Como se calcula o rendimento até o vencimento?

É a taxa que desconta todo pagamento restante — cada cupom e o valor nominal no fim — até o preço que você está pagando. Não há como rearranjar a fórmula para obtê-la diretamente, então ela é encontrada por busca: experimente uma taxa, precifique o título com ela e estreite o intervalo até o preço bater. Num título de 4% com dez anos a 92,205 por cada 100, pago duas vezes por ano, a resposta é 2,5% por semestre, cotados como 5,000% ao ano.

Por que o preço é por cada 100 do valor nominal, e não um valor em dinheiro?

Porque o valor nominal se cancela na equação, então cotar por cada 100 deixa dois títulos diferentes comparáveis de imediato e elimina um campo que só poderia ser preenchido errado. Um título a 92,205 está a 92,205% do valor nominal tanto se o valor nominal for 100 quanto se for 1.000.000. Informar o preço em dinheiro em vez disso — 922,05 para o mesmo título — não devolve um rendimento negativo: a página recusa o valor com uma mensagem de erro, porque 922,05 está acima de 140, que é a soma de tudo o que este título ainda vai pagar antes de qualquer desconto, e não existe rendimento até o vencimento não negativo que chegue a esse preço.

Qual é a diferença entre o rendimento até o vencimento e o rendimento anual efetivo?

Duas convenções para escrever a mesma taxa. A taxa cotada é nominal: é a taxa do período multiplicada pelo número de períodos, então 2,5% duas vezes por ano se escreve 5,000%. O rendimento anual efetivo reescreve isso como o fator de crescimento de um ano inteiro, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626%, que é o que o dinheiro realmente faz. Os dois só são iguais quando o cupom é pago uma vez por ano. Com pagamentos trimestrais os mesmos 5,000% cotados são 5,0946% efetivos, e com pagamentos mensais 5,1162% — quanto mais vezes os juros se capitalizam, maior fica essa distância.

Por que o rendimento corrente é diferente do rendimento até o vencimento?

Porque o rendimento corrente só conta os cupons. Ele é um ano de cupons dividido pelo preço, e não diz nada sobre o fato de que um título comprado abaixo do valor nominal será resgatado pelo valor nominal, o que é uma parte real do retorno. No exemplo padrão o cupom é 4,00 contra um preço de 92,205, então o rendimento corrente é 4,34%, enquanto o rendimento até o vencimento é 5,000% — os 0,66 de ponto que faltam são os 7,795 de volta ao valor nominal, distribuídos ao longo de dez anos. Num título cotado a exatamente 100 os dois coincidem, e num título sem cupom o rendimento corrente é zero, por mais que o título renda.

A frequência do cupom muda a resposta?

Ela muda o número cotado mesmo quando o título vale exatamente a mesma coisa. Dez anos de cupons de 4% são 40,00 por cada 100 no total, pagos de qualquer maneira, mas o desconto é diferente: o mesmo título precificado para render 5% ao ano custa 92,278 com pagamentos anuais, 92,168 com pagamentos trimestrais e 92,143 com pagamentos mensais. Duas razões. A cotação nominal é a taxa do período vezes os períodos, então o mesmo retorno efetivo é escrito como um número nominal maior quanto mais vezes ele se capitaliza. E pagamentos que chegam mais cedo valem mais, então um título mensal vale um pouco mais do que um anual à mesma taxa cotada.

O que significa um rendimento até o vencimento acima da taxa do cupom?

Que o título está cotado abaixo do valor nominal, então parte do seu retorno é o ganho que você faz quando ele é resgatado a 100. No exemplo padrão a taxa do cupom é 4% e o rendimento é 5,000% porque o preço é 92,205. O contrário também vale: um título cotado acima do valor nominal rende menos do que o seu cupom, porque você tem uma perda conforme ele volta ao par. O caso extremo é a primeira linha da tabela de referência, em que um preço de 140 por 100 é exatamente a soma de todos os pagamentos restantes sem desconto nenhum — o rendimento é 0%, e qualquer preço acima disso não tem resposta não negativa.

Calculadora de retorno até o vencimento

Resultado

5,000%

Rendimento até o vencimento

Rendimento anual efetivo (%): 5,0626%
Rendimento corrente: 4,34%
Renda total de cupons por 100 de valor nominal: 40,00

O rendimento até o vencimento (o retorno até o vencimento, no título desta página) é a taxa única que faz tudo o que um título vai pagar — cada cupom e o valor nominal no fim — somar exatamente o preço que você paga por ele hoje. Esta página recebe esse preço do jeito que as tabelas de títulos o imprimem: por cada 100 do valor nominal, que é a convenção de cotação do Tesouro dos Estados Unidos, e não um valor em dinheiro. Assim o valor nominal nunca precisa ser informado e não tem como ser informado errado. No Brasil a conta é outra: o Tesouro Direto cota os seus títulos por um preço unitário, o PU, e não por cada 100 do valor nominal, de modo que o número lido lá não é o número que esta página espera; e, entre os títulos públicos federais, apenas a família NTN-F paga cupons semestrais, então a frequência do cupom escolhida aqui tem de acompanhar o papel que você está olhando. Ao lado da taxa cotada, a página imprime o rendimento anual efetivo, que é o que um ano de capitalização duas vezes por ano realmente rende; as duas grandezas são chamadas de rendimento e não são o mesmo número. Ela também imprime o rendimento corrente, que é o cupom dividido pelo preço e nada mais. O preço usado é o preço limpo, sem os juros acumulados desde o último cupom. Um título comprado abaixo do valor nominal rende mais do que a sua taxa do cupom, porque a volta ao valor nominal faz parte do retorno, e só o rendimento até o vencimento conta isso.

Um título a sete preços, de 140 por 100 até 72,819

Preço limpo por 100	Rendimento até o vencimento (%)	Rendimento anual efetivo (%)	Rendimento corrente (%)
140	0	0	2.86
118.046	2	2.01	3.39
108.584	3	3.0225	3.68
100	4	4.04	4
92.205	5	5.0626	4.34
85.123	6	6.0899	4.7
72.819	8	8.1601	5.49

É um único título do começo ao fim — taxa do cupom de 4%, dez anos por vencer, paga duas vezes por ano —, então a única coisa que se move é quanto você paga por ele, e ler uma coluna de cima para baixo é ler quanto vale um preço. A linha do meio é o eixo: a exatamente 100 por 100 o rendimento até o vencimento e a taxa do cupom coincidem em 4%, porque não sobrou ganho nem perda a contabilizar. Acima dela o título está com ágio e o rendimento cai abaixo do cupom; abaixo dela está com deságio e o rendimento sobe acima dele. A linha de cima é o limite de todo o cálculo: 140 é exatamente a soma dos vinte cupons de 2,00 mais os 100 do vencimento sem nenhum desconto, então o rendimento é 0% — qualquer preço acima desse não tem rendimento até o vencimento não negativo, e a página devolve uma mensagem de erro em vez de um número. Compare as duas primeiras colunas ao descer: o rendimento anual efetivo está sempre acima da taxa cotada e a distância entre os dois aumenta conforme o rendimento sobe, porque essa distância é o termo de segunda ordem da capitalização e não um arredondamento. A última coluna é a que se comporta de outro jeito: ela também se move com o preço, mas nunca alcança o rendimento até o vencimento neste título, porque não sabe que os 100 estão vindo.

Fórmula

Preço limpo por 100 = Σ (Cupom por pagamento ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)

Preço limpo por 100: O que você paga por cada 100 do valor nominal, com os juros acumulados de fora; o rendimento é a taxa que desconta cada pagamento restante até exatamente este número
Taxa do cupom: O cupom como porcentagem do valor nominal por ano, pago em m parcelas iguais; zero é permitido e descreve um título que não paga nada até o vencimento
m: Quantos pagamentos de cupom chegam por ano (anual, semestral, trimestral ou mensal); o mesmo título cotado em duas frequências são dois rendimentos diferentes
n: Os anos que faltam até a devolução do valor nominal, em número inteiro, de modo que o número de pagamentos restantes é m × n
y: O rendimento até o vencimento: a taxa anual nominal, capitalizada m vezes por ano, que resolve a equação — a convenção que as mesas de títulos cotam
Rendimento anual efetivo: A mesma taxa reescrita como um fator de crescimento anual, (1 + y ÷ m)^m − 1; é sempre maior que y quando m passa de um, e a distância entre os dois é a capitalização
Rendimento corrente: Um ano de cupons dividido pelo preço limpo, ignorando o ganho ou a perda conforme o título volta ao valor nominal — que é exatamente por isso que ele discorda do rendimento até o vencimento em qualquer título fora do par

Use esta página para comparar títulos de cupons diferentes e prazos diferentes numa mesma escala, que é para isso que a taxa cotada serve: um título com taxa do cupom de 2% a 92 e um título com taxa do cupom de 8% ao par podem ser ordenados por esse número quando os cupons não ordenam nada. Use também para conferir um preço que alguém cotou para você, ou para ver o que um preço implica sobre a taxa que o mercado está exigindo. É a ferramenta errada em três lugares. Ela supõe que você leva o título até o vencimento e que todo cupom é reinvestido à mesma taxa, promessa que mercado nenhum faz: um título carregado enquanto as taxas caem rende menos do que o rendimento até o vencimento dizia. Ela é uma taxa nominal capitalizada na frequência do cupom, então um título semestral e um mensal cotados com o mesmo rendimento não pagam o mesmo ao longo de um ano — é para isso que serve o rendimento anual efetivo ao lado. E ela não diz nada sobre crédito: um rendimento bem acima da curva do governo no mesmo vencimento é o mercado precificando um risco real de não receber.

Exemplos resolvidos

Um título de 4% com dez anos a 92,205 por cada 100
1. Cupons do ano: 4,00 por cada 100 do valor nominal, pagos como 2,00 duas vezes por ano, ou seja, 20 pagamentos de 2,00
2. Encontre a taxa que desconta 20 pagamentos de 2,00 mais os 100 do fim até 92,205: 2,5% por semestre
3. Cotar do jeito que as mesas de títulos cotam, dobrando a taxa semestral: 5,000% ao ano
4. Reescrever como um fator anual: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626% efetivos
5. Rendimento corrente, que ignora a volta ao valor nominal: 4,00 ÷ 92,205 = 4,34%
Este é o padrão da página, e as duas últimas linhas são o motivo dela. Os 5,000% cotados e os 5,0626% são a mesma taxa escrita sob duas convenções, e a segunda é o que o dinheiro realmente faz ao longo de um ano — 0,0626 não é arredondamento, é a capitalização semestral. O rendimento corrente de 4,34% é o menor dos três e o mais citado em jornal, porque é o único que se calcula de cabeça; também é o único que não percebe que você está comprando o título 7,795 abaixo do valor nominal e vai recebê-lo de volta a 100.
Um título sem cupom a 61,027 paga 5% e tem rendimento corrente zero
1. A taxa do cupom é zero, então todo cupom da equação vale 0,00 e sobra apenas o 100 no vencimento
2. 100 ÷ 1,025^20 = 100 ÷ 1,638616 = 61,027
3. Cotar do jeito que as mesas cotam: 2,5% por semestre, dobrados para 5,000% ao ano
4. Reescrever como um fator anual: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0625% efetivos
5. Rendimento corrente: 0,00 ÷ 61,027 = 0,00%
Um título sem cupom é onde as duas convenções se separam de forma mais limpa, porque não há cupom para confundir a aritmética: o retorno inteiro são os 38,973 entre o preço e o valor nominal, e eles chegam de uma vez só. O rendimento cotado é 5,000% e o rendimento anual efetivo é 5,0625%, e a diferença entre os dois é toda a capitalização. O rendimento corrente é exatamente zero — quem filtra títulos por rendimento corrente nunca vai ver este aqui, que é o argumento mais claro contra filtrar por ele.
Um preço com uma casa decimal: 95,5 dá 4,566%
1. Cupons: 20 pagamentos de 2,00, com os 100 devolvidos no fim
2. Resolver a taxa semestral que desconta esse fluxo até 95,5: 2,2831% por semestre
3. Dobrar para a taxa cotada, impressa com três decimais: 4,566% ao ano
4. Rendimento anual efetivo: 1,022831 × 1,022831 − 1 = 4,6177%
5. Rendimento corrente: 4,00 ÷ 95,5 = 4,19%
Os preços no mercado são cotados a uma fração de ponto, não a números redondos, e o rendimento que volta quase nunca é redondo — por isso esta página imprime três decimais para a taxa cotada e quatro para a efetiva. As três figuras continuam na mesma ordem: o rendimento anual efetivo fica acima da taxa cotada, e o rendimento corrente fica abaixo dos dois, porque a 95,5 o título ainda é comprado com deságio e os 4,5 de volta ao valor nominal pertencem a quem o leva até o fim.

Limitações

Três coisas que este número não é. Ele não é uma promessa: o rendimento até o vencimento supõe que todo cupom será reinvestido à mesma taxa até o vencimento, e se as taxas caírem nesse meio-tempo você vai ganhar menos do que ele dizia — essa distância se chama risco de reinvestimento e nenhuma cotação de rendimento consegue eliminá-la. Ele é uma taxa nominal capitalizada na frequência do cupom, então não é comparável entre títulos que pagam em frequências diferentes enquanto você não olhar o rendimento anual efetivo ao lado. E ele usa o preço limpo, sem os juros acumulados desde o último cupom, o que é certo para precificar um título entre duas datas de cupom, mas significa que o preço daqui não é a quantidade de dinheiro que você entrega. O rendimento corrente ao lado é uma medida mais simples com um ponto cego específico: como ignora a diferença entre o preço e o valor nominal, ele subestima o retorno de um título comprado com deságio e superestima o de um comprado com ágio, e num título sem cupom ele é zero por mais que o título renda. Por fim, nada aqui conhece risco de crédito, impostos ou cláusulas de resgate antecipado: um título que pode ser resgatado antes pode nunca chegar ao vencimento que esta página supõe. Há ainda uma diferença de regime que esta página não aplica: no Brasil o Imposto de Renda da renda fixa segue uma tabela regressiva, com alíquota que cai conforme o prazo da aplicação, e esse tratamento não entra em nenhum dos números acima.

Perguntas frequentes

Como se calcula o rendimento até o vencimento?: É a taxa que desconta todo pagamento restante — cada cupom e o valor nominal no fim — até o preço que você está pagando. Não há como rearranjar a fórmula para obtê-la diretamente, então ela é encontrada por busca: experimente uma taxa, precifique o título com ela e estreite o intervalo até o preço bater. Num título de 4% com dez anos a 92,205 por cada 100, pago duas vezes por ano, a resposta é 2,5% por semestre, cotados como 5,000% ao ano.
Por que o preço é por cada 100 do valor nominal, e não um valor em dinheiro?: Porque o valor nominal se cancela na equação, então cotar por cada 100 deixa dois títulos diferentes comparáveis de imediato e elimina um campo que só poderia ser preenchido errado. Um título a 92,205 está a 92,205% do valor nominal tanto se o valor nominal for 100 quanto se for 1.000.000. Informar o preço em dinheiro em vez disso — 922,05 para o mesmo título — não devolve um rendimento negativo: a página recusa o valor com uma mensagem de erro, porque 922,05 está acima de 140, que é a soma de tudo o que este título ainda vai pagar antes de qualquer desconto, e não existe rendimento até o vencimento não negativo que chegue a esse preço.
Qual é a diferença entre o rendimento até o vencimento e o rendimento anual efetivo?: Duas convenções para escrever a mesma taxa. A taxa cotada é nominal: é a taxa do período multiplicada pelo número de períodos, então 2,5% duas vezes por ano se escreve 5,000%. O rendimento anual efetivo reescreve isso como o fator de crescimento de um ano inteiro, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626%, que é o que o dinheiro realmente faz. Os dois só são iguais quando o cupom é pago uma vez por ano. Com pagamentos trimestrais os mesmos 5,000% cotados são 5,0946% efetivos, e com pagamentos mensais 5,1162% — quanto mais vezes os juros se capitalizam, maior fica essa distância.
Por que o rendimento corrente é diferente do rendimento até o vencimento?: Porque o rendimento corrente só conta os cupons. Ele é um ano de cupons dividido pelo preço, e não diz nada sobre o fato de que um título comprado abaixo do valor nominal será resgatado pelo valor nominal, o que é uma parte real do retorno. No exemplo padrão o cupom é 4,00 contra um preço de 92,205, então o rendimento corrente é 4,34%, enquanto o rendimento até o vencimento é 5,000% — os 0,66 de ponto que faltam são os 7,795 de volta ao valor nominal, distribuídos ao longo de dez anos. Num título cotado a exatamente 100 os dois coincidem, e num título sem cupom o rendimento corrente é zero, por mais que o título renda.
A frequência do cupom muda a resposta?: Ela muda o número cotado mesmo quando o título vale exatamente a mesma coisa. Dez anos de cupons de 4% são 40,00 por cada 100 no total, pagos de qualquer maneira, mas o desconto é diferente: o mesmo título precificado para render 5% ao ano custa 92,278 com pagamentos anuais, 92,168 com pagamentos trimestrais e 92,143 com pagamentos mensais. Duas razões. A cotação nominal é a taxa do período vezes os períodos, então o mesmo retorno efetivo é escrito como um número nominal maior quanto mais vezes ele se capitaliza. E pagamentos que chegam mais cedo valem mais, então um título mensal vale um pouco mais do que um anual à mesma taxa cotada.
O que significa um rendimento até o vencimento acima da taxa do cupom?: Que o título está cotado abaixo do valor nominal, então parte do seu retorno é o ganho que você faz quando ele é resgatado a 100. No exemplo padrão a taxa do cupom é 4% e o rendimento é 5,000% porque o preço é 92,205. O contrário também vale: um título cotado acima do valor nominal rende menos do que o seu cupom, porque você tem uma perda conforme ele volta ao par. O caso extremo é a primeira linha da tabela de referência, em que um preço de 140 por 100 é exatamente a soma de todos os pagamentos restantes sem desconto nenhum — o rendimento é 0%, e qualquer preço acima disso não tem resposta não negativa.

Referências

Understanding Pricing and Interest Rates — why a note or bond sells at a discount or a premium, and what the quoted yield means — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
Yield — Investor.gov glossary, for the rate a bond's payments imply at a given price — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
Bonds — Investor.gov glossary, for the coupon, the face value and the maturity date that the equation is built out of — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value formula the Treasury uses to price its own notes and bonds from a yield — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)

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