Calculadora de arco metade

sen(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sen θ = sen θ / (1 + cos θ)

θ

O ângulo de partida, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira, e é trazido para a faixa antes de qualquer divisão

θ/2

O arco metade, sempre informado na faixa de zero até meia volta. Todos os outros números da página são lidos aqui, e não no ângulo que você digitou

cos θ

O cosseno do ângulo inteiro. É a única entrada de que as identidades do seno e do cosseno precisam — as duas raízes são construídas a partir dele, e é por isso que uma leitura num ângulo incômodo ainda pode ser exata

sen θ

O seno do ângulo inteiro, usado pelas duas formas fracionárias da tangente. Ele é o divisor, então não pode ser zero — e os ângulos em que ele é zero são exatamente os ângulos em que a metade esbarra num ângulo reto

Recorra a esta página quando o ângulo for ser dividido pela metade e você quiser as três razões nessa metade sem desenvolver as identidades à mão — um oscilador na metade da frequência de excitação, o ângulo entre duas superfícies espelhadas, uma corda vista da metade do ângulo central, um passo que é metade de uma volta ou um quarto dela. As fórmulas impressas abaixo são as mesmas três identidades que a calculadora aplica, então a página serve também de conferência para uma conta feita à mão. Duas vizinhas cobrem o resto. Se o que você tem é o ângulo, e não a metade dele, as fórmulas de arco duplo caminham no sentido oposto, e as duas páginas concordam onde ambas estão definidas. E se você quer as três razões no ângulo que está na caixa, e não na metade dele, a página de trigonometria lê exatamente ali, sem dividir nada.

1. Um ângulo de 30 graus, cuja metade é 15

   1. A metade de trinta graus é quinze graus, então tudo é lido ali
   2. A identidade do seno: o cosseno de trinta é 0,866, então um menos isso dá 0,134, a metade de 0,134 é 0,067, e a raiz quadrada disso é 0,2588
   3. O cosseno é a mesma raiz com um mais dentro: um mais 0,866 dá 1,866, a metade disso é 0,933, e a raiz quadrada é 0,9659
   4. A tangente é a razão entre os dois, 0,2588 dividido por 0,9659, o que dá 0,2679 — e a forma fracionária concorda: 0,134 dividido por 0,5 dá 0,268

   O ângulo com que a página carrega, e o que mostra o engano que ela mira. O seno de trinta graus é 0,5, então a metade disso daria 0,25 — mas o seno de quinze graus é 0,2588, um pouco mais que a metade. As duas leituras são próximas o bastante para que a resposta errada pareça plausível, e é exatamente por isso que a página imprime a certa. Repare também que o ângulo inteiro tem cosseno exato aqui, um meio de raiz de três, e mesmo assim a metade saiu irracional: dividir um ângulo pela metade tira você da tabela de sempre, em vez de levar você até ela.

2. Um ângulo de 90 graus, cuja metade é 45

   1. A metade de noventa graus é quarenta e cinco
   2. O cosseno de noventa é zero, então as duas identidades se reduzem à raiz quadrada de um meio, que é 0,7071
   3. As duas raízes dão o mesmo número aqui porque o que está dentro delas é a mesma coisa: um menos zero e um mais zero
   4. Leituras iguais dão uma tangente que sai como um, e não como 0,9999

   A única linha em que um ângulo famoso sai de um ângulo que não é famoso por isso. Quarenta e cinco graus é um dos poucos ângulos cujas três razões podem ser escritas exatamente — o seno e o cosseno são os dois um meio de raiz de dois, e a tangente é um. O caminho até ele é um arco metade, e não uma tabela decorada, e esta linha é esse caminho. É também a linha em que o seno e o cosseno são iguais, o que acontece aos quarenta e cinco e aos duzentos e vinte e cinco graus e em nenhum outro ponto da circunferência; nesta tabela, porém, isso só pode aparecer na linha dos quarenta e cinco, porque a metade informada nunca passa de cento e oitenta graus.

3. Um ângulo de 400 graus, que é o mesmo que 40

   1. Quatrocentos graus é quarenta graus mais uma volta inteira
   2. Uma volta inteira não muda nada na direção para onde o ângulo aponta, então a leitura é tomada aos quarenta
   3. A metade de quarenta é vinte, então as três razões são as de vinte graus: 0,342, 0,9397 e 0,364

   Digite quarenta graus na mesma caixa e cada um dos quatro números sai idêntico — é esse o ponto da linha. Dividir antes de normalizar daria duzentos graus aqui e vinte ali, duas respostas diferentes para a mesma pergunta, e é por isso que a ordem é fixada no sentido contrário. O mesmo vale para setecentos e cinquenta graus, cuja metade é lida como a de um ângulo de quinze graus.

4. Um ângulo de menos 30 graus, cuja metade é 165

   1. Menos trinta graus é trezentos e trinta graus, um terço de volta aquém de uma volta inteira
   2. A metade de trezentos e trinta é cento e sessenta e cinco
   3. Cento e sessenta e cinco está no segundo quadrante, então o seno dele é positivo e o cosseno é negativo
   4. A tangente é, portanto, negativa: −0,2679

   A linha que pega as pessoas de surpresa. Um ângulo negativo não se divide numa metade negativa, porque o ângulo é trazido para a faixa primeiro; a metade de um ângulo negativo é um ângulo na metade de cima da circunferência. O seno aqui é o mesmo 0,2588 da linha dos trinta graus, e isso não é coincidência — quinze e cento e sessenta e cinco são imagens espelhadas em relação ao eixo vertical, então compartilham o seno e têm cossenos opostos. A tangente troca de sinal junto com o cosseno.

Três coisas que esta página não faz. Primeira: a tangente é recusada aos cento e oitenta graus, aos quinhentos e quarenta, a menos cento e oitenta, e em todo ângulo que qualquer um deles represente mais ou menos uma volta inteira, porque a metade de cada um é um ângulo reto e a tangente não tem valor ali. A recusa leva a leitura inteira junto, ainda que o seno e o cosseno na metade sejam números comuns — um e zero. Segunda: as três razões são informadas com quatro casas decimais e a maior parte delas é irracional; o arco metade impresso é outra história, já que dividir um número inteiro de graus pela metade dá no pior caso meio grau, e duas casas decimais bastam para representá-lo exatamente. Terceira: a página não funciona ao contrário. O arco metade informado está sempre na faixa de zero até cento e oitenta graus, então qualquer leitura entre essas duas pontas pertence a uma infinidade de ângulos originais — uma leitura de vinte graus diz que o original era quarenta, ou quatrocentos, ou qualquer um dos infinitos ângulos intermediários —, e uma metade como cento e noventa e cinco graus não aparece em lugar nenhum, porque ela fica fora da faixa que a página informa: quatrocentos e noventa e cinco graus, por exemplo, é aceito pela caixa e mesmo assim é lido como cento e trinta e cinco, cuja metade é sessenta e sete e meio.

O seno de um arco metade é metade do seno do ângulo?

Não, e é em torno desse engano que a página foi construída. O seno de trinta graus é 0,5, então a metade disso é 0,25 — mas o seno de quinze graus é 0,2588. Os dois são próximos o bastante para que a resposta errada pareça razoável, e é por isso que a página imprime a certa junto com os passos. O seno de um arco metade é a raiz quadrada de um menos o cosseno do ângulo inteiro, sobre dois: uma raiz de um cosseno, não uma fração de um seno.

Quais são as três identidades de arco metade?

O seno de um arco metade é a raiz quadrada de um menos o cosseno do ângulo inteiro, sobre dois. O cosseno de um arco metade é a mesma raiz com um mais dentro em vez de um menos. A tangente de um arco metade pode ser escrita de três maneiras — um menos o cosseno sobre o seno, o seno sobre um mais o cosseno, ou a raiz quadrada de um menos o cosseno sobre um mais o cosseno — e as três dão o mesmo número. As formas fracionárias costumam ser as mais práticas, porque evitam tirar raiz quadrada.

Por que um ângulo negativo não se divide numa metade negativa?

Porque o ângulo é trazido para a faixa antes de ser dividido, e não depois. Menos trinta graus é trezentos e trinta graus, e a metade de trezentos e trinta é cento e sessenta e cinco. Dividir primeiro daria menos quinze, que é um ângulo real, mas não está na faixa que a saída informa e discordaria do resto da página sobre qual dos dois ângulos espelhados está em jogo. A leitura é sempre a que fica na metade de cima da circunferência.

Por que a página recusa 180 graus?

Porque a metade de cento e oitenta é noventa, e a tangente de noventa graus não tem valor. O seno e o cosseno aos noventa vão bem, um e zero, mas a página informa a tangente junto com eles, e uma resposta parcial apresentada como completa é pior do que nenhuma. A mesma recusa cobre quinhentos e quarenta graus e menos cento e oitenta, que são o mesmo ângulo de cento e oitenta, e cobre todo ângulo a uma volta inteira de qualquer um deles.

Em que isto difere das fórmulas de arco duplo?

São as mesmas três relações lidas em sentidos opostos. As fórmulas de arco duplo partem de um ângulo e dão o seno, o cosseno e a tangente no dobro dele; a fórmula do arco metade parte de um ângulo e dá as três razões na metade dele. A diferença que importa é onde o arredondamento cai. Dobrar mantém você em graus inteiros, então a leitura no dobro de trinta é exatamente sessenta; dividir pela metade costuma tirar você da tabela, então a metade de trinta é quinze e as leituras dela são irracionais.

Posso informar o ângulo em radianos?

Pode — há um seletor de unidade ao lado da caixa, e o arco metade é informado em graus de qualquer maneira, já que é essa a unidade que a saída declara. Um sexto de pi radianos e trinta graus são o mesmo ângulo e dão os mesmos quatro números. A única coisa a observar é que a unidade vale para o ângulo que você digita, e não para a metade, que é sempre mostrada em graus.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)