Calculadora de anuidade

Valor presente = pagamento × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i Valor futuro = pagamento × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i (× (1 + i) nos dois casos, quando os pagamentos chegam no início: a anuidade postecipada paga no fim e a anuidade antecipada paga no início) onde i = taxa anual ÷ pagamentos por ano, n = anos × pagamentos por ano

pagamento

O valor igual em cada período, seja dinheiro entrando para você ou saindo de você

taxa anual

A taxa nominal anual usada nos dois sentidos ao mesmo tempo: dividida até virar uma taxa por período para trazer o fluxo de volta, e composta para cima para carregá-lo adiante. Os 7% ao ano padrão viram 0,5833% ao mês

anos

Por quanto tempo os pagamentos correm, multiplicado pelos pagamentos por ano para dar o número de períodos

i

A taxa por período: a taxa anual dividida pelo número de pagamentos em um ano

n

O número total de períodos: os anos vezes os pagamentos em um ano

Valor presente

O que o fluxo inteiro vale hoje, com cada pagamento futuro descontado de volta um período por vez

Valor futuro

No que o mesmo fluxo se acumula até o fim, com cada pagamento composto para a frente até a data final

Use esta página quando você tem um fluxo de pagamentos iguais e quer os dois valores em uma única vista em vez de um de cada vez: uma renda sendo pesada contra um valor único, um aluguel sendo comparado com o preço de compra, ou um plano de poupança em que você quer ver o dinheiro que entrou ao lado do que ele vale em cada ponta. É também a forma mais rápida de ver a distância da capitalização diretamente: os mesmos 120.000 são 64.491 hoje e 260.463 no fim, e a diferença entre esses dois números não é uma tarifa nem um erro, são vinte anos de crescimento composto. É a página errada quando você precisa fazer o caminho inverso e descobrir o pagamento a partir de um valor único, que é outra pergunta e tem página própria, e também é a página errada quando os pagamentos não são iguais: um fluxo que sobe com a inflação ou varia com o retorno de um mercado não é uma anuidade, e nenhuma das duas fórmulas se aplica.

1. O caso padrão, e a conferência cruzada com as duas páginas de um lado só

   1. Taxa por período: 7% ÷ 12 = 0,58333% por mês. Número de períodos: 20 × 12 = 240.
   2. Fator de valor presente: [1 − 1,0058333⁻²⁴⁰] ÷ 0,0058333 = 128,98, então 500 × 128,98 = 64.491,25.
   3. Fator de valor futuro: [1,0058333²⁴⁰ − 1] ÷ 0,0058333 = 520,93, então 500 × 520,93 = 260.463,33.
   4. Pagamentos: 500 × 240 = 120.000, que não precisa de taxa nenhuma.
   5. Conferência: 64.491,25 × 1,0058333²⁴⁰ = 64.491,25 × 4,0387 = 260.463,33.

   As duas cifras dos dois primeiros passos são os resultados padrão das páginas de valor presente e de valor futuro, respectivamente: três páginas, construídas em separado, concordando até o centavo sobre os mesmos cinco campos. O último passo é a razão de ser desta página: o valor futuro é o valor presente multiplicado por (1 + i) uma vez por período, o que dá 4,0387 ao longo de 240 meses. Vale notar que 4,0387 não é 20 × 7% = 1,40 nem 1,07²⁰ = 3,87: depois que a taxa vira mensal, o fator composto é (1 + 0,0058333)²⁴⁰, e nenhum atalho com o número anual reproduz isso.

2. Pagamentos no início de cada período

   1. Os dois fatores são os do caso padrão.
   2. Adiante cada pagamento em um período e o fluxo inteiro se desloca: multiplique os dois resultados por 1,0058333.
   3. 64.491,25 × 1,0058333 = 64.867,45.
   4. 260.463,33 × 1,0058333 = 261.982,70.

   Os dois valores sobem exatamente os mesmos 0,583%, que é o juro de um período, e essa é a maneira mais limpa de ver que as duas cifras desta página são duas vistas de um mesmo objeto. Se o ajuste de data movesse os dois em proporções diferentes, eles não seriam o mesmo fluxo. Pagamentos no início do período valem mais nos dois sentidos porque cada pagamento está um período mais perto de você, e o total, 120.000, não se move nada: o momento muda o que o fluxo vale, nunca quantas unidades de dinheiro ele contém.

3. Taxa zero, onde as três cifras convergem

   1. Sem taxa não há nada para descontar nem nada para compor.
   2. As duas fórmulas fechadas dão 0 ÷ 0 neste caso, então as duas recaem no número de períodos: 240.
   3. 500 × 240 = 120.000 nos três lugares.

   As três cifras colapsando no mesmo número são a afirmação mais clara do que as outras duas significam: o valor presente e o valor futuro são os dois o total ajustado pelo tempo, e sem taxa não há ajuste nenhum. É também este o caso que quebra a implementação ingênua: escrita como fórmula fechada, o fator é 0 ÷ 0 e a página imprimiria NaN, e é por isso que o núcleo compartilhado trata a taxa zero como um ramo próprio em vez de como um número pequeno.

4. Pago uma vez por ano em vez de mensalmente, com o mesmo total

   1. Taxa por período: 7% ao ano, usada como está. Número de períodos: 20.
   2. Fator de valor presente: [1 − 1,07⁻²⁰] ÷ 0,07 = 10,59, então 500 × 10,59 = 5.297,01.
   3. Fator de valor futuro: [1,07²⁰ − 1] ÷ 0,07 = 40,995, então 500 × 40,995 = 20.497,75.
   4. Pagamentos: 500 × 20 = 10.000.

   A razão aqui é 3,8697, contra 4,0387 no caso mensal: os mesmos 7% nominais compõem menos quando são aplicados uma vez por ano em vez de doze. É a convenção de frequência aparecendo na resposta e não na taxa, e ela pesa mais do que parece: os números anuais diferem dos mensais em mais de um quinto, e a única coisa que mudou foi a frequência com que o juro é creditado. A mesma comparação a 0% não mostraria diferença nenhuma, o que é um lembrete útil de que isto é um efeito de capitalização e não uma tarifa.

5. Um pagamento grande e um prazo longo, onde a capitalização domina

   1. Taxa por período de 0,58333% ao mês, 600 períodos.
   2. Valor presente: 100.000 × 166,20 = 16.619.896,78.
   3. Valor futuro: 100.000 × 5.448,07 = 544.807.091,51.
   4. Pagamentos: 100.000 × 600 = 60.000.000.
   5. Razão: 544.807.091,51 ÷ 16.619.896,78 = 32,78, que é 1,0058333⁶⁰⁰.

   Sessenta milhões aportados viram quinhentos e quarenta e quatro milhões no fim, num horizonte em que a razão chega a 32,78. A coluna de valor presente conta a outra metade da história: em 16,6 milhões, a promessa vale pouco mais de um quarto do dinheiro que vai trocar de mãos no fim, porque os pagamentos perto do fim de um cronograma de cinquenta anos são descontados quase a nada. As duas cifras estão corretas, e a razão pela qual uma página única mostrando as duas é mais útil do que qualquer uma delas sozinha é que a distância entre elas é o assunto inteiro.

Os pagamentos são iguais e a taxa é fixa por todo o prazo. Nenhuma das duas fórmulas se aplica a um fluxo que sobe com a inflação, varia com o retorno de um mercado ou termina antes do fim; esses casos precisam de um cronograma ano a ano em vez de uma fórmula fechada. A taxa é nominal e composta na frequência de pagamento. Mudar apenas a frequência, deixando a taxa intacta, muda a resposta em mais de um quinto nos valores padrão: o caso anual dá 20.497,75 onde o mensal dá 260.463,33. Uma taxa cotada com outra convenção de capitalização é outra taxa, e esta página não faz a conversão por você. Tarifas, impostos e inflação ficam de fora. O fluxo de pagamentos em si é exato: 120.000 é 120.000. O que ele vale é uma cifra nominal, então os 64.491 de hoje são 64.491 em dinheiro de hoje apenas no sentido de que não estão corrigidos pelo que esse dinheiro vai comprar depois. Não há seletor de modo, então esta página sempre recebe o pagamento como entrada e informa os dois valores como resultados. Resolver o pagamento a partir de um valor único é outra pergunta e mora na própria página dela, e não como um ajuste aqui, porque um modo que ignora silenciosamente uma das caixas de entrada é pior do que uma visita a mais. Uma taxa igual ou abaixo de menos 100% é rejeitada; o intervalo vai até menos 99,9%, onde o valor presente do mesmo fluxo fica astronomicamente grande. Isso é a matemática do desconto a uma taxa negativa e não um defeito, mas não é uma entrada realista, e a coluna de valor presente é melhor lida como um sinal de alerta quando explode. Os dois valores não são uma comparação avaliativa entre si. Um valor presente de 64.491 e um valor futuro de 260.463 para o mesmo fluxo não são duas ofertas entre as quais escolher; são a mesma oferta medida em duas datas diferentes. Por fim, a matemática desta página é geral, mas as referências e o mercado que ela descreve são dos Estados Unidos, incluindo a norma americana que define o fator de anuidade para fins de imposto sobre herança. No Brasil, o produto mais próximo é a renda vitalícia paga por um plano de previdência ou por um seguro, e as regras contratuais e tributárias dela são outras; esta página não modela nenhuma delas.

O que esta calculadora de anuidade mostra que as de um lado só não mostram?

As duas respostas ao mesmo tempo. O valor presente de uma anuidade e o valor futuro de uma anuidade são o mesmo fluxo medido em duas datas diferentes, e cada um tem a própria página que informa um deles. Esta página recebe os mesmos cinco campos e informa os dois, junto com o total dos pagamentos, que é a cifra que não depende da taxa de jeito nenhum. Ver 120.000, 64.491,25 e 260.463,33 na mesma vista é o que torna a relação entre eles concreta, em vez de algo que você aceita por confiança.

Por que o valor futuro é tanto maior do que o valor presente?

Porque são o mesmo dinheiro em duas datas diferentes, e o tempo é toda a diferença. Ao longo de 20 anos a 7% compostos mensalmente, uma unidade de dinheiro vira 4,0387 unidades, então o valor que vale 64.491 hoje vale 260.463 no fim. Nenhum dos dois números é a tarifa, o lucro ou o erro: são dois preços válidos para uma promessa, e citar qualquer um deles sem a data a que se refere não significa nada.

Posso resolver o pagamento em vez disso, se eu souber o valor único?

Não nesta página, e de propósito: aqui o pagamento é uma entrada e não uma incógnita. Uma página que deixasse você escolher qual campo está sendo resolvido teria de mostrar todos os campos ao mesmo tempo, e aquele que estivesse sendo calculado ficaria ali como uma caixa que ignora o que você digita nela. O pagamento a partir de um valor único tem a própria página, e ela vai além do que um seletor de modo faria: informa também a taxa de saque e quanto do total vem do rendimento.

Faz diferença se os pagamentos chegam no início ou no fim do período?

Os dois valores mudam exatamente o juro de um período, 0,583% nos valores padrão, e mudam na mesma proporção nos dois sentidos. Esse é o sinal de que as duas cifras são vistas de um mesmo objeto: um ajuste que as movesse em montantes diferentes significaria que elas descrevem fluxos diferentes. O total pago, 120.000, não se move nada, e é por isso que a anuidade postecipada e a anuidade antecipada diferem no que o fluxo vale sem diferir no que ele contém.

Por que mudar a frequência de pagamento muda tanto a resposta?

Porque a taxa é nominal e é composta na frequência que você escolher. Uma taxa de 7% ao ano aplicada uma vez por ano compõe menos ao longo de vinte anos do que os mesmos 7% aplicados doze vezes por ano, e a diferença é grande: 20.497,75 contra 260.463,33 sobre 500 por mês, embora os dois também difiram no total pago. A maneira honesta de ler qualquer taxa anual cotada é perguntar em cima de que ela é composta, porque uma taxa nominal sem a frequência dela é só metade de uma taxa.

O que acontece quando a taxa é zero?

As três cifras viram o mesmo número: nos valores padrão, 120.000. Sem nada para descontar e nada para compor, o valor presente e o valor futuro são os dois apenas a soma dos pagamentos. Vale saber que é também neste caso que uma implementação de fórmula fechada quebra: o fator é 0 ÷ 0 quando a taxa é zero, então uma página que não tratasse esse caso à parte imprimiria NaN. O núcleo por trás desta página o trata como um ramo próprio.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv)(A) and (B) — the United States regulation defining the annuity factor: subtract the term-certain remainder factor from 1.000000 and divide by the interest rate, with a further adjustment factor when payments fall at the end of monthly or quarterly periods — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States, current as of 2026)
• Annuities — a single payment or a series of premiums buying periodic payments, and how the timing of those payments is set out in the contract — FINRA (Financial Industry Regulatory Authority), United States
• Planning for retirement — comparing a lump sum with a stream of income, and why the two cannot be compared without picking a rate to discount at — Consumer Financial Protection Bureau, United States