Calculadora de PVIFA

PVIFA = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i se os pagamentos forem no início de cada período) (i = taxa anual ÷ pagamentos por ano; n = anos × pagamentos por ano; o PVIFA no início de cada período é este valor multiplicado por 1 + i)

i

A taxa de desconto por período: a taxa anual dividida pelos pagamentos por ano, que é a taxa pela qual cada pagamento é descontado

n

O número de períodos: os anos multiplicados pelos pagamentos por ano, e o expoente que faz os pagamentos distantes contarem menos

PVIFA

O fator de valor presente de uma anuidade: quanto vale hoje uma unidade de moeda paga a cada período durante n períodos, sem nenhuma quantia de dinheiro dentro do número

PVIFA no início de cada período

O mesmo fator quando cada pagamento chega no início do seu período em vez do fim, o que é o fator postecipado multiplicado por um mais a taxa do período

Use quando você precisar do fator, e não de uma quantia: para conferir um número contra uma tabela publicada, para resolver um problema em que o pagamento não foi dado, para montar uma planilha em que o pagamento será um campo separado, ou para comparar como o fator se move conforme a taxa e o prazo mudam sem que a aritmética fique escondida atrás de uma quantia de dinheiro. A divisão de trabalho com a página de valor presente de uma anuidade é simples: aquela multiplica este fator pelo pagamento e imprime dinheiro, esta imprime só o fator, que é o que você quer quando não há pagamento na conta. O fator também é a forma honesta de ver a forma do desconto, porque ele isola o desconto: 6,71008 a 8% ao longo de dez anos diz que dez unidades anuais valem menos de sete hoje, e o mesmo fator a 50% é 1,96532, o que diz que a essa taxa quase nada além dos primeiros dois ou três anos sobrevive ao desconto. Duas coisas vale saber antes de usar uma tabela publicada. As tabelas quase sempre são feitas para pagamentos no fim de cada período, então, se você estiver avaliando uma anuidade antecipada, precisa da segunda coluna e não da primeira. E a taxa do período e a contagem de períodos precisam combinar com a frequência de pagamento: uma anuidade mensal de dez anos tem 120 períodos à taxa mensal, e não 10 períodos à taxa anual, e consultar a linha anual exageraria o fator por um fator de cerca de doze.

1. 8% por 10 anos, pagos anualmente — a célula do livro-texto

   1. A taxa do período: 8% ÷ 1 = 8% ao ano
   2. O número de períodos: 10 × 1 = 10
   3. PVIFA: [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, impresso como 6,71008
   4. Anuidade antecipada: 6,7100814… × 1,08 = 7,2468879…, impresso como 7,24689

   É o caso padrão e a razão de a página trazer por padrão um arranjo anual de dez anos em vez do mensal de vinte anos que as outras páginas de anuidade usam. Procure 8% em qualquer tabela de anuidade padrão e a décima coluna traz 6,71008, porque isto não é uma aproximação desse número: é esse número. A coluna antecipada ao lado é a entrada de início de período da mesma tabela, e os 8,0% de diferença entre as duas são exatamente um período de juros.

2. 7% em 20 anos pagos mensalmente — 128,98251

   1. A taxa do período: 7% ÷ 12 = 0,5833…% ao mês
   2. O número de períodos: 20 × 12 = 240
   3. PVIFA: [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…, impresso como 128,98251

   São os mesmos campos que a página de valor presente de uma anuidade usa no caso padrão dela, onde um pagamento de 500 dá 64.491,25. Multiplique 128,98250649… por 500 e você chega exatamente nisso, que é toda a relação entre as duas páginas: uma imprime o fator, a outra o multiplica por uma quantia. Note que multiplicar o 128,98251 impresso por 500 dá 64.491,255 e arredonda para 64.491,26, então o fator de cinco casas é para ler, e não para encadear em mais contas.

3. 5% por um único ano, pago anualmente — 0,95238, e o fator antecipado é exatamente 1

   1. Um período a 5%: PVIFA = 1 ÷ 1,05 = 0,952380…, impresso como 0,95238
   2. Anuidade antecipada: o único pagamento se desloca para hoje, onde o fator de desconto é (1,05)⁰ = 1
   3. Então o fator antecipado é exatamente 1, sem nenhum arredondamento dentro dele

   É a fronteira mais limpa da página. Um pagamento, feito daqui a um ano, vale 0,95238 do valor de face a 5%; desloque esse mesmo pagamento para hoje e o fator é 1, porque não houve tempo para descontá-lo. A distância entre as duas colunas é a maior de todas aqui em relação ao fator — cerca de 5% — e ela diminui conforme o prazo aumenta, que é o oposto do que a maioria das pessoas espera.

O fator só é tão útil quanto a taxa e a contagem de períodos por trás dele, e as duas precisam estar na frequência de pagamento. Uma tabela publicada é quase sempre anual, então usá-la para uma anuidade mensal exige converter a taxa e multiplicar os períodos, e errar isso é a forma mais comum de ficar errado por uma ordem de grandeza. O fator supõe que a mesma quantia é paga a cada período por um número conhecido de períodos, então uma série que cresce, que sobe em degraus ou que continua por um prazo incerto está fora dele. Ele supõe que a taxa de desconto é constante do começo ao fim, o que nenhuma taxa real é. E é um valor presente, não um preço: não contém nenhuma provisão para risco de crédito, imposto, taxas, nem para a possibilidade de os pagamentos pararem. Onde se está conferindo uma tabela oficial, note que os números do próprio governo são montados de outra maneira. Sob o 26 CFR 20.2031-7, a Tabela B dá um fator de anuidade uma vez por ano — 4,6325 a 2,6% para um prazo de cinco anos — e a Tabela K então multiplica isso por um ajuste de frequência para pagamentos feitos no fim de cada intervalo, 1,0097 para pagamentos trimestrais a 2,6%, de modo que o próprio exemplo resolvido da regulamentação chega a 46.774,35 a partir de uma anuidade de 10.000 por ano paga trimestralmente. Esta página chega ao mesmo valor presente por outro caminho, capitalizando a taxa nominal diretamente, e obtém 46.744,27 — cerca de 30 a menos, ou 0,06%. Nenhum dos dois está errado; são duas convenções, e um número que precisa bater com um laudo atuarial protocolado tem de usar a da regulamentação. Vale dizer também que essas duas tabelas são da autoridade tributária dos Estados Unidos, e não de uma norma brasileira: fora dos Estados Unidos a referência publicada costuma ser outra, e o caminho de capitalizar a taxa nominal é o que esta página segue.

O que é o PVIFA?

A sigla vem do inglês present value interest factor of an annuity, e é quanto vale hoje uma unidade de moeda paga a cada período por um número dado de períodos a uma taxa de desconto dada. É um fator puro, sem dinheiro dentro, então você o multiplica pelo seu próprio pagamento para obter um valor presente. A 8% ao ano por dez períodos anuais ele é 6,71008, o que significa que dez pagamentos anuais de uma unidade valem 6,71008 hoje.

Como se calcula o PVIFA?

Use [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, em que i é a taxa do período e n é o número de períodos. A 8% ao ano por dez anos isso dá [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, impresso como 6,71008. Para uma anuidade mensal, divida a taxa anual por doze e multiplique os anos por doze antes, e depois use a mesma fórmula — a taxa e a contagem de períodos precisam estar as duas por período.

Por que o fator da anuidade antecipada é maior?

Porque cada pagamento chega um período mais cedo, então cada um é descontado uma vez menos. A relação é exata: o fator antecipado é o fator postecipado multiplicado por (1 + i). A 8% ao longo de dez anos isso é 6,71008 × 1,08 = 7,24689, cerca de 8% a mais. A página imprime os dois para que você não precise decidir de qual deles precisa antes de ver os números.

O arranjo padrão bate com uma tabela publicada?

Bate, e isso é deliberado. O padrão é 8% por dez anos pagos anualmente, o que dá 6,71008 — a figura da linha de 8%, décima coluna, de uma tabela de anuidade padrão. A tabela de referência vai de 4% a 12% no mesmo prazo, e os seis fatores 8,1109, 7,72173, 7,36009, 6,71008, 6,14457 e 5,65022 batem com as tabelas publicadas dígito por dígito, então a página serve para conferir uma delas.

O que acontece com taxa de juros zero?

O fator degenera para o número de períodos, porque sem desconto os pagamentos simplesmente valem a soma deles. Dez pagamentos anuais a 0% dão um fator de 10, e dez anos pagos mensalmente dão 120. O fator antecipado é idêntico a 0%, já que multiplicar por (1 + 0) não muda nada. É uma boa conferência do que o fator significa: tudo o que excede a contagem de períodos é desconto.

O PVIFA é a mesma coisa que o valor presente de uma anuidade?

É um passo antes dele. O valor presente é o fator multiplicado pelo pagamento, então o fator é o que você tem quando o pagamento é desconhecido, irrelevante ou já contabilizado em outro lugar. Neste site, a página de valor presente de uma anuidade imprime a quantia e esta página imprime o fator, a partir dos mesmos campos — a 7% ao longo de vinte anos pagos mensalmente o fator é 128,98250649… e um pagamento de 500 faz o valor presente ser 64.491,25.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the official annuity factor table for a term certain; at 2.6 percent for a five-year term the annuity factor is 4.6325, and the regulation's worked examples use it — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv), Table K — adjustment factors for annuities payable at the end of each interval, used to convert an annual annuity factor to a more frequent payment schedule (Table J does the same for payments at the beginning of each interval) — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary, for the stream of fixed-interval payments the factor is pricing — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)