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CalcMax

Calculadora de pagamento de anuidade

Intervalo: 100 – 10.000.000

Intervalo: 0 – 20

Intervalo: 1 – 60

Resultado

2.922,95

Pagamento por período

Taxa de saque (% do saldo por ano)
7,02%
Total que você recebe
876.885,00
Desse total, o que vem do rendimento
376.885,00

Quanto você pode sacar de um valor inicial em cada período sem que o dinheiro acabe antes de o prazo terminar? Esta calculadora de pagamento de anuidade é a imagem espelhada da pergunta usual sobre anuidades. Em vez de partir de um pagamento e descontá-lo até um valor presente, ela parte do saldo que você realmente tem e o divide em pagamentos iguais que esvaziam a conta exatamente quando o prazo termina. Você recebe quatro números: o pagamento por período, a taxa de saque que esse pagamento representa como fatia do saldo a cada ano, o total que você terá recebido até o fim e quanto desse total veio do rendimento em vez do dinheiro com que você começou. Os dois últimos são onde a aritmética fica interessante: num prazo longo o bastante, o rendimento pode ser a metade maior, e o saldo que você está consumindo é o que torna isso possível. Os valores não carregam símbolo de moeda: a conta vale na moeda que você usar.

500.000 pagos mensalmente ao longo de 25 anos, com sete rentabilidades supostas

Rentabilidade anualPagamento por mêsTaxa de saqueTotal recebido
01666.674500001
22119.275.09635781
32371.065.69711318
42639.186.33791754
52922.957.02876885
63221.517.73966453
83859.089.261157724

Somente a rentabilidade suposta muda entre estas linhas; o saldo, o prazo, a frequência e o momento ficam todos nos valores padrão. Leia a primeira e a terceira colunas juntas, porque é aí que está o ponto inteiro da tabela. A 0% a taxa de saque é exatamente 4,00%, um vinte e cinco avos, o saldo espalhado de forma plana ao longo de 25 anos sem nada a render. A 5%, o padrão, ela é 7,02%, e o pagamento é 2.922,95 por mês em vez dos 2.083,33 que uma leitura só da rentabilidade sugeriria. A 8% a taxa chega a 9,26% e o pagamento mensal é 3.859,08, mais do que o dobro da linha de 0%. A distância entre a rentabilidade e a taxa de saque é o principal sendo gasto, e ela nunca se fecha dentro de um prazo de 25 anos; só aumenta conforme a rentabilidade sobe, porque a uma rentabilidade maior o saldo tem mais a entregar e os mesmos 300 pagamentos precisam ser maiores para esgotá-lo. O que a tabela não consegue mostrar é o que acontece depois dos 25 anos: estenda o prazo o suficiente e a taxa de saque caminha na direção da própria rentabilidade, que é o limite da perpetuidade; 20% ao longo de 60 anos dá 20,00%, porque nesse horizonte quase nada além do rendimento está sendo gasto.

Fórmula

Pagamento por período = saldo ÷ aₙ × (÷ (1 + i) se os pagamentos chegarem no início) onde aₙ = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, i = rentabilidade anual ÷ pagamentos por ano, n = anos × pagamentos por ano (aₙ é o mesmo fator de anuidade que o lado do valor presente usa: o valor hoje de 1 a cada pagamento durante n pagamentos)

saldo
O valor inicial que você está consumindo, o montante inteiro disponível antes de qualquer saque
rentabilidade anual
A rentabilidade anual fixa suposta sobre o que ainda estiver na conta, convertida em taxa por período antes de ser usada; os 5% ao ano padrão viram 0,4167% ao mês
anos
Por quanto tempo os pagamentos devem durar, multiplicado pelos pagamentos por ano para dar o número de períodos
i
A taxa por período: a rentabilidade anual dividida pelo número de pagamentos em um ano
n
O número total de pagamentos: o prazo em anos vezes os pagamentos em um ano
aₙ
O fator de anuidade: quanto vale hoje, à taxa i, receber 1 por período durante n períodos. É o número pelo qual o saldo é dividido, e é o mesmo fator que a página de valor presente multiplica
Pagamento por período
O valor igual retirado a cada período, de modo que o último zere o saldo. É arredondado ao centavo, e é por isso que os totais anuais podem variar alguns centavos

Use esta página quando o dinheiro já existe como valor inicial e a pergunta é quanto pode sair dele, ao longo de um prazo de pagamento que você escolhe, sem deixar nada para trás. Isso cobre o aposentado decidindo o que um bolo de poupança sustenta, quem compara uma oferta de valor inicial com um fluxo de pagamentos e quem quer conferir se uma taxa de saque proposta está sendo distribuída por um prazo longo o bastante para se sustentar. É a ferramenta errada quando o pagamento deve continuar por toda a vida em vez de por um prazo fixo: nada aqui cobre o risco de viver mais do que o prazo, e uma renda vitalícia é precificada a partir de tábuas de mortalidade, não de um número de anos escolhido. Também é a ferramenta errada quando a rentabilidade não é fixa: uma conta real não rende a mesma taxa todo período, e uma década ruim no começo de um cronograma de saques causa mais estrago do que a mesma década ruim mais tarde.

Exemplos resolvidos

  1. O caso padrão: 500.000 consumidos a 5% ao longo de 25 anos, mês a mês

    1. Taxa por período: 5% ÷ 12 = 0,41667% ao mês.
    2. Número de períodos: 25 × 12 = 300.
    3. Fator de anuidade: [1 − 1,0041667⁻³⁰⁰] ÷ 0,0041667 = 171,06.
    4. Pagamento: 500.000 ÷ 171,06 = 2.922,95 por mês.
    5. Taxa de saque anual: 2.922,95 × 12 = 35.075,40, que é 7,02% de 500.000.
    6. Total recebido: 2.922,95 × 300 = 876.885. Desse total, 876.885 − 500.000 = 376.885 vieram do rendimento.

    O número em que vale a pena reparar é 7,02%, e não 5%. Uma rentabilidade de 5% ao longo de 25 anos sustenta uma taxa de saque de cerca de 7% ao ano, porque o saque está gastando o principal junto com o rendimento. Ler ao contrário, supondo que uma rentabilidade de 5% significa poder sacar 5% ao ano, é o erro mais comum que esta página existe para corrigir, e ao longo de 300 períodos é a diferença entre 876.885 recebidos e cerca de 625.000.

  2. Pagamentos no início de cada período em vez do fim

    1. O mesmo fator de antes: 171,06.
    2. Antecipe cada pagamento em um período e o cronograma inteiro se desloca: divida por 1,0041667 em vez de multiplicar.
    3. 171,06 × 1,0041667 = 171,77, então o pagamento é 500.000 ÷ 171,77 = 2.910,82.
    4. Total recebido: 2.910,82 × 300 = 873.246.

    Receber o dinheiro mais cedo significa receber menos dele: 2.910,82 contra 2.922,95, cerca de 0,41% a menos. Vale conferir a direção, porque é fácil trocar o sinal: antecipar cada pagamento em um período significa que o saldo tem um período menos para render sobre ele, então os mesmos 500.000 precisam se esticar mais. A diferença inteira é uma única multiplicação por (1 + i), e é por isso que as duas páginas de anuidade tratam a escolha de momento como um ajuste de uma linha em vez de uma segunda fórmula.

  3. A conferência espelhada: devolvendo a resposta da página de valor presente

    1. A página de valor presente pergunta quanto valem hoje 500 por mês durante 20 anos a 7%, e responde 64.491,25.
    2. Devolva esses mesmos 64.491,25 a esta página como saldo, com os mesmos 7%, 20 anos e frequência mensal.
    3. Fator de anuidade: [1 − 1,0058333⁻²⁴⁰] ÷ 0,0058333 = 128,98.
    4. Pagamento: 64.491,25 ÷ 128,98 = 500,00.
    5. Total recebido: 500 × 240 = 120.000; rendimento: 120.000 − 64.491,25 = 55.508,75.

    As três últimas cifras são os próprios números da página de valor presente, impressos sob outros nomes: o total de pagamentos dela e o desconto dela. Duas páginas, escritas em separado, concordando até o centavo em três lugares é o que se vê quando elas são genuinamente inversas e não apenas parecidas. Se algum dia o fator de anuidade mudar em uma delas, este exemplo quebra e o outro não.

  4. Uma rentabilidade de 0%, onde a aritmética fica crua

    1. Sem rendimento o fator colapsa no número de períodos: 300.
    2. Pagamento: 500.000 ÷ 300 = 1.666,6666…, que arredonda para 1.666,67.
    3. Taxa anual: 1.666,67 × 12 = 20.000,04, que é 4,00% de 500.000, exatamente 1 ÷ 25.
    4. Total recebido: 1.666,67 × 300 = 500.001.

    Essa última cifra é uma unidade de dinheiro a mais do que o saldo, então a coluna de rendimento mostra 1 em vez de 0, e a uma rentabilidade de 0% não há rendimento de que falar. Não é um erro: cada pagamento é arredondado ao centavo, e 0,0033 de centavo a mais, multiplicado por 300 períodos, dá uma unidade. A alternativa, calcular o total a partir do pagamento não arredondado, faria o painel imprimir 1.666,67 e 500.000 na mesma vista, e aí o leitor não consegue dizer qual dos dois está errado. Uma unidade visível de arredondamento é uma troca melhor do que uma inconsistência invisível, e a linha de 4,00% é a afirmação mais limpa do piso: sem rendimento, a taxa de saque é 1 ÷ anos.

  5. Pago uma vez por ano em vez de mensalmente

    1. Taxa por período: 5% ao ano, usada como está.
    2. Número de períodos: 25.
    3. Fator de anuidade: [1 − 1,05⁻²⁵] ÷ 0,05 = 14,09.
    4. Pagamento: 500.000 ÷ 14,09 = 35.476,23 uma vez por ano.
    5. Taxa anual: 35.476,23 ÷ 500.000 = 7,10%.

    A taxa de saque sobe de 7,02% no mensal para 7,10% no anual, e a razão é o momento e não a aritmética: pago uma vez por ano, cada pagamento chega mais tarde e o saldo o carrega por mais tempo, então a conta precisa abrir mão de um pouco mais. A mesma comparação nas quatro frequências vai de 7,10% ao ano a 7,05% semestral, 7,03% trimestral e 7,02% mensal, uma variação de oito centésimos de ponto percentual em todo o intervalo, que também é uma boa medida do quanto a escolha de frequência vale.

Limitações

A rentabilidade é um único número fixo por todo o prazo. Contas reais não rendem a mesma taxa todo ano, e a ordem importa: uma década ruim no começo de um cronograma de saques deixa menos dinheiro trabalhando pelo resto dele, e nenhuma taxa média única consegue mostrar isso. Nada aqui considera tarifas, impostos ou inflação. Os pagamentos são valores nominais, então um cronograma que parece sustentável por 25 anos compra menos no ano 25 do que compra no ano 1. Os pagamentos são arredondados ao centavo, então os totais podem ficar alguns centavos longe da aritmética não arredondada: até meio centavo por período, o que ao longo de 300 períodos dá no máximo 1,50. O exemplo com 0% mostra o efeito no seu ponto mais visível, uma unidade de rendimento aparente onde a cifra verdadeira é zero. Rentabilidades negativas não são aceitas. Com uma taxa negativa a taxa de saque cai abaixo de 1 ÷ anos e o cronograma vira uma maneira de perder dinheiro devagar, que não é a pergunta que esta página foi feita para responder. O prazo é fixo, então isto não é uma renda vitalícia. Nada aqui cobre o risco de o prazo acabar enquanto você ainda precisa do dinheiro; uma renda vitalícia é precificada a partir de tábuas de mortalidade e transfere esse risco para quem a emite, e é por isso que os pagamentos dela não podem ser reproduzidos a partir de um saldo e de uma taxa. A taxa de saque é aritmética, não conselho. É a taxa com que este saldo específico se esgota neste prazo específico a esta rentabilidade específica, e mudar qualquer um dos três a muda. Nenhum órgão regulador publica uma taxa de saque segura, e as regras práticas mais citadas vêm de estudos de rentabilidade histórica, e não de uma fórmula. Por fim, as referências e o mercado descritos aqui são dos Estados Unidos, incluindo a norma americana que define o fator de anuidade. No Brasil, o produto mais próximo é a renda vitalícia oferecida por planos de previdência e por seguros, cujas regras contratuais e tributárias são outras, e esta página não modela nenhuma delas.

Perguntas frequentes

O que esta calculadora de pagamento de anuidade faz?
Ela recebe um valor inicial e um prazo e calcula o pagamento igual que esvazia o saldo exatamente quando o prazo termina. É o inverso da pergunta usual de pagamento de anuidade: a página de valor presente começa com um pagamento e pergunta quanto o fluxo vale hoje, enquanto esta começa com o dinheiro que você tem e pergunta quanto ele sustenta em cada período. O fator de anuidade é o mesmo número nas duas, usado como divisor aqui e como multiplicador lá.
Por que a taxa de saque é 7% se a rentabilidade é só 5%?
Porque o pagamento está gastando o principal junto com o rendimento. Ao longo de 25 anos, uma rentabilidade de 5% sustenta cerca de 7,02% ao ano; ao longo de 40 anos a distância diminui, e num prazo longo o bastante para que o principal seja mal tocado a taxa de saque se aproxima da própria rentabilidade. Vale guardar as duas pontas juntas: sem rendimento nenhum a taxa é simplesmente 1 ÷ anos, e com um prazo muito longo ela converge para a rentabilidade. Tudo o que está no meio é uma mistura das duas, e é isso que a tabela de referência traça.
Receber o dinheiro no início de cada período muda muito?
Reduz o pagamento em cerca de um período de rendimento: 2.910,82 contra 2.922,95 no caso padrão, mais ou menos 0,41%. A anuidade postecipada, com os pagamentos no fim, é o padrão desta página, e a anuidade antecipada produz um pagamento um pouco menor. A direção surpreende, então vale dizer com todas as letras: cada pagamento recebido um período antes tem um período menos para render, então o mesmo valor inicial precisa se esticar mais e cada pagamento fica menor. Escolher o início do período só é uma vantagem real se você precisa do dinheiro mais cedo, e não porque ele produza mais dinheiro.
Isto é a mesma coisa que planejar a renda da aposentadoria?
É metade disso. O que esta página faz é aritmética: dado um saldo, uma taxa e um prazo, qual pagamento esgota o saldo. O planejamento da renda da aposentadoria tem de decidir o prazo sem conhecê-lo, já que ninguém sabe quanto vai viver, e essa é justamente a parte que uma renda vitalícia precifica. Ele também precisa sobreviver a rentabilidades que não são fixas. Use esta página para a aritmética de um prazo fixo, e trate a resposta como um teto, não como um plano.
O que acontece se o saldo render mais ou menos do que a taxa que eu informei?
O cronograma sai do lugar, e por um valor que não é simétrico. Render mais do que o suposto deixa um saldo no fim do prazo, o que é uma surpresa agradável. Render menos significa que o dinheiro acaba antes, e o buraco cai justamente nos anos em que o saldo é menor e não sobrou nada para se recuperar. A taxa fixa única é a maior simplificação desta página, e é a razão pela qual a resposta é melhor lida como um ponto médio.
Posso usá-la ao contrário, para descobrir o valor inicial de que um pagamento precisa?
Pode, e é exatamente o que a página de valor presente de uma anuidade faz: os mesmos cinco campos, resolvendo o saldo em vez do pagamento. As duas páginas são funções inversas uma da outra, e o exemplo espelhado desta página mostra isso funcionando nos dois sentidos até o centavo: 64.491,25 hoje e 500 por mês durante vinte anos são duas vistas do mesmo arranjo.

Referências

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