단위원 계산기

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

각도이며 x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 잰 값입니다. 음수여도 되고 한 바퀴를 넘어도 됩니다. 원 위 어디에 떨어지는지만 중요합니다

cos θ

각이 떨어뜨린 점의 x좌표입니다. 0도에서 그 점은 (1, 0)이라 코사인이 1이고, 90도에서는 0입니다

sin θ

같은 점의 y좌표입니다. 0도에서는 0이고, 90도에서는 점이 원의 꼭대기로 가서 사인이 1입니다

tan θ

사인을 코사인으로 나눈 값이며 원점에서 그 점으로 간 직선의 기울기입니다. 코사인이 0이 되는 곳에서는 값이 없습니다. 그 자리에서 직선이 수직이기 때문입니다

반지름 1

좌표를 그대로 읽을 수 있는 이유입니다. 점이 원점에서 한 단위 떨어져 있으므로 피타고라스에 의해 두 좌표의 제곱의 합은 언제나 1이고, 그것이 항등식 cos²θ + sin²θ = 1입니다

도 또는 라디안

입력 상자 옆의 드롭다운이 넣은 값을 도로 환산한 뒤 계산하므로 어느 쪽으로 넣어도 답이 같습니다. 사분의 한 바퀴는 90도이고 라디안으로는 π의 절반입니다

소수점 네 자리

세 읽기를 적는 폭입니다. 정확한 값으로 떨어지는 각도는 몇 개뿐입니다. 30도의 사인은 2분의 1이고 45도의 탄젠트는 정확히 1이며 축 위의 값은 모두 정수입니다. 나머지는 √2/2처럼 마지막에 반올림해야 하는 값입니다

단위원은 삼각함수 수업이 외우라고 시키는 그 표이고, 세 삼각함수는 그 위의 점 좌표에 지나지 않습니다. 이 페이지는 임의의 각도를 넣을 수 있는 상자를 붙인 그 표입니다. 쓰임은 각도를 알고 그 성분을 필요로 하는 자리에서 곧바로 나옵니다. 힘이나 속도를 가로와 세로로 나누는 일이 그렇고, 그것이 바로 사인과 코사인 한 쌍입니다. 전자공학에서 위상을 구하거나 역률을 계산할 때, 어떤 것을 비스듬히 던졌을 때 수평으로 얼마나 가는지 구할 때도 마찬가지입니다. 측량과 항해에서는 방위각을 동쪽 거리와 북쪽 거리로 바꿔야 할 때마다 쓰입니다. 그 두 거리가 바로 두 좌표입니다. 그래픽과 게임은 회전하는 모든 것에 이 값을 씁니다. 스프라이트를 돌리거나, 카메라를 원을 그리며 움직이거나, 바퀴 위의 한 점을 따라갈 때 회전하는 점의 위치가 곧 코사인과 사인이고, 이 함수 하나로 적으면 경우마다 산수를 늘어놓지 않아도 되므로 회전 코드가 짧아집니다. 그다음이 순전히 배움을 위한 쓰임이고, 이 페이지가 실제로 만들어진 이유입니다. 특수각의 값은 통째로 외울 가치가 있고, 90도를 넣어 탄젠트가 거부되는 것을 보는 편이 그 값이 없다고 듣는 것보다 훨씬 잘 남습니다. 아래 참고표는 같은 각도들을 소수가 아니라 정확한 분수로 적은 것입니다. 실제로 쓰이는 꼴이 그쪽이기 때문입니다.

1. 각도 30도

   1. x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 30도만큼 돌립니다
   2. 떨어진 점은 (√3/2, 1/2)입니다
   3. 코사인은 x좌표이므로 0.8660입니다
   4. 사인은 y좌표이므로 0.5입니다
   5. 탄젠트는 비율이므로 0.5 ÷ 0.8660 = 0.5774입니다

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 각도이고, 특수각을 가르칠 때 늘 맨 앞에 놓이는 행입니다. 정확한 값은 √3/2, 1/2, √3/3이고, 여기서는 소수로 적었으며 정확한 분수는 아래 참고표에 있습니다.

2. 각도 45도

   1. 반시계 방향으로 45도만큼 돌리면 점이 대각선 위에 놓입니다
   2. 두 축에서 같은 거리에 있으므로 사인과 코사인이 같습니다. √2/2 = 0.7071입니다
   3. 탄젠트는 그 둘의 비율이고, 같은 수를 같은 수로 나누면 1입니다

   0도와 90도 사이에서 사인과 코사인이 같은 유일한 각도이며, 점이 직선 y = x 위에 놓이기 때문입니다. 탄젠트가 정확히 1이라는 것이 이를 확인해 주고, 45도의 경사를 1:1 경사라고 부르는 이유도 여기 있습니다.

3. 각도 180도

   1. 반 바퀴를 돌리면 점이 x축의 음의 방향에 놓입니다
   2. 코사인은 x좌표이므로 -1입니다
   3. 사인은 y좌표이므로 0입니다
   4. 탄젠트는 0을 -1로 나눈 값이므로 0입니다

   반 바퀴이고, 사람을 자주 걸려 넘어지게 하는 부호가 여기 있습니다. 점이 원의 반대쪽으로 갔기 때문에 코사인이 1이 아니라 -1입니다. 사인은 여기서 정확히 0으로 돌아오는데, 페이지 안쪽 계산은 가는 길에 아주 작은 수를 만들지만 마지막에 반올림하기 때문입니다. 그것이 정직한 처리 방식입니다.

4. 각도 390도

   1. 한 바퀴를 돌면 출발점으로 돌아오므로 390도는 30도와 같습니다
   2. 그 점은 30도일 때와 똑같이 (√3/2, 1/2)입니다

   30도 예와 같은 세 값인데, 한 바퀴를 더 돌아 같은 점에 떨어졌기 때문입니다. 이 덕분에 이 페이지는 한 바퀴 사이의 각도가 아니어도 쓸 수 있습니다. 미리 손으로 줄여 놓지 않아도 페이지가 알아서 처리합니다.

이 페이지는 각도 하나를 받아 그 사인과 코사인과 탄젠트를 돌려줍니다. 탄젠트는 90도와 270도에서 값이 없고, 그 둘에 360도의 정수배를 더하거나 뺀 모든 각도에서도 없습니다. 점이 x좌표가 0인 자리로 가서 나눌 것이 남지 않기 때문입니다. 그럴 때 페이지는 아주 큰 수를 인쇄하는 대신 거부하고 이유를 설명합니다. 사인과 코사인은 그 자리에서도 값이 멀쩡히 정의됩니다. 1과 0입니다. 다만 이 페이지는 셋을 함께 내놓으므로 둘만 골라 주지 않고 셋 다 내놓지 않습니다. 그 두 값은 아래 참고표가 정확한 꼴로 가지고 있습니다. 그 값에 아주 가까운 각도는 받아들이고 아주 큰 탄젠트를 내놓는데, 이는 수학적으로 맞습니다. 거의 수직인 기울기는 정말로 가파르기 때문입니다. 그래서 비껴간 것과 정확히 맞은 것은 다르고, 페이지도 그 둘을 같이 다루지 않습니다. 세 읽기는 드롭다운이 무엇을 가리키든 단위가 없는 순수한 수입니다. 드롭다운은 각도를 어떻게 넣을지를 고를 뿐 결과를 어떻게 적을지를 고르지 않습니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭이고, 대부분의 각도는 정확한 소수 값을 아예 가지지 않습니다. 참고표가 흔한 각도를 정확한 분수로 적어 둔 이유가 그것입니다. 여기서는 역문제를 다루지 않습니다. 각도를 좌표로 바꿔 줄 뿐 좌표를 다시 각도로 돌려주지 않고, 호의 길이나 부채꼴의 넓이, 각도가 원을 얼마나 돌았는지도 알려 주지 않습니다.

탄젠트는 90도에서 왜 답이 없나요?

탄젠트가 사인을 코사인으로 나눈 값인데 90도에서는 코사인이 0이기 때문입니다. 점이 원의 꼭대기로 가서 x좌표가 0이 되고, 나눌 것이 남지 않습니다. 정직한 서술은 탄젠트에 그 자리의 값이 없다는 것이지 어마어마하게 크다는 것이 아닙니다. 사인과 코사인은 그 각도에서도 멀쩡히 정의됩니다. 점이 원의 꼭대기에 있으므로 사인은 1이고 코사인은 0입니다. 이 페이지는 셋을 함께 보고하므로 둘만 골라 주지 않고 셋 다 주지 않습니다. 각도를 거부하고 이유를 말합니다. 아래 참고표에는 그 행의 정확한 값이 그대로 실려 있습니다.

360도보다 큰 각도도 넣을 수 있나요?

됩니다. 음수 각도도 됩니다. 원 위 어디에 떨어지는지만 중요하므로 390도는 30도와 정확히 같은 세 값을 내놓고, -30도는 330도와 같습니다. 페이지가 알아서 줄여 주므로 미리 손으로 줄여 놓지 않아도 됩니다. 방위각과 회전은 한 바퀴를 넘기는 일이 흔하기 때문에 이 처리가 중요합니다.

학교에서 본 표는 분수인데 왜 결과는 소수인가요?

결과 패널은 계산기이고 참고표는 도표이기 때문입니다. 특수각의 정확한 값은 √2/2와 √3/2 같은 꼴이라 정확한 소수로 적을 수 없고, 0.7071은 그 가운데 하나를 반올림한 값입니다. 아래 참고표는 같은 각도들을 정확한 분수로 적어 둡니다. 외워 둘 가치가 있는 꼴이 그쪽입니다.

탄젠트는 실제로 어디에 쓰나요?

기울기입니다. 각도의 탄젠트는 원점에서 그 점으로 간 직선의 상승 폭을 수평 거리로 나눈 값이고, 그래서 경사도나 지붕의 물매처럼 세로를 가로로 나눈 비율로 재는 모든 자리에 나타납니다. 사인과 코사인은 좌표이고 탄젠트는 그 둘 사이의 비율이며, 셋 가운데 탄젠트에만 정의역의 구멍이 있는 이유가 이 차이입니다.

각도의 단위는 상관없나요?

드롭다운은 각도를 어떻게 넣을지만 고르고 그 밖의 일은 하지 않습니다. 세 읽기는 단위가 전혀 없는 순수한 수입니다. 반지름 1인 원 위의 좌표에는 단위가 없고 그 둘의 비율에도 없기 때문입니다. 페이지는 넣은 각도를 안에서 도로 환산하므로 0.5236 라디안과 30도는 같은 답을 냅니다.

직각삼각형 계산기와 같은 것인가요?

그 특별한 경우입니다. 직각삼각형에서 사인은 빗변 분의 대변이고 코사인은 빗변 분의 인변이며, 단위원에서는 빗변이 1이라 그 비율이 그대로 두 변이 됩니다. 모든 직각삼각형은 단위원 그림을 확대하거나 축소한 복사본이고, 그래서 이 페이지의 수가 어떤 크기의 삼각형에도 통합니다.

• Unit Circle — 반지름 1인 원, 그 위의 점 좌표가 코사인과 사인인 이유, 그리고 정확한 값을 가지는 특수각 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 사인·코사인·탄젠트의 정의와 정의역, 그리고 코사인이 0인 곳마다 탄젠트가 정의되지 않는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — 이 페이지가 나누어 구하는 비율, 한 바퀴가 아니라 반 바퀴인 주기, 90도와 270도에 놓인 극점 — Wolfram MathWorld (United States)