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Calculadora de frações

Intervalo: 1 – 100.000

Intervalo: 1 – 100.000

Resultado

5/6

Fração irredutível

Antes de simplificar
5/6
Em decimal
0,833333

Uma calculadora de frações faz as quatro operações com duas frações de uma vez: digite um numerador e um denominador, escolha somar, subtrair, multiplicar ou dividir, digite a segunda fração, e a resposta volta já na forma irredutível. Um meio mais um terço dá cinco sextos, e a ferramenta imprime isso em vez dos dezesseis trinta e seis avos que sairiam da multiplicação dos denominadores entre si. Essa última frase é a razão de valer a pena usar uma calculadora aqui. Somar frações é a operação que as pessoas erram, porque é a única das quatro em que os denominadores precisam combinar antes de qualquer coisa acontecer: na multiplicação basta multiplicar em cruz e pronto, mas na soma e na subtração os meios e os terços têm de virar algo que os dois compartilhem. Dois caminhos levam até lá. O caminho seguro, que esta página mostra por inteiro, multiplica cada numerador pelo denominador do outro e usa o produto dos dois como denominador comum: para um meio e um terço isso dá cinco sextos sobre seis, a forma antes de simplificar. O caminho mais arrumado acha o menor número que os dois denominadores dividem, que aqui é seis e que leva direto a cinco sextos. Os dois resultados existem para que você veja os dois, e vale saber que não são duas respostas — são um número antes e depois de cancelar. A divisão é a outra operação com regra própria: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pela fração de cabeça para baixo, então um meio dividido por três quartos é um meio vezes quatro terços, o que dá quatro sextos e depois dois terços. A multiplicação e a subtração não trazem surpresa desse tipo, embora seja na subtração que aparece um numerador negativo: um meio menos um terço é um sexto, um terço menos um meio é menos um sexto, e a página mantém o sinal de menos no numerador em vez de na fração inteira, porque foi ali que a conta o colocou. Quatro coisas sobre a página valem ser sabidas antes de confiar nela. Ela trabalha com frações impróprias e não com números mistos: nove quartos volta como nove quartos, que é a forma que o próximo cálculo quer, e não como dois e um quarto. Um denominador zero é recusado de saída em vez de tratado como resposta, já que a fração não teria valor nenhum. Dividir por uma fração cujo numerador é zero também é recusado, porque o inverso de zero não é um número. E um numerador grande o bastante para a multiplicação em cruz sair da faixa em que os números inteiros são exatos é recusado em vez de respondido por aproximação, que é o único limite de entrada que esta página impõe além do teto de cem mil nos denominadores. Os dois campos que mostram frações são impressos como texto puro, sem separador de milhar, então um resultado como 100000/3 aparece assim mesmo.

As quatro operações, e onde o cancelamento acontece

Primeira fraçãoOperadorSegunda fraçãoAntes de simplificarFração irredutívelDecimal
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Seis linhas cobrindo as quatro operações, e o par de colunas que importa é a quarta e a quinta — o mesmo número antes e depois de cancelar. Leia a segunda linha primeiro, porque é ela que mostra o trabalho com mais clareza: um quarto mais um sexto passa por 10/24, que se reduz a 5/12 porque dez e vinte e quatro compartilham o fator dois. Depois olhe a primeira e a terceira linhas, em que as duas colunas trazem a mesma fração e nenhum cancelamento foi necessário; uma página que mostrasse só uma coluna esconderia os dois fatos. As linhas de multiplicação e de divisão mostram as regras que vêm com elas: multiplicar em cruz dá 6/15 e depois 2/5, e dividir multiplica pelo inverso, então um meio sobre três quartos dá 4/6 e depois 2/3. O decimal de cada linha é a fração irredutível com seis casas, o que faz da última coluna uma conferida das duas anteriores — a segunda e a terceira linhas terminam as duas em 0,416667 apesar de chegarem à resposta por operações diferentes e por frações intermediárias diferentes. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

Somar ou subtrair: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Multiplicar: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Dividir: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Depois divida as duas partes pelo máximo divisor comum delas

Primeira fração
Um numerador e um denominador, os dois números inteiros. O numerador pode ser negativo ou zero; o denominador não pode ser zero nem passar de cem mil
Operação
Uma das quatro operações, escolhida numa lista porque só existem quatro — somar, subtrair, multiplicar ou dividir a primeira fração pela segunda. A divisão é a que é feita virando a segunda fração de cabeça para baixo, então é também aquela em que um numerador zero na segunda fração é recusado
Segunda fração
O outro operando, com as mesmas regras: qualquer numerador inteiro, um denominador diferente de zero de até cem mil. O numerador dela vira o denominador do inverso quando a operação é a divisão
Antes de simplificar
A fração que sai direto da regra, sem nenhum cancelamento feito ainda: cinco sextos sobre seis para um meio mais um terço. O denominador dela é o produto dos dois denominadores, e é por isso que essa forma às vezes é chamada de multiplicação em cruz — e por isso ela pode ser maior do que o menor denominador comum seria
Fração irredutível
O mesmo valor com o máximo divisor comum retirado das duas partes: cinco sextos sobre seis se cancela para cinco sextos. Esta é a resposta, e o passo entre os dois resultados é a redução de frações inteira
Decimal
A resposta em decimal, com seis casas: cinco sextos é 0,833333. Um valor que não divide exatamente é arredondado em vez de truncado, e as seis casas são uma escolha de exibição e não uma declaração sobre a precisão da fração

Quatro operações, quatro ocasiões, e um hábito que vale ter. Somar é o que se faz com quantidades que vêm em partes diferentes de um todo — um terço de xícara mais um quarto de xícara, e a página diz que dá sete doze avos. Subtrair é a mesma coisa com o sinal trocado, e é a operação em que a ordem das duas frações importa: um meio menos um terço é um sexto, enquanto um terço menos um meio é menos um sexto, então a fração digitada primeiro é a que está sendo subtraída. Multiplicar é a mais simples das quatro e a que corre mais risco de ser complicada sem necessidade — multiplique em cruz, numerador por numerador e denominador por denominador, e não há denominador comum a procurar; um meio de dois terços é um terço. Dividir é multiplicar pelo inverso, e é a operação para a qual as pessoas pegam a calculadora: três quartos divididos por um meio é três quartos vezes dois, que é seis quartos, que é um e meio. Debaixo das quatro mora um hábito: confira a resposta contra um decimal aproximado. Cinco sextos sobre seis é um pouco mais que oito décimos, e cinco sextos também, então a simplificação não mudou o valor — que é a única coisa que a simplificação tem permissão de deixar intacta. Se os dois decimais discordarem, o erro está na conta e não no cancelamento, e nenhuma releitura do resultado irredutível vai encontrá-lo.

Exemplos resolvidos

  1. Um meio mais um terço

    1. Denominador comum pela multiplicação em cruz: 2 × 3 = 6
    2. Primeiro numerador: 1 × 3 = 3
    3. Segundo numerador: 1 × 2 = 2
    4. Somar os numeradores sobre o denominador comum: (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. Nada se cancela — 5 e 6 não têm fator em comum — então a fração antes de simplificar e a resposta são a mesma, e o decimal é 0,833333

    O caso padrão, e um em que os dois resultados de fração coincidem. Isso acontece sempre que a forma obtida pela multiplicação em cruz já está na forma irredutível, o que numa soma de duas frações unitárias quer dizer que os denominadores eram primos entre si. Vale ver isso uma vez antes dos casos em que eles diferem, para que uma página mostrando a mesma fração duas vezes não pareça um defeito.

  2. Um quarto mais um sexto, nas duas formas

    1. Denominador comum pela multiplicação em cruz: 4 × 6 = 24
    2. Primeiro numerador: 1 × 6 = 6; segundo numerador: 1 × 4 = 4
    3. Somar os dois sobre o denominador comum: (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Máximo divisor comum de 10 e 24: 2
    5. Dividir as duas partes por 2: a resposta é 5/12, e em decimal 0,416667

    O exemplo que explica os dois resultados. Vinte e quatro não é o menor número que quatro e seis dividem — doze é —, então a fração antes de simplificar é maior do que precisaria ser, e o passo de cancelamento faz trabalho de verdade. Passar pelo produto em vez do menor múltiplo comum não é preguiça: é uma regra que funciona para qualquer par de denominadores sem nenhuma análise dos fatores deles, e a redução depois traz tudo de volta à forma arrumada. Dez vinte e quatro avos e cinco doze avos são o mesmo número, o que os decimais iguais no fim da conta confirmam.

  3. Dois terços vezes três quartos

    1. Multiplicar em cruz: 2 × 3 = 6 sobre 3 × 4 = 12
    2. Nenhum denominador comum é necessário — esse passo pertence só à soma e à subtração
    3. Cancelar o seis: 6 ÷ 6 = 1 e 12 ÷ 6 = 2
    4. A resposta é 1/2, que é 0,5

    Multiplicação, em que os denominadores são simplesmente multiplicados e nada precisa combinar antes. O cancelamento aqui vale ser notado: dois terços vezes três quartos é um meio, menor que qualquer um dos dois operandos porque os dois são menores que um — um resultado que surpreende quem espera que multiplicar aumente as coisas, e que uma conferida contra 0,5 confirma num passo.

  4. Um meio dividido por três quartos

    1. Virar a segunda fração de cabeça para baixo: 3/4 vira 4/3
    2. Multiplicar em vez disso: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Cancelar o dois: 4 ÷ 2 = 2 e 6 ÷ 2 = 3
    4. A resposta é 2/3, que é 0,666667

    Divisão, que é multiplicação pelo inverso — a regra que faz o numerador da segunda fração cair no denominador da resposta. Repare no sentido: um meio dividido por três quartos é dois terços, maior que o meio de onde você partiu, porque o divisor é menor que um. Dividir por um número abaixo de um sempre aumenta o resultado, e essa é a conferida mais rápida disponível aqui.

  5. Um terço menos um terço, e nove quartos divididos por nove quartos

    1. Denominador comum: 3 × 3 = 9
    2. Primeiro numerador 1 × 3 = 3, segundo numerador 1 × 3 = 3
    3. Subtrair: (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Reduzir: zero sobre qualquer coisa é zero, e a resposta sai como 0 em vez de 0/9

    Zero, que é uma resposta legítima e não um resultado vazio — as duas frações eram iguais, e números iguais subtraídos não deixam nada. O resultado antes de simplificar guarda a forma do trabalho que o produziu, o nove no denominador, enquanto a resposta se reduz ao único algarismo. A mesma redução acontece no outro extremo: dividir nove quartos por nove quartos dá o número inteiro 1, com 36 sobre 36 como forma antes de simplificar, então uma fração cujo numerador e denominador são iguais é impressa como número inteiro em vez de como uma fração sobre si mesma.

Limitações

O resultado antes de simplificar vem da multiplicação em cruz, não do menor denominador comum. Somar um quarto com um sexto passa por vinte e quatro em vez de doze, então a fração intermediária é maior que a arrumada e parece errada a quem espera o mínimo múltiplo comum. As duas frações são o mesmo número e a resposta está certa — os dois resultados diferem apenas em quanto cancelamento foi feito —, mas se o que você queria era o menor denominador compartilhado, é o resultado irredutível que deve ser lido. Os resultados são frações impróprias e nunca números mistos: nove quartos continua nove quartos em vez de virar dois e um quarto, e um resultado inteiro é impresso como número inteiro, então um meio dividido por um meio é 1 e não 1/1. O resultado decimal é arredondado em seis casas, o que o torna uma conferida da resposta e não uma maneira de enunciá-la: um terço é 0,333333 e a soma de um terço com dois terços aparece como 0,999999 em vez de 1, enquanto os resultados em fração, passando pela mesma conta, dão exatamente 1. Os denominadores têm teto de cem mil, e isso é um limite deliberado de quanto cancelamento a página faz de uma vez. Três entradas são recusadas em vez de respondidas: um denominador zero, porque a fração não tem valor; uma divisão cujo segundo numerador é zero, porque o inverso de zero não é um número; e um numerador grande o bastante para a multiplicação em cruz sair da faixa em que a aritmética inteira é exata, o que a página relata como erro em vez de imprimir uma fração aproximada. Numeradores não inteiros também são recusados, então um valor como um e meio num campo de numerador tem de ser convertido à mão numa fração imprópria antes de ser aceito, e nesse caso o painel mostra uma linha de erro no lugar do resultado em vez de marcar a caixa de entrada, porque a recusa vem do próprio cálculo.

Perguntas frequentes

Por que os dois resultados de fração são diferentes?
Porque um é a resposta e o outro é o trabalho. A fração antes de simplificar sai direto da regra — os denominadores multiplicados entre si, cada numerador multiplicado pelo denominador do outro lado — e a fração irredutível é aquele mesmo valor com o máximo divisor comum cancelado nas duas partes. Um quarto mais um sexto é 10/24 antes de cancelar e 5/12 depois; os decimais batem, e essa é a prova de que só a escrita mudou.
Por que o denominador antes de simplificar é 24 se 12 já servia?
Porque a página acha um denominador comum multiplicando os dois denominadores, e não procurando o menor número que os dois dividem. Vinte e quatro é quatro vezes seis, e é um denominador comum válido ainda que doze seja menor. A troca é deliberada: multiplicar funciona sempre e não exige analisar os denominadores, e o passo de cancelamento depois traz a resposta de volta à forma irredutível de qualquer maneira. Se você quer o menor denominador compartilhado, leia o resultado irredutível.
Como se dividem frações?
Multiplique pelo inverso: vire a segunda fração de cabeça para baixo e multiplique em cruz. Um meio dividido por três quartos é um meio vezes quatro terços, que é quatro sextos, que se reduz a dois terços. A regra existe porque dividir por um número é multiplicar pelo inverso dele, e é por isso que o numerador da segunda fração acaba no denominador da resposta — 0,666667 contra 0,5 confirma que a resposta cresceu, como dividir por algo menor que um tem de fazer.
A resposta pode ser um número misto?
Não — os resultados são frações impróprias, então nove quartos volta como 9/4 em vez de 2 1/4. A fração imprópria é a forma que continua funcionando: somar ou multiplicar um número misto exige convertê-lo de volta em fração imprópria antes, então imprimir um só significaria convertê-lo outra vez no passo seguinte. Transformar 9/4 em dois e um quarto é uma divisão, e ler o valor decimal faz o mesmo trabalho para uma conferida rápida.
O que acontece se um denominador for zero?
A página relata um erro, e não há resposta a dar: uma fração com denominador zero não tem valor, porque o denominador é o número de partes em que o todo é dividido e dividir por zero não está definido. Dividir por uma fração cujo numerador é zero é recusado pelo mesmo motivo — o inverso de zero não é um número —, enquanto um numerador zero na primeira fração é aceito e dá zero em qualquer multiplicação ou divisão.
Como conferir se a resposta está certa?
Converta os dois operandos em decimais de cabeça e faça a operação nesses números aproximados. Um meio mais um terço deve cair entre 0,8 e 0,9, e cinco sextos é 0,833333. Multiplicar duas frações menores que um deve dar algo menor que qualquer uma delas, e dividir por algo menor que um deve dar algo maior. Quando a resposta aproximada e a fração discordarem, o problema está na conta e não no cancelamento, já que cancelar só pode mudar a maneira como um número é escrito.

Referências

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