Calculadora de arco duplo

sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sen²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

O ângulo de partida, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira, e o que a página dobra é este ângulo, nunca o número que ele produz

2θ

O ângulo dobrado. Ele é informado primeiro, em graus, porque todo o resto da página é lido nesse ângulo, e não naquele que você digitou

sen θ, cos θ

O seno e o cosseno do ângulo original. A identidade multiplica um pelo outro em vez de dobrar qualquer um dos dois, e é por isso que a resposta não é duas vezes nada

Recorra a esta página quando o ângulo for ser dobrado e você quiser saber onde ele cai sem desenvolver as identidades à mão — uma rotação aplicada duas vezes, uma fase que avança o dobro do passo, um comprimento de onda ou um período lido no dobro da frequência. As fórmulas de arco duplo impressas abaixo são as mesmas três identidades que a calculadora aplica, então a página serve também de conferência para uma conta feita à mão. Se o que você tem é a leitura dobrada e quer o ângulo original de volta, esse é o sentido do arco metade e não é uma função que esta página faça. E se você quer as três razões no ângulo que digitou, e não no dobro dele, a página de trigonometria faz exatamente isso, e as duas concordam onde ambas estão definidas.

1. Um ângulo de 30 graus, dobrando para 60

   1. Duas vezes trinta graus é sessenta graus, então tudo é lido ali
   2. O seno de 60 é √3/2, cerca de 0,866, e o cosseno de 60 é um meio
   3. A tangente é a razão entre os dois, √3, cerca de 1,7321

   O ângulo com que a página carrega, e o que mostra por que a página existe. O seno de trinta graus é 0,5, então duas vezes esse valor daria 1 — mas o seno de sessenta graus é 0,866, e não há como chegar ao segundo dobrando o primeiro. A identidade explica de onde vem o 0,866: dois vezes 0,5 vezes 0,866, o produto do seno pelo cosseno de trinta. O ângulo dobrado é maior que o original por um fator de dois; a razão não.

2. Um ângulo de 22,5 graus, dobrando para 45

   1. Duas vezes vinte e dois e meio é quarenta e cinco graus
   2. Aos quarenta e cinco graus o ponto está sobre a reta y = x, então o seno e o cosseno são iguais
   3. Leituras iguais dão uma tangente que sai como um, e não como 0,9999

   Vinte e dois e meio é metade de quarenta e cinco, o que faz desta a fórmula do arco metade lida no sentido em que ela costuma ser procurada. Quarenta e cinco é um dos poucos ângulos cujas três razões são exatas, e ele está fora do alcance da tabela de sempre, então o caminho até ele é um valor dobrado, não um valor decorado. As duas razões saem iguais porque nesse ângulo as duas coordenadas coincidem, e é essa igualdade que faz a tangente cair exatamente sobre um.

3. Um ângulo de 90 graus, dobrando para 180

   1. Duas vezes noventa é cento e oitenta graus, meia volta
   2. O ponto fica sobre o semieixo x negativo, então o cosseno é menos um e o seno é zero
   3. A tangente é zero dividido por menos um, o que dá zero

   A única linha em que o ângulo dobrado alcança um extremo: o cosseno está no menor valor que existe, menos um. Nada nesta página falha aos noventa graus, ainda que noventa seja justamente o ângulo que a página de trigonometria recusa — a tangente não está sendo lida ali, e sim aos cento e oitenta, onde ela se comporta muito bem e vale zero. Mudar a leitura de ângulo já basta para sair de um polo.

4. Um ângulo além de uma volta inteira, 750 graus

   1. Setecentos e cinquenta graus é trinta graus mais duas voltas inteiras
   2. Dobrando isso dá mil e quinhentos graus, que é sessenta graus mais quatro voltas inteiras
   3. Quatro voltas inteiras não mudam nada, então a leitura é a mesma de sessenta graus

   As quatro colunas são idênticas às da linha de trinta graus, e devem ser: setecentos e cinquenta e trinta são o mesmo ângulo, então têm o mesmo dobro e as mesmas três razões ali. Nada aqui trata um ângulo grande como caso especial — o ângulo dobrado é trazido de volta para a faixa antes de ser lido, e voltas inteiras são descartadas. Cinco graus abaixo de um milhão é tratado do mesmo jeito, pela mesma razão.

Três coisas que esta página não faz. Primeira: a tangente do arco duplo é recusada aos quarenta e cinco graus, aos cento e trinta e cinco, e em todo ângulo que dobre para um ângulo reto ou para três quartos de volta — inclusive nas versões negativas e nas que passam de uma volta desses mesmos ângulos. A recusa leva o ângulo inteiro junto, ainda que o seno e o cosseno do arco duplo sejam números comuns nesses casos. Segunda: as leituras saem com quatro casas decimais e a maior parte delas é irracional: o seno exato de um arco duplo de trinta graus é raiz de três sobre dois, e 0,866 é onde isso cai depois do arredondamento. O cosseno se comporta pior que o seno aqui — a identidade subtrai dois quadrados, e os dois ficam quase iguais perto de quarenta e cinco graus, então a resposta pequena que sai é a diferença de dois números maiores. Terceira: a página não inverte. Dado um seno de 0,866 para um arco duplo, esse arco duplo poderia ser sessenta ou cento e vinte, e o ângulo original poderia ser qualquer um dos infinitos ângulos que dobram para qualquer dos dois — recuperar um ângulo a partir de uma razão exige uma decisão que esta página não toma.

O seno de um arco duplo é duas vezes o seno do ângulo?

Não, e é em torno desse engano que a página foi construída. O seno de trinta graus é 0,5, mas o seno de sessenta graus é 0,866, e não 1. Dobrar um ângulo não é escalar as razões dele. O seno de um arco duplo é duas vezes o produto do seno pelo cosseno do ângulo original — uma multiplicação de duas leituras diferentes, e não a duplicação de uma delas.

Por que a página recusa 45 graus?

Porque quarenta e cinco dobra para noventa, e a tangente de noventa graus não tem valor. O seno e o cosseno aos noventa vão bem, um e zero, mas a página informa a tangente também, e uma resposta parcial apresentada como completa é pior do que nenhuma. A mesma recusa cobre cento e trinta e cinco graus, que dobra para duzentos e setenta, e cobre todo ângulo a meia volta de qualquer um dos dois — inclusive a versão negativa deles.

Quais são as três identidades de arco duplo?

O seno de um arco duplo é duas vezes o produto do seno pelo cosseno do ângulo original. O cosseno de um arco duplo é o quadrado do cosseno menos o quadrado do seno, e essa mesma expressão pode ser escrita como um menos duas vezes o seno ao quadrado ou como duas vezes o cosseno ao quadrado menos um — as três são o mesmo número, e a forma a usar é aquela cuja razão original você já tem em mãos. A tangente de um arco duplo é duas vezes a tangente original dividida por um menos o quadrado dessa tangente.

Por que vale a pena conhecer 22,5 graus?

Porque o dobro dele é quarenta e cinco, e quarenta e cinco é um dos poucos ângulos com razões exatas — um meio para o seno, um meio para o cosseno e exatamente um para a tangente. Vinte e dois e meio não está em nenhuma tabela de sempre, mas é metade de um que está, então ele fica ao alcance de quem lê uma fórmula de arco duplo ao contrário. Essa leitura ao contrário é o que as fórmulas de arco metade são.

O ângulo pode ser negativo ou maior que uma volta inteira?

Pode, e os dois casos são tratados do mesmo jeito: o ângulo é dobrado e o resultado é trazido de volta para a faixa, então setecentos e cinquenta graus são lidos exatamente como trinta, e menos trinta é lido exatamente como trezentos e trinta. Voltas inteiras são descartadas porque não mudam nada na direção para onde o arco duplo aponta. A única coisa a observar é que a leitura é sempre informada na faixa de zero até uma volta inteira.

Posso informar o ângulo em radianos?

Pode — há um seletor de unidade ao lado da caixa, e o ângulo dobrado é informado em graus de qualquer maneira, já que é essa a unidade que a saída declara. Um terço de pi radianos e sessenta graus são o mesmo ângulo e dão os mesmos quatro números. Como sempre, confira qual unidade a fonte com que você está comparando assume, porque a maior parte das tabelas publicadas entende graus.

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)