Calculadora de preço de título

Preço do título = Σ [ cupom × (1 + i)^−k ] + valor nominal × (1 + i)^−n (k = 1 … n; i = rentabilidade ÷ pagamentos por ano; n = anos × pagamentos por ano)

Valor nominal

O valor devolvido no vencimento e a base sobre a qual o cupom é calculado; precisa ser maior que zero

Taxa do cupom

A taxa anual que o título paga sobre o valor nominal; ela é repartida igualmente entre os pagamentos do ano, e não acumulada por dias corridos

Rentabilidade até o vencimento

A taxa anual pela qual você desconta cada pagamento — o retorno que o título oferece pelo preço que estão pedindo por ele

Anos até o vencimento

Anos inteiros restantes; o número de pagamentos é este valor multiplicado pela quantidade de cupons pagos a cada ano

Frequência do cupom

Quantas vezes por ano o cupom é pago: anualmente, duas vezes por ano, trimestralmente ou mensalmente

Cupom por período

Valor nominal vezes a taxa do cupom dividido pelo número de pagamentos no ano — o valor por período, e não por ano

Rendimento corrente

O cupom anual dividido pelo preço, que não é a rentabilidade até o vencimento porque ignora o ganho ou a perda no vencimento

Ágio ou deságio

O preço menos o valor nominal: positivo quando o título custa mais do que devolve, negativo quando custa menos

Use para conferir um preço que lhe foi cotado, para ver o que uma mudança na rentabilidade faria com um título que você já tem, ou para entender por que o mesmo título aparece com dois preços diferentes em dois lugares. É também a aritmética por trás de um fato que surpreende: o preço de um título que você já possui se move na direção oposta à da rentabilidade dele, então quem leva até o vencimento não é afetado por uma alta de juros e quem precisa vender é. Precifique a várias rentabilidades e o padrão fica concreto — a tabela de referência abaixo percorre o mesmo título desde uma rentabilidade zero, em que ele vale o valor nominal mais todos os cupons que ainda vai pagar, passa pelo ponto em que a rentabilidade é igual à taxa do cupom e o preço fica exatamente ao par, e vai até uma rentabilidade de oito por cento, em que o preço fica bem abaixo do valor nominal.

1. Valor nominal de 1.000, cupom de 4%, 10 anos, precificado a uma rentabilidade de 5%

   1. Cupom de cada período: 1.000 × 4% ÷ 2 = 20
   2. Períodos: 10 anos × 2 = 20, e a rentabilidade por período é 5% ÷ 2 = 2,5%
   3. Valor presente dos 20 cupons: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Valor presente do valor nominal: 1.000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Preço: 311,78 + 610,27 = 922,05, um deságio de 77,95
   6. Rendimento corrente: 40 ÷ 922,05 = 4,34%

   Este é o exemplo padrão da página e é o caso em que a rentabilidade está acima da taxa do cupom, então o título é vendido abaixo do valor nominal. O deságio não é uma punição, é o mecanismo que eleva o seu retorno dos 4% que o cupom paga para os 5% que o mercado está oferecendo: você paga 922,05 por um fluxo que vale 1.000 no vencimento, e os 77,95 que você ganha no fim cobrem a diferença. Repare que o cupom por período é 20, que é o valor de meio ano, e que o rendimento corrente de 4,34% está acima da taxa do cupom de 4% porque o preço que você pagou ficou abaixo do par.

2. O mesmo título ao par: rentabilidade igual à taxa do cupom

   1. Cupom de cada período: 1.000 × 4% ÷ 2 = 20
   2. Rentabilidade por período: 4% ÷ 2 = 2%
   3. Valor presente dos 20 cupons: 20 × (1 − 1,02⁻²⁰) ÷ 0,02 = 327,03
   4. Valor presente do valor nominal: 1.000 × 1,02⁻²⁰ = 672,97
   5. Preço: 327,03 + 672,97 = 1.000,00 exatamente

   Quando a rentabilidade é igual à taxa do cupom, os dois valores presentes são obrigados a somar o valor nominal, e esta linha é o eixo em torno do qual a tabela inteira gira — acima dela o título custa mais do que devolve e abaixo dela custa menos. É também a linha que mostra que o rendimento corrente não é a mesma coisa que a rentabilidade até o vencimento: aqui os dois são 4%, mas em qualquer outro preço eles divergem, porque o rendimento corrente ignora o ganho ou a perda que você realiza quando o título é resgatado.

3. Pagar duas vezes por ano em vez de uma muda um pouco o preço

   1. Cupom de cada período: 1.000 × 4% ÷ 1 = 40, pago dez vezes
   2. Rentabilidade por período: 5% ÷ 1 = 5%
   3. Valor presente dos dez cupons: 40 × (1 − 1,05⁻¹⁰) ÷ 0,05 = 308,87
   4. Valor presente do valor nominal: 1.000 × 1,05⁻¹⁰ = 613,91
   5. Preço: 308,87 + 613,91 = 922,78, um deságio de 77,22

   Mesmo título, mesma rentabilidade, mesmo vencimento, um número trocado. Pagar o cupom uma vez por ano em vez de duas dá 922,78 em vez de 922,05, porque dinheiro recebido mais tarde é descontado por mais tempo. A distância é pequena neste caso, mas a coluna do cupom não é: ela marca 40 aqui contra 20 no caso semestral, e as duas são o valor por período. Essa é a figura mais mal lida desta página, e é por isso que o rótulo avisa.

Esta é a versão limpa da precificação de títulos, e a liquidação real é mais confusa em três pontos específicos. Ela precifica um título cujo próximo cupom está a um período inteiro de distância, então não trata juros acumulados — o vendedor tem direito à parte do cupom corrente que já passou, e uma nota de corretagem real soma isso por cima. Ela supõe que todo cupom restante é de um período inteiro, então um título com primeiro ou último cupom de prazo irregular, o que é comum em emissões novas, não é modelado. E ela precifica apenas títulos simples, então um papel que o emissor pode resgatar antecipadamente, ou que você pode devolver, tem um preço que depende dessas opções além da rentabilidade. Fora isso, a conta usa anos inteiros e períodos igualmente espaçados, em vez das datas de calendário que uma negociação de verdade usa, então ela não bate ao centavo com as convenções de contagem de dias da liquidação real. Imposto sobre o cupom e sobre o ganho de capital não entra, e esta página não aplica nenhuma tabela de imposto de renda: no Brasil os rendimentos de renda fixa são tributados por uma tabela regressiva conforme o prazo, e nada disso está aqui. Custos de transação também não entram, e a página não diz nada sobre risco de crédito — a rentabilidade que você digita é tomada como dada, e um título que pode não ser pago deveria ser precificado a uma rentabilidade mais alta. Por fim, os valores não trazem símbolo de moeda: eles estão certos na moeda em que você digitou o valor nominal e errados em qualquer outra.

Como se calcula o preço de um título?

Desconte cada pagamento que o título vai fazer de volta para hoje pela rentabilidade até o vencimento e some tudo. Para um título de valor nominal 1.000 pagando 4% duas vezes por ano com dez anos restantes, precificado a uma rentabilidade de 5%: os vinte pagamentos de cupom de 20 valem 311,78 hoje, o valor nominal de 1.000 vale 610,27, e o preço é 922,05.

Por que o preço fica abaixo do valor nominal?

Porque a rentabilidade pela qual você está precificando está acima da taxa do cupom que o título paga. O título paga só 4% sobre o valor nominal, então ninguém vai lhe dar 1.000 por ele quando há 5% disponíveis em outro lugar; o preço cai até que o cupom mais o ganho que você realiza no vencimento somem um retorno de 5%. A diferença entre o preço e o valor nominal é o deságio, e o mesmo mecanismo ao contrário produz um ágio quando a taxa do cupom fica acima da rentabilidade.

Qual é a diferença entre rendimento corrente e rentabilidade até o vencimento?

O rendimento corrente é o cupom anual dividido pelo preço que você paga, então no caso padrão é 40 dividido por 922,05, que dá 4,34%. A rentabilidade até o vencimento é a taxa que você ganharia se levasse o título até o fim, e ela considera os 77,95 que você ganha quando um título comprado a 922,05 devolve 1.000. Em um título precificado ao par as duas são iguais; quando o título está com deságio o rendimento corrente é a menor das duas, e é a maior das duas quando o título está com ágio.

O cupom mostrado é por ano ou por período?

Por período. Um título de valor nominal 1.000 com cupom de 4% paga 40 por ano no total, e esses 40 são repartidos entre quantos pagamentos o ano tiver: 20 duas vezes por ano, 10 quatro vezes por ano, 40 uma vez por ano. O campo desta página é o valor de um único pagamento, e é por isso que o mesmo título de 4% mostra 20 no caso semestral e 40 no caso anual.

Por que a frequência dos pagamentos muda o preço?

Porque dinheiro pago mais cedo pode ser reinvestido mais cedo, então um título que paga antes vale um pouco mais na mesma rentabilidade. No título padrão, pagar duas vezes por ano dá 922,05 e pagar uma vez por ano dá 922,78, uma diferença de 73 centavos; pagamentos trimestrais e mensais empurram o preço um pouco mais para baixo, para 921,68 e 921,43. O efeito é pequeno nestas taxas, mas cresce com o cupom e com o prazo.

O que acontece se a rentabilidade até o vencimento for zero?

Todo fator de desconto vira 1 e o preço é simplesmente a soma de tudo o que o título vai pagar algum dia: o valor nominal mais todos os cupons. Em um título de valor nominal 1.000 pagando 4% duas vezes por ano com dez anos restantes, isso é 1.000 mais vinte pagamentos de 20, ou seja, exatamente 1.400. Vale conhecer esse caso porque a fórmula escrita de forma fechada precisa tratá-lo à parte, e a aritmética desta página não precisa.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)