma fração imprópria antes de poder ser dividido por qualquer coisa. A fração irredutível e o período são impressos como texto puro, sem separador de milhar, então 1/100000 aparece assim mesmo.

Um sobre cada denominador, de dois a doze

DenominadorDecimalDígitos repetidos
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

Onze frações unitárias, e as duas colunas que importam são a primeira e a última — o denominador e o comprimento do ciclo dele, com o decimal no meio como aquilo que você iria procurar em outro lugar. Leia a coluna do período de cima para baixo e o padrão é a teoria inteira desta página: 2, 4, 5, 8 e 10 dão zero porque esses números são feitos só de dois e cincos; 3, 6, 9 e 12 dão 1 porque há um único três dentro de cada um deles; 11 dá 2, o ciclo curto dele; e 7 dá 6, o mais longo da tabela. Leia a coluna do decimal ao lado de um período diferente de zero e o ponto fica concreto: terços, sextos, doze avos e nonos aparecem todos como aproximações — 0,333333, 0,166667, 0,083333 — enquanto as linhas que terminam aparecem exatas. A sétima linha merece um segundo olhar, porque 0,142857 é o mesmo bloco de seis dígitos que aparece em vinte e dois sétimos, e é a razão de aquela fração ser uma aproximação tão boa de pi. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

Decimal = numerador ÷ denominador Fração irredutível = numerador/denominador com o máximo divisor comum cancelado Período = o comprimento do bloco de dígitos que se repete (0 se o decimal for finito)

Numerador
O de cima da fração, um número inteiro. Pode ser negativo ou zero; um numerador zero dá um decimal zero, e uma fração cujo numerador é maior que o denominador dá um decimal acima de um
Denominador
O de baixo da fração, um número inteiro de até cem mil e diferente de zero. É este campo que decide se o decimal termina ou se repete e, se repetir, qual o comprimento do período — um fato só sobre o denominador
Decimal
O numerador dividido pelo denominador, mostrado em seis casas. Quando o decimal é finito essas seis casas contêm a resposta inteira com zeros à direita; quando ele se repete, elas são a expansão arredondada na sexta casa, e não uma forma truncada nem exata dela
Fração irredutível
A fração na forma irredutível, que é a forma em que o comportamento repetitivo dela tem de ser julgado: 2/4 é informado como 1/2, e é o 2 desse denominador que decide que o decimal termina, não o 4 que você digitou
Dígitos repetidos
Quantos dígitos tem o bloco que se repete, ou zero se o decimal termina. Um terço dá 1, um sétimo dá 6, um noventa e sete avos dá 96 — e o número depende só do denominador reduzido, então toda fração com noventa e sete embaixo tem um período de noventa e seis, qualquer que seja o numerador

Três usos, em ordem crescente de quanto o terceiro resultado ajuda. Converter uma fração em decimal para medir ou para uma planilha é o mais simples: três oitavos é 0,375, um meio é 0,5, e as quatro frações de denominadores pequenos vale saber de cor. Conferir se uma fração vai converter exatamente é o segundo, e é a pergunta que importa quando a resposta tem de caber num número fixo de casas decimais — um denominador feito só de dois e cincos converte limpo, e um que contenha um sete ou um três nunca vai converter, por mais casas que você permita. E estimar quanta precisão você está abrindo mão é o terceiro: uma fração com período de um ou dois dígitos é bem representada por seis casas decimais, enquanto uma com período de noventa e seis não é — um noventa e sete avos aparece como 0,010309, e as seis casas seguintes da expansão verdadeira são dígitos completamente diferentes, o que vale saber antes de esse número entrar numa conta. Dois casos estão fora do que a página faz. Transformar um decimal que se repete de volta na fração exata dele é a direção inversa e um problema separado, e um decimal impresso com seis casas jogou fora justamente a estrutura repetitiva que resolveria a questão. E números mistos não são aceitos como entrada: dois e um quarto entra como 9/4, porque a divisão precisa de um único numerador e um único denominador.

Exemplos resolvidos

  1. Três oitavos — um decimal que termina

    1. Dividir o numerador pelo denominador: 3 ÷ 8 = 0,375
    2. A divisão dá exata, então o período é 0
    3. A fração já está na forma irredutível, então ela é informada como 3/8

    O caso padrão e o tipo fácil: oito é feito só de dois, então o decimal termina e as seis casas do painel carregam a resposta inteira com zeros depois — o painel mostra 0,375000, e não 0,375. O período igual a zero é o que diz isso: um zero aqui significa que nada foi arredondado e nada foi jogado fora, o que faz dele a primeira coisa a olhar quando a exatidão de um decimal importa.

  2. Um terço — um decimal que não termina

    1. Dividir: 1 ÷ 3 = 0,333333…
    2. Três não é feito de dois e cincos, então a expansão não termina
    3. O bloco que se repete é o único dígito 3, então o período é 1
    4. O painel mostra as seis primeiras casas, 0,333333

    O caso para o qual o resultado do período existe, e aquele em que o decimal é menos confiável. 0,333333 não é um terço — é um terço arredondado na sexta casa, e multiplicá-lo por três dá 0,999999 em vez de 1. O período igual a 1 avisa que o painel é uma vista de uma expansão infinita e não a resposta inteira; um período zero na mesma página diria o contrário. Somar um terço com dois terços é a demonstração clássica: os decimais dão 0,999999 enquanto as frações dão exatamente 1.

  3. Vinte e dois sétimos — um período longo e uma fração imprópria

    1. Dividir: 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
    2. Sete contribui com um fator primo diferente de dois ou cinco, então o decimal se repete
    3. O bloco que se repete é 142857, com seis dígitos
    4. O painel mostra 3,142857, e a fração já está na forma irredutível

    Uma fração maior que um, então o decimal tem uma parte inteira, e um denominador sete, cujo período tem seis dígitos — o mais longo que um denominador de um algarismo produz. Vinte e dois sétimos é a aproximação clássica de pi, correta em duas casas decimais, e o bloco 142857 é ele mesmo famoso como o ciclo de um sétimo. O resultado do período faz trabalho de verdade aqui: ele diz que os seis dígitos mostrados são o bloco que se repete por inteiro e não um fragmento arredondado de um bloco maior.

  4. Dois quartos é informado como um meio

    1. Reduzir primeiro: 2 e 4 compartilham o fator 2, então a fração é 1/2
    2. Dividir a forma reduzida: 1 ÷ 2 = 0,5
    3. Dois é feito só de dois, então o período é 0

    A página reduz antes de dividir, e é assim que isso aparece: a fração informada é 1/2 e não o 2/4 que foi digitado. O valor é idêntico dos dois jeitos, e a forma reduzida é aquela de onde o comportamento repetitivo tem de ser lido — o denominador que decide se um decimal termina é o reduzido. Ver isso uma vez explica por que uma fração digitada numa forma que você não esperava volta numa forma diferente. O decimal também é impresso com as seis casas completas, 0,500000.

  5. Um noventa e sete avos — um período maior que o painel

    1. Dividir: 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
    2. Noventa e sete é primo e não é dois nem cinco, então o decimal se repete
    3. O período tem 96 dígitos
    4. O painel mostra as seis primeiras casas, 0,010309

    O caso extremo, e a razão de o período valer a pena ser impresso mesmo quando é grande. Noventa e seis dígitos é muito mais que as seis casas do painel, então o que você está vendo é um dezesseis avos da primeira repetição — um número que precisaria ser levado a muitíssimas casas antes de o padrão aparecer. Um período de 96 ao lado de um decimal de seis casas é um aviso: não quer dizer que o decimal esteja errado, quer dizer que o decimal é um instantâneo. Compare com o caso de um terço, em que o período de 1 torna as mesmas seis casas uma representação muito melhor do número.

Limitações

O decimal é mostrado em seis casas, então ele só é exato quando o período é zero. Quando o período é maior que zero o número não tem forma decimal finita e as seis casas são a expansão arredondada na sexta casa — um terço aparece como 0,333333, que não é um terço, e um terço somado a dois terços aparece como 0,999999 em vez de 1. Um período maior que seis significa que o painel está mostrando só uma parte de uma única repetição. As seis casas aparecem sempre completas, inclusive quando a divisão é exata: três oitavos é impresso como 0,375000, com os zeros à direita preenchendo até a sexta casa, e é isso que faz o período igual a zero a leitura que distingue um decimal exato de um arredondado. A página reduz antes de dividir, então uma fração digitada numa forma diferente da irredutível volta reduzida: 2/4 é informado como 1/2 e 100/8 como 25/2, e o período, sendo uma propriedade do denominador reduzido, é calculado a partir dessa forma reduzida. Resultados inteiros são impressos como números inteiros em vez de frações sobre um, então 5/1 volta como 5 e um numerador zero como 0. Números mistos não são aceitos: dois e um quarto tem de ser digitado como 9/4, porque a divisão trabalha com um único numerador e um único denominador, e um valor não inteiro em qualquer dos dois campos é recusado em vez de convertido — o painel mostra uma linha de erro no lugar do resultado, em vez de marcar a caixa de entrada, porque a recusa vem do próprio cálculo. Os denominadores têm teto de cem mil, o que também limita o período: o ciclo mais longo que qualquer denominador permitido consegue produzir tem pouco menos de cem mil dígitos. E o período é informado como uma contagem de dígitos e não como os dígitos em si: a página diz que a expansão de um noventa e sete avos se repete a cada noventa e seis casas sem mostrar quais noventa e seis dígitos são. Por fim, esta página converte fração em decimal e não o contrário, nem converte para porcentagem, que são duas outras páginas.

Perguntas frequentes

Como converto uma fração em decimal?
Divida o numerador pelo denominador: três oitavos é 3 ÷ 8 = 0,375 e um meio é 1 ÷ 2 = 0,5. A divisão é o método inteiro — a única coisa que vale fazer antes é reduzir a fração à forma irredutível, porque é o denominador reduzido que decide se o decimal vai terminar ou continuar para sempre.
Como sei se o decimal vai terminar?
Olhe os fatores primos do denominador reduzido. Se ele for feito só de dois e cincos, o decimal termina: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 e 100 dão todos decimais finitos. Se contiver qualquer outro primo — um três, um sete, um onze — o decimal é uma dízima periódica, repetindo-se para sempre, e não pode ser escrito exatamente em nenhum número finito de casas. O resultado do período diz em qual dos casos você está: zero significa que o decimal termina, e qualquer outro valor é o comprimento do bloco que se repete.
Por que 1/3 aparece como 0,333333?
Porque o painel carrega seis casas decimais e um terço não tem forma decimal finita, então a sexta casa é onde a expansão é arredondada. 0,333333 não é exatamente um terço — multiplique por três e você obtém 0,999999 em vez de 1, que é a maneira aritmética de ver a diferença. O período igual a 1 é a página dizendo isso: o decimal continua, e o que está mostrado é uma vista dele e não a resposta.
Por que 2/4 aparece como 1/2?
Porque a página reduz a fração antes de dividir, e a forma reduzida é a que importa para tudo o mais que ela informa. O valor é o mesmo dos dois jeitos — 0,5 —, mas o período é uma propriedade do denominador reduzido, então a redução tem de acontecer primeiro: é o 2 de 1/2 que diz que o decimal termina, não o 4 que você digitou. Frações digitadas numa forma mais alta que o necessário sempre voltam reduzidas.
O que significa um período de 96?
Que a expansão decimal daquela fração se repete a cada noventa e seis dígitos — no caso de um noventa e sete avos, o bloco de noventa e seis dígitos continua para sempre. Ele não é uma medida de quão preciso é o decimal mostrado: as seis casas exibidas continuam corretas até onde vão, são simplesmente uma parte pequena de uma única repetição. O que ele diz é que seis casas decimais não conseguem representar bem o número, já que os dígitos seguintes não são uma continuação do padrão visível e sim de um padrão muito mais longo.
A resposta pode ser maior que um, ou negativa?
As duas coisas são comuns. Um numerador maior que o denominador dá um decimal acima de um — vinte e dois sétimos é 3,142857 — e a fração informada continua imprópria em vez de virar um número misto. Um numerador negativo dá um decimal negativo, e o sinal fica no numerador da fração: menos três quartos é -0,75 e é impresso como -3/4. O período não é afetado por nenhuma das duas coisas, porque ele depende só do denominador.

Referências

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