Calculadora de resto

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ quociente 9, resto 2, e −47 = 5 × −10 + 3 com piso contra −47 = 5 × −9 + −2 com truncamento

47

O dividendo, o número que está sendo dividido, um inteiro de −1.000.000.000 a 1.000.000.000. Valores negativos são permitidos e são a razão de o campo de convenção abaixo existir. Decimais são recusados em vez de arredondados, já que um resto é uma afirmação sobre números inteiros

5

O divisor, um inteiro de −1.000.000.000 a 1.000.000.000. Ele não pode ser 0: nenhum quociente satisfaria a conferência. Ele também pode ser negativo, e um divisor negativo troca o sinal do quociente nas duas convenções — a linha de conferência é o que mantém isso em ordem

truncated

A convenção que descarta a parte fracionária do quociente exato, movendo-o em direção ao zero: −47 ÷ 5 dá −9 porque −9,4 é truncado para −9. O resto então carrega o sinal do dividendo e pode ser negativo. É o que a maioria das linguagens de programação produz e é o padrão aqui

euclidean

A convenção que leva o quociente ao inteiro seguinte para baixo, de modo que o resto nunca é negativo: −47 ÷ 5 dá −10 com resto 3. A teoria dos números e a aritmética modular exigem esta, porque um resto negativo não tem significado quando ele representa uma posição num ciclo. As duas concordam sempre que os dois números são positivos

quociente 9

Quantas vezes inteiras o divisor cabe. Sob truncamento este é o quociente exato com a parte fracionária descartada; sob piso é o quociente exato arredondado para baixo. As duas diferem exatamente em 1 quando os sinais fazem o resto ficar negativo, e nunca fora disso

resto 2

O que sobra, e o número sobre o qual a página inteira trata. Ele é sempre menor que o divisor em valor absoluto, e é 0 sempre que a divisão é exata. O sinal dele é toda a diferença entre as duas convenções: sob truncamento ele segue o dividendo, sob piso ele nunca fica abaixo de 0

Dividir coisas em grupos é o caso do dia a dia, e é aquele em que a convenção nunca importa: 47 itens em grupos de 5 dão 9 grupos cheios com 2 sobrando, e ninguém chamaria a resposta de −9 com −2 sobrando. A convenção começa a importar no momento em que os números podem ficar negativos, e isso acontece mais vezes do que parece. A divisão inteira na programação é o caso comum — a maioria das linguagens trunca, então −47 / 5 é −9 e o resto é −2, e código que pressupõe um resto não negativo quebra com entradas negativas. A aritmética modular é o outro lado disso: horários, datas de calendário, percorrer uma lista em ciclo e a aritmética de computador com inteiros de largura fixa precisam todos da versão de piso, porque “três passos para trás a partir daqui” tem de cair numa posição real do ciclo. Nos estudos, o resto sob truncamento é o que se ensina junto com a divisão longa, com os negativos ou excluídos ou tratados pela mesma regra do sinal que segue o dividendo — e a operação de módulo, que devolve só o resto, é justamente o caso em que se espera um resultado não negativo. Vale usar a linha de conferência em todas essas situações, porque as duas convenções produzem quocientes que diferem em um e restos que diferem no divisor, e os dois pares satisfazem a definição — um par que não a satisfaz é um defeito, independentemente de qual convenção era a pretendida.

1. 47 ÷ 5, onde as duas convenções concordam

   1. O 5 cabe nove vezes em 47: 5 × 9 = 45
   2. 47 − 45 = 2, então sobram 2
   3. O quociente exato é 9,4, e truncá-lo dá 9
   4. O piso de 9,4 também dá 9, então as duas convenções concordam aqui
   5. Conferência: 5 × 9 + 2 = 47

   A entrada padrão, e o caso em que o campo de convenção não faz diferença. As duas convenções concordam sempre que o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o que inclui todo par de números positivos — a escolha só aparece quando um dos dois é negativo. Ler a conferência como uma frase é o hábito que vale a pena formar: o divisor vezes o quociente mais o resto tem de devolver o dividendo exatamente.

2. −47 ÷ 5 truncando: o resto fica negativo

   1. O quociente exato é −47 ÷ 5 = −9,4
   2. Truncar descarta a parte fracionária, movendo o quociente em direção ao zero: −9
   3. 5 × −9 = −45, que é 2 acima de −47, então 2 precisa ser devolvido: o resto é −2
   4. O resto carrega o sinal do dividendo, que é o que o torna negativo aqui
   5. Conferência: 5 × −9 + −2 = −47

   O quociente é −9, e não −10, e o resto é −2, e não 3. Tanto este par quanto o próximo satisfazem a mesma definição, e é esse o ponto da página: −9 com resto −2 e −10 com resto 3 são duas decomposições corretas de −47, e a convenção é o que decide qual delas você recebe. A maioria das linguagens de programação cai aqui, então código que pressupõe que um resto nunca é negativo vai se surpreender com esta linha.

3. −47 ÷ 5 com piso: o resto fica não negativo

   1. O quociente exato continua sendo −47 ÷ 5 = −9,4
   2. O piso o move para o inteiro seguinte para baixo em vez de em direção ao zero: −10
   3. 5 × −10 = −50, que está 3 abaixo de −47, então sobram 3: o resto é 3
   4. O resto é não negativo, que é o que esta convenção garante
   5. Conferência: 5 × −10 + 3 = −47

   Mesmo dividendo, mesmo divisor, resposta diferente — e esta não é uma correção do exemplo anterior. O piso é o que a aritmética modular exige, porque um resto que representa uma posição num ciclo não pode ser negativo; −47 módulo 5 é 3 naquele contexto, e espera-se que todo resultado de uma operação de módulo caia entre 0 e o divisor. O quociente é um a menos que sob truncamento, e o resto é maior exatamente no valor do divisor, que é a relação fixa entre as duas convenções.

4. Um divisor negativo perto do limite: 1.000.000.000 ÷ −999.999.999

   1. O divisor é negativo, então o quociente exato é negativo: cerca de −1,000000001
   2. Truncar em direção ao zero dá −1
   3. −999.999.999 × −1 = 999.999.999, que fica 1 abaixo de 1.000.000.000
   4. O resto é 1, e ele assume o sinal do dividendo, que é positivo
   5. Conferência: −999.999.999 × −1 + 1 = 1.000.000.000

   Os dois números ficam na borda do que a página aceita, e o quociente sai como −1 porque o divisor é apenas um pouco maior que o dividendo em valor absoluto. A linha de conferência é a parte que vale ler: dois números negativos se multiplicando e dando um positivo, mais um resto de 1, caem exatamente no dividendo. Um divisor negativo troca o sinal do quociente nas duas convenções, enquanto o resto continua seguindo o dividendo. Só uma advertência de grafia: os números deste passo estão escritos como o português os escreve, com ponto de milhar, mas a linha de conferência que o painel imprime é texto simples e sai como -999999999 * -1 + 1 = 1000000000, sem separador nenhum e com o hífen do teclado no lugar do traço tipográfico.

Tanto o dividendo quanto o divisor precisam ser números inteiros de −1.000.000.000 a 1.000.000.000, inclusive, e o divisor não pode ser 0 em nenhuma das convenções — não existe número que, multiplicado por 0, devolva um dividendo diferente de zero, então nenhum quociente e resto poderiam satisfazer a conferência. Decimais são recusados em vez de arredondados: um resto é uma afirmação sobre números inteiros dividindo números inteiros. O campo de convenção aceita um de dois valores, truncado ou de piso, e os dois estão sempre disponíveis; não há uma terceira opção, e a página não vai adivinhar qual delas você quis. Com os dois números positivos a escolha não faz diferença, e as duas convenções nunca discordam sobre nada além do sinal do resto e de um quociente que difere em um. Sob truncamento o resto pode ser negativo, e isso é o comportamento da convenção, e não um erro. A tabela de referência abaixo está fixada em ±47 e ±5 e não acompanha a sua entrada: ela expõe as quatro combinações de sinais para que as duas convenções possam ser comparadas lado a lado, e o painel acima responde ao que você digitou. Todo valor é exato — todos os números são inteiros bem dentro da faixa que uma máquina guarda com precisão —, então nada aqui é arredondado. Vale registrar duas grafias que convivem na tela: as duas primeiras linhas são números e seguem a escrita numérica do idioma, enquanto a linha de conferência é impressa como texto puro, com o hífen do teclado e sem separador de milhar — no exemplo do divisor negativo ela sai literalmente como -999999999 * -1 + 1 = 1000000000, e é por isso que os mesmos valores aparecem agrupados aqui no texto.

Por que existem duas respostas para a mesma divisão?

Porque a definição só diz que o quociente vezes o divisor mais o resto tem de devolver o dividendo, e para um dividendo negativo tanto um quociente menor com resto negativo quanto um quociente maior com resto positivo a satisfazem. −47 ÷ 5 é −9 com resto −2 quando o quociente é truncado em direção ao zero, e −10 com resto 3 quando ele é levado ao piso. As duas estão certas, e a convenção decide qual delas você recebe.

Qual convenção eu devo usar?

O truncado é o padrão aqui porque é o que a maioria das linguagens de programação produz e o que a maioria das pessoas entende por divisão inteira — o quociente caminha em direção ao zero e o resto assume o sinal do dividendo. Escolha o piso quando o resto precisar ser não negativo: módulo no sentido matemático, posições num ciclo, aritmética de calendário e qualquer coisa em que o resto seja um índice dentro de uma lista que se repete. Com dois números positivos a escolha não faz diferença nenhuma.

Qual é o resto quando o divisor é negativo?

Vale a mesma regra, com o sinal do quociente trocado. 47 ÷ −5 dá −9 com resto 2 sob truncamento, porque o resto segue o dividendo e não o divisor. O divisor ser negativo muda o sinal do quociente e deixa intacta a regra de sinal do resto, que é o que a segunda linha da tabela mostra.

Isto é a mesma coisa que a operação de módulo?

Aparentado, mas não idêntico. O módulo devolve apenas o resto e normalmente é definido com um resultado não negativo, que é a convenção de piso daqui. A diferença aparece em entradas negativas: −47 módulo 5 é 3, enquanto a divisão inteira com truncamento devolve −2. Se o que você quer é um resultado não negativo, escolha o piso; se quer o quociente arredondado em direção ao zero, escolha o truncado.

Qual é o resto quando a divisão é exata?

Zero, nas duas convenções. Quando o divisor cabe um número inteiro de vezes não sobra nada, e a conferência lê divisor vezes quociente igual ao dividendo, sem um terceiro termo com que se preocupar. Um resto 0 é uma resposta normal e significa que a divisão foi exata, não que a saída falhou.

Por que o divisor não pode ser zero?

Porque nenhum quociente e resto conseguiriam satisfazer a conferência. Se o divisor é 0, então 0 vezes qualquer quociente é 0, e a conferência exigiria que o resto fosse igual ao dividendo e ao mesmo tempo menor que o divisor em valor absoluto — impossível para qualquer dividendo diferente de zero, e para um dividendo 0 a resposta seria todos os números ao mesmo tempo, em vez de uma resposta. A página recusa em vez de devolver algo arbitrário.

• Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)