Calculadora de rendimento de título

Preço de mercado = Σ [ cupom × (1 + i)^−k ] + valor nominal × (1 + i)^−n, resolvida para i (k = 1 … n; cupom = valor nominal × taxa do cupom ÷ pagamentos por ano; n = anos até o vencimento × pagamentos por ano)

Preço de mercado

O que o título custa hoje, e a única quantidade que esta página recebe em vez de resolver

Cupom

Valor nominal × taxa do cupom ÷ pagamentos por ano — 20 no título padrão, pago duas vezes por ano

Valor nominal

O valor devolvido no vencimento e a base sobre a qual o cupom é calculado

Anos até o vencimento

Quanto tempo falta, informado em anos e multiplicado pelos pagamentos por ano para dar o número de pagamentos que ainda virão

Rentabilidade até o vencimento (i)

A incógnita que esta página resolve: a taxa anual que desconta cada pagamento restante até o preço de mercado

Use sempre que o preço de um título lhe for cotado e a taxa do cupom não bastar para compará-lo com nada. A taxa do cupom é fixa pela vida do papel e não diz nada sobre o que você está pagando por ele: um título antigo de 4% e um título novo de 4% têm a mesma taxa do cupom e rentabilidades completamente diferentes se um deles custa 922,05 e o outro custa 1.000. Leia a rentabilidade até o vencimento como o retorno que você de fato ganharia levando o título até o fim e reinvestindo cada cupom àquela mesma taxa, e leia o rendimento corrente ao lado dela como o número honesto de caixa deste ano apenas — se os dois estiverem distantes, o preço do título está longe do par, e a maior parte do seu retorno vem do preço caminhando para o par, e não dos cupons. O caso que faz esta calculadora valer a pena é um preço próximo ou acima da soma de tudo o que o título vai pagar algum dia, onde o rendimento corrente ainda parece um cupom e a rentabilidade até o vencimento está em zero ou abaixo dele.

1. Valor nominal de 1.000, cupom de 4%, 10 anos, semestral, ao preço de 922,05

   1. O cupom é 1.000 × 4% ÷ 2 = 20, pago 20 vezes ao longo dos dez anos
   2. A uma rentabilidade de 5%, a taxa por período é 5% ÷ 2 = 2,5%
   3. Valor presente dos 20 cupons: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Valor presente do valor nominal: 1.000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Os dois somam 311,78 + 610,27 = 922,05, que é o preço que você informou, então 5% é a rentabilidade
   6. Rendimento corrente: os 40 pagos a cada ano ÷ 922,05 = 4,34% — os 77,95 de deságio que este título devolve além dos cupons são exatamente o que ele deixa de fora

   Este é o caso padrão da página de preço de título lido ao contrário, e rodar assim é a conferência mais barata de que as duas páginas fazem a mesma aritmética: lá o título foi precificado a 5% e deu 922,05, aqui recebem 922,05 e devolvem 5. Repare também que as duas rentabilidades diferem em 0,66 de ponto em um título cujo preço está apenas 7,8% abaixo do par — a distância cresce rápido conforme o preço cai, e é o que o próximo exemplo mostra.

2. O mesmo título a 728,19 — uma rentabilidade de 8%

   1. O cupom continua 20 a cada seis meses, então o preço é a única coisa que mudou
   2. A uma rentabilidade de 8%, a taxa por período é 4%
   3. Valor presente dos 20 cupons: 20 × (1 − 1,04⁻²⁰) ÷ 0,04 = 271,8066
   4. Valor presente do valor nominal: 1.000 × 1,04⁻²⁰ = 456,3869
   5. Juntos, 271,8066 + 456,3869 = 728,1935, que arredonda para os 728,19 que você informou
   6. Rendimento corrente: 40 ÷ 728,19 = 5,49%, contra uma rentabilidade até o vencimento de 8%

   A distância de 2,51 pontos entre 5,49 e 8 é os 271,81 que este título devolve acima do que custa, e é a razão inteira de um título com deságio profundo não poder ser julgado pela taxa do cupom nem pelo rendimento corrente. Ler só o rendimento corrente aqui subestima o retorno em cerca de um terço.

3. Um título sem cupom: valor nominal de 1.000, cupom zero, ao preço de 610,27

   1. Zere a taxa do cupom: o título não paga nada até o vencimento
   2. 1.000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27, então a uma rentabilidade de 5% o preço inteiro é o valor nominal descontado
   3. Não há cupom para dividir, então o rendimento corrente é zero — um título sem cupom não tem rendimento corrente em nenhum sentido útil
   4. Os 389,73 de deságio são o retorno inteiro, e eles chegam de uma vez só no vencimento

   A prova mais limpa de que a rentabilidade não é o cupom nem o rendimento corrente: este título paga 0% e retorna 5%, e nenhuma coluna além da rentabilidade até o vencimento diz isso. É também a razão de a página conseguir informar uma rentabilidade para um título cujo rendimento corrente não quer dizer nada, que é boa parte do que uma mesa de renda fixa faz o dia inteiro.

Esta é a versão limpa de uma rentabilidade de título, e a liquidação real é mais confusa em quatro pontos específicos. Ela precifica um título cujo próximo cupom está a um período inteiro de distância, então não trata juros acumulados: entre as datas de cupom, o vendedor tem direito à parte do cupom corrente que já passou, e uma nota de corretagem real soma isso ao preço cotado. É um preço limpo justamente por isso, e não um preço sujo. Ela supõe que todo cupom restante é de um período inteiro, então um título com primeiro ou último período irregular fica fora do alcance. Ela trata a taxa do cupom como uma taxa anual repartida igualmente entre os períodos do ano, e não acumulada por uma contagem de dias real, e não distingue as convenções 30/360 e dias corridos por dias corridos que governam a liquidação de verdade. A rentabilidade até o vencimento informada supõe que cada cupom é reinvestido àquela mesma taxa até o vencimento, que é a definição padrão e também a ressalva padrão: reinvestindo a uma taxa menor, o retorno realizado é menor. A precisão da resposta é limitada pelo preço que você digitou — um preço com dois decimais fixa a rentabilidade em cerca de um milésimo de ponto, e é preciso mexer alguns centavos no preço para que esse milésimo se mova: mediram-se 922,04, 922,05 e 922,06 e os três devolvem 5,000%, enquanto 922,10 já devolve 4,999%. Do outro lado, um preço acima da soma de tudo o que o título vai pagar algum dia não tem rentabilidade positiva nenhuma, e a página avisa em vez de imprimir um número negativo. Nada aqui modela risco de calote, liquidez, impostos, cláusula de resgate antecipado ou fundo de amortização, e esta página não aplica nenhuma tabela de imposto de renda: no Brasil os rendimentos de renda fixa são tributados por uma tabela regressiva conforme o prazo, e nada disso está aqui. Por fim, nenhum número desta página traz símbolo de moeda.

O que é a rentabilidade até o vencimento?

É a taxa anual única pela qual cada pagamento que o título ainda lhe deve — cada cupom restante e o valor nominal no vencimento — é descontado até o preço que o título custa hoje. É o retorno que você ganharia comprando por esse preço e levando até o vencimento, e é a única taxa que permite comparar títulos com cupons e preços diferentes. No caso padrão, um título de valor nominal 1.000 pagando 4% duas vezes por ano, com dez anos restantes e preço de mercado de 922,05, tem rentabilidade até o vencimento de 5%.

Como se calcula a rentabilidade até o vencimento de um título?

Escreva a equação de precificação — o preço de mercado é igual aos cupons descontados mais o valor nominal descontado — e depois encontre a taxa que a torna verdadeira. Não há como isolar a taxa nessa equação quando resta mais de um período, então a resposta é encontrada testando taxas e estreitando o intervalo. No título padrão, 5% dá 311,78 de cupons mais 610,27 de valor nominal, o que resulta em 922,05, o preço exato.

Por que a rentabilidade até o vencimento é diferente do rendimento corrente?

Porque os dois medem coisas diferentes. O rendimento corrente é o cupom anual dividido pelo preço e para por aí: 40 ÷ 922,05 = 4,34%. A rentabilidade até o vencimento também conta os 77,95 que este título devolve acima do preço, distribuídos ao longo dos dez anos até o vencimento, e é por isso que ela marca 5%. A distância é pequena para um título perto do par e grande para um bem abaixo dele: a um preço de 728,19 o rendimento corrente é 5,49% contra uma rentabilidade até o vencimento de 8%.

O que é um título com deságio?

É um título que custa menos do que o valor nominal que devolve, o que acontece quando a rentabilidade exigida pelo mercado está acima da taxa do cupom que o papel paga. O título padrão é um título com deságio: custa 922,05 e devolve 1.000, então carrega um deságio de 77,95, e parte do seu retorno chega como essa diferença de preço, e não como renda de cupom. Quanto mais fundo o deságio, mais do retorno total vem dele — a 728,19 o título devolve 271,81 mais do que custa.

O que significa quando a rentabilidade de um título é maior que a taxa do cupom?

Que você está comprando abaixo do par, então a taxa do cupom subestima o que você vai ganhar. Um título de 4% precificado para render 8% paga exatamente os mesmos 40 por ano que um título de 4% precificado para render 4%; a diferença é que o primeiro custa 728,19 e devolve 1.000. Sempre que a rentabilidade até o vencimento fica acima da taxa do cupom o preço tem de estar abaixo do valor nominal, e sempre que ela fica abaixo da taxa do cupom o preço tem de estar acima.

A rentabilidade até o vencimento pode ser negativa?

Não nesta página, e não para um título que você compraria. Uma rentabilidade negativa significa pagar hoje mais do que o título vai devolver algum dia — mais do que o valor nominal somado a todos os cupons que ainda virão —, e isso existe de verdade em alguns mercados de governo, mas não é algo que esta página informe. Se você digitar um preço de mercado acima da soma de tudo o que o título vai pagar, ela para e avisa em vez de imprimir uma taxa negativa, porque o número seria aritmeticamente definido e financeiramente enganoso.

Qual rentabilidade devo usar para comparar dois títulos?

A rentabilidade até o vencimento, porque é a única que considera o que você paga. Dois títulos com a mesma taxa do cupom de 4% e o mesmo vencimento não são o mesmo investimento se um custa 922,05 e o outro custa 1.000, e a taxa do cupom não tem como dizer isso. O rendimento corrente serve como conferência de quanto do retorno é dinheiro em caixa neste ano, e não ganho de preço — e quando os dois números estão distantes, essa distância é a resposta de uma pergunta que você deveria fazer antes de comprar.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula this page solves in reverse — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price, which is the figure printed beside the yield to maturity) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)