Calculadora de VP de anuidade

Valor presente = pagamento por período × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i se os pagamentos forem no início de cada período) (i = taxa anual ÷ pagamentos por ano; n = anos × pagamentos por ano)

pagamento por período

O pagamento por período, cada quantia igual da série, seja dinheiro que você vai receber ou dinheiro que você vai pagar

taxa anual

A taxa de juros anual usada como taxa de desconto, dividida pelos pagamentos por ano antes de ser aplicada: 7% ao ano viram 0,5833…% ao mês no caso padrão

anos

Por quanto tempo os pagamentos continuam, multiplicado pelos pagamentos por ano para dar o número de pagamentos que estão sendo descontados

i

A taxa de desconto por período, pela qual cada pagamento é dividido uma vez para cada período de distância até hoje

n

O número de pagamentos, que também é o número de vezes que o desconto se capitaliza

Use quando existir uma série de pagamentos iguais e você precisar saber quanto ela vale agora, e não no fim. Os casos mais claros são aqueles em que alguém oferece comprar ou vender essa série: uma venda de previdência, um acordo de pagamento parcelado, um contrato de anuidade, um aluguel com prestações fixas ou a sequência de cupons de um título. Também é a página certa para o inverso de poupar: se você saca um valor fixo de um montante todo mês, ela diz de que tamanho esse montante precisa ser hoje para sustentar os saques, que é a mesma conta com os pagamentos correndo para o outro lado. Duas coisas para acertar. A taxa de desconto é a taxa que você conseguiria ganhar com o dinheiro em outro lugar, então ela é um julgamento e a resposta anda junto com ela — descontar a uma taxa mais alta derruba o valor presente de qualquer série futura. E a configuração de momento não é detalhe: receber cada pagamento no começo ou no fim do seu período vale um período inteiro de juros sobre a série toda, o que no caso padrão são 376,20.

1. 500 por mês durante 20 anos a 7%, pagos no fim de cada mês

   1. A taxa do período: 7% ÷ 12 = 0,5833…% ao mês
   2. O número de pagamentos: 20 × 12 = 240
   3. O fator da anuidade: [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…
   4. Valor presente: 500 × 128,98250649… = 64.491,25
   5. Total de pagamentos 500 × 240 = 120.000, então o desconto é 120.000 − 64.491,25 = 55.508,75

   É a imagem espelhada da página de valor futuro de uma anuidade, que roda os mesmos cinco campos e chega a 260.463,33. As duas respostas são a mesma conta em sentidos opostos e se reconciliam exatamente: 64.491,2532… levados a 0,5833…% ao mês por 240 meses dão 260.463,3299…. Vale saber para não tentar atalho: multiplicar o fator impresso 128,98251 por 500 dá 64.491,255, que arredonda para 64.491,26 em vez do valor correto 64.491,25 — o fator de cinco casas é para ler, não para multiplicar.

2. A mesma série como anuidade antecipada — 64.867,45

   1. Tudo é igual, exceto que cada 500 chega no início do mês em vez do fim
   2. Cada pagamento fica, portanto, um período mais perto de hoje e é descontado uma vez menos
   3. É a resposta da anuidade postecipada multiplicada por (1 + 0,005833…) : 64.491,25 × 1,005833… = 64.867,45
   4. O desconto cai para 120.000 − 64.867,45 = 55.132,55

   376,20 a mais do que o caso postecipado pelos mesmos 120.000 de pagamentos, que é exatamente um mês de juros sobre a série inteira. Receber antes vale isso, e vale mais quanto maior a taxa e mais longo o prazo — e é por isso que a configuração está na página em vez de escondida nas premissas.

3. 500 por mês durante 20 anos a −5% — o desconto vira prêmio

   1. A taxa do período: −5% ÷ 12 = −0,4166…% ao mês
   2. O fator da anuidade a uma taxa negativa passa do número de períodos: chega a 413,752…
   3. Valor presente: 500 × 413,752… = 206.876
   4. O desconto é 120.000 − 206.876 = −86.876, um número negativo

   Uma taxa negativa significa que a mesma quantia vale mais depois do que agora, então a série vale mais do que os pagamentos somam e a terceira célula fica negativa. Isso é a aritmética sendo coerente, não uma saída quebrada — a figura negativa é o prêmio que você pagaria hoje para receber 120.000 ao longo de vinte anos num mundo em que o dinheiro perde valor. Taxas reais negativas são raras, mas existem, e é isto que elas fazem com uma série de pagamentos.

A taxa de desconto é uma única constante para todo o prazo, e é o insumo ao qual a resposta é mais sensível, o que é um problema porque é também o único insumo que ninguém consegue medir de antemão. É uma taxa nominal sem ajuste de inflação, então a resposta está na moeda dos pagamentos e não no poder de compra de hoje — ao longo de vinte anos essa diferença é grande. Os pagamentos são iguais e igualmente espaçados, então uma série que cresce com a inflação, que sobe em degraus programados ou que pula um período está fora desta página; uma série crescente precisa de outra fórmula, e não de outro campo. A conta supõe que a série será paga integralmente e em dia. Anuidades e acordos reais carregam o risco de crédito de quem deve, e uma previdência depende de um patrocinador que pode ou não existir em vinte anos — descontar uma série arriscada à taxa livre de risco exagera o que ela vale, e é exatamente por isso que uma oferta de compra costuma sair acima do valor presente livre de risco. O imposto é ignorado, e o tratamento tributário de uma anuidade ou de um acordo pode ser diferente do tratamento da aplicação que está por trás dela. Taxas e custos de administração do arranjo também são ignorados. Quando a série é um empréstimo que você está pagando, e não uma renda que você recebe, o mesmo número é o quanto você poderia tomar emprestado contra ela, não o quanto você vai de fato pagar. Por fim, o caso de taxa negativa está aritmeticamente correto mas é incomum o bastante para valer dizer com todas as letras: dinheiro perdendo valor a 5% ao ano de forma constante durante vinte anos não é um cenário em que ninguém deva se planejar, e o resultado está ali para mostrar o que a fórmula faz, não para modelar uma previsão.

O que é o valor presente de uma anuidade?

É o que uma série de pagamentos iguais vale hoje, depois de descontar cada um a partir da data em que chega. Os pagamentos não valem o total deles, porque dinheiro que chega em vinte anos compra menos do que dinheiro que chega no mês que vem. No caso padrão, 500 por mês durante vinte anos somam 120.000 mas valem 64.491,25 hoje a 7% — então 55.508,75 do valor de face são o desconto, que não é taxa que alguém cobre, é só o efeito do tempo.

Como calcular o valor presente de uma anuidade?

Divida a taxa anual pelos pagamentos por ano para obter a taxa do período, multiplique os anos pelos pagamentos por ano para obter o número de pagamentos e use pagamento por período × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i. Nos números padrão, i é 0,5833…% e n é 240, então o fator é 128,98250649… e 500 vezes esse fator dá 64.491,25. Se os pagamentos vierem no início de cada período em vez do fim, multiplique por mais um (1 + i) e você tem a anuidade antecipada.

Qual é a diferença entre anuidade postecipada e anuidade antecipada?

É onde cada pagamento cai dentro do seu período. A anuidade postecipada paga no fim, a antecipada paga no início, e um pagamento no início está um período mais perto de hoje, então é descontado uma vez menos. Na série padrão isso é a diferença entre 64.491,25 e 64.867,45 — 376,20, que é um mês de juros sobre a série inteira. Aluguel e a maioria das parcelas de empréstimo são postecipados; um contrato de locação pago adiantado ou um prêmio de seguro no começo do ano é uma anuidade antecipada.

A que taxa devo descontar?

À taxa que você conseguiria ganhar com o dinheiro se não o comprometesse, porque é isso que receber os pagamentos mais tarde lhe custa — a mesma taxa de desconto usada em qualquer outro lugar, às vezes chamada de taxa mínima de atratividade. É um julgamento, e não uma medição, e a resposta é muito sensível a ela: uma taxa mais alta derruba o valor presente de qualquer série futura. Ela deve refletir o risco além do tempo, então descontar a uma taxa de título público uma série que pode não ser paga exagera o que ela vale.

O valor presente pode ser maior que o total dos pagamentos?

Pode, sempre que a taxa for negativa. A −5%, os mesmos 500 por mês durante vinte anos valem 206.876 contra 120.000 de pagamentos, e a célula do desconto mostra −86.876, um prêmio em vez de um desconto. Isso é a fórmula funcionando corretamente sobre uma taxa em que o dinheiro vale mais depois do que agora, não uma saída quebrada. Taxas negativas são raras, e −5% constantes por vinte anos não é previsão, mas o caso fica na página porque uma fórmula que o tratasse em silêncio estaria escondendo uma premissa.

A frequência dos pagamentos importa?

Ela muda duas coisas de uma vez. A taxa anual é dividida pelos pagamentos por ano, então pagar por mês desconta a uma taxa por período diferente de pagar por ano, e o número de pagamentos descontados muda junto. A 1.000 por ano durante dez anos a 6%, o valor presente é 7.360,09; o mesmo total anual pago como 500 duas vezes por ano vale um pouco mais, porque cada metade chega mais cedo e é descontada menos. Se você mantiver o tamanho do pagamento fixo em vez do total anual, a diferença fica bem maior, porque aí você está comparando quantias diferentes de dinheiro.

Isto é a mesma coisa que o valor futuro de uma anuidade?

É a mesma conta apontando para o outro lado. As duas usam o fator de anuidade idêntico; esta página multiplica esse fator pelo pagamento para obter o que a série vale hoje, e a página de valor futuro o multiplica por um fator de crescimento para obter o que a conta terá no fim. Nos campos padrão as duas respostas se reconciliam exatamente: 64.491,2532 levados a 0,5833% ao mês por 240 meses dão 260.463,33. Use esta página quando estiver avaliando uma série que já existe, e a outra quando estiver projetando uma série na qual você vai contribuir.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the United States government's own published annuity factor table, the official present-value-of-an-annuity figures used for valuing annuities in estates — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one), the definition this page discounts — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate each payment in the stream is discounted at — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)