기준각 계산기

제1사분면: 기준각 = 각도 제2사분면: 기준각 = 180° − 각도 제3사분면: 기준각 = 각도 − 180° 제4사분면: 기준각 = 360° − 각도

각도

원점을 중심으로 동경이 돌아간 만큼이며 단위는 도입니다. 한 바퀴를 넘는 값과 음수도 넣을 수 있습니다. 400도는 40도와 같은 자리를 가리키고, -45도는 시계 방향으로 45도 돌아간 것입니다. 이 값 하나가 어느 사분면인지를 정합니다

기준각

동경과 가로축이 이루는 예각이며 단위는 도입니다. 언제나 0도에서 90도 사이이고, 동경이 어느 사분면에 있든 양수로 나옵니다. 같은 기준각을 가진 각도들은 삼각함수의 값이 부호만 다르고 크기는 같아서, 예각에 대한 표 하나로 모두 처리할 수 있습니다

동경

원점에서 시작해 각도만큼 돌아간 반직선입니다. 기준각은 이 선과 가로축 사이의 예각이므로, 동경이 어느 사분면에 있는지가 계산 방법을 정합니다. 동경 자체가 축 위에 놓이면 어느 사분면에도 속하지 않고, 그때가 이 페이지에서 가장 헷갈리는 경우입니다

사분면

좌표평면을 가로축과 세로축으로 나눈 네 칸입니다. 제1사분면에서 반시계 방향으로 제2, 제3, 제4사분면이 됩니다. 기준각을 구하는 식이 사분면마다 다르고, 축 위에 놓인 각도는 어느 사분면에도 들어가지 않습니다

이 페이지는 삼각함수의 값을 구하기 전에 준비 단계로 씁니다. 기준각 구하기는 삼각함수 표를 쓸 때의 첫 단계이고, 각도를 0도에서 90도 사이의 예각으로 줄여 놓으면 표에서 값을 찾은 뒤 사분면에 맞는 부호만 붙이면 됩니다. 예각에 대한 값은 표에 나와 있지만 150도나 210도에 대한 값은 따로 외우지 않기 때문입니다. 각도가 어느 사분면에 있는지 판단하는 일도 이 페이지가 대신합니다. 0도에서 90도는 제1사분면, 90도에서 180도는 제2사분면, 180도에서 270도는 제3사분면, 270도에서 360도는 제4사분면입니다. 360도를 넘는 각도는 한 바퀴를 빼고 같은 판단을 하면 되고, 음수는 시계 방향으로 읽습니다. 도형의 대칭을 다룰 때도 기준각이 쓰입니다. 단위원 위에서 같은 기준각을 가진 점들은 가로축과 세로축에 대해 서로 대칭으로 놓입니다. 30도와 150도는 세로축에 대해 대칭이고, 30도와 210도는 원점에 대해 대칭입니다. 각도의 대칭 관계를 볼 때 기준각이 기준점이 됩니다. 축 위에 놓인 각도는 따로 주의해야 합니다. 90도의 기준각이 90이고 180도의 기준각이 0이라는 것은 직관과 어긋나 보이지만, 기준각이 가로축까지의 예각이라는 정의를 그대로 따르면 그렇게 됩니다. 사분면 판단에서도 이 각도들은 어느 칸에도 들어가지 않으므로 축 위라는 별도의 답이 나옵니다. 각도가 커지거나 작아져도 계산 방식은 그대로입니다. 400도처럼 한 바퀴를 넘긴 값도, -45도처럼 음수인 값도 사분면을 정한 뒤 같은 식을 적용합니다.

1. 210도일 때

   1. 사분면 판단: 180도와 270도 사이이므로 제3사분면
   2. 제3사분면의 식 적용: 210 − 180 = 30
   3. 기준각: 30

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 210도는 제3사분면에 있고, 180도를 빼면 30이 남습니다. 이 각도는 30도와 기준각이 같으므로 삼각함수의 절댓값이 30도와 같고 부호만 다릅니다. 제3사분면에서는 사인과 코사인이 모두 음수이므로, 30도의 값을 표에서 찾은 뒤 두 부호를 모두 음수로 바꾸면 됩니다.

2. 30도일 때

   1. 사분면 판단: 0도와 90도 사이이므로 제1사분면
   2. 제1사분면의 식 적용: 각도가 그대로 기준각
   3. 기준각: 30

   제1사분면에서는 각도가 그대로 기준각이 됩니다. 이미 예각이라서 줄일 것이 없기 때문입니다. 이 경우에는 사분면을 따로 확인하지 않아도 답이 같지만, 0도에서 90도 사이인지 먼저 보는 습관을 들이면 다른 각도에서 실수를 줄일 수 있습니다. 앞의 210도와 기준각이 같다는 것을 견주어 보면, 서로 다른 두 각도가 같은 기준각을 가질 수 있다는 것이 드러납니다.

3. 135도일 때

   1. 사분면 판단: 90도와 180도 사이이므로 제2사분면
   2. 제2사분면의 식 적용: 180 − 135 = 45
   3. 기준각: 45

   제2사분면에서는 180도에서 각도를 뺍니다. 135도는 180도에서 45도만큼 모자라므로 기준각이 45도입니다. 제2사분면에서는 사인이 양수이고 코사인이 음수입니다. 135도가 정확히 90도와 180도의 한가운데라서 기준각이 45도로 떨어지는데, 이 각도는 직각이등변삼각형과 이어지는 값이라서 삼각함수 표에서 자주 만납니다.

4. 300도일 때

   1. 사분면 판단: 270도와 360도 사이이므로 제4사분면
   2. 제4사분면의 식 적용: 360 − 300 = 60
   3. 기준각: 60

   제4사분면에서는 360도에서 각도를 뺍니다. 300도는 한 바퀴에서 60도만큼 모자라므로 기준각이 60도입니다. 제4사분면에서는 코사인이 양수이고 사인이 음수입니다. 네 사분면의 식을 견주어 보면 모두 가로축까지의 예각을 남긴다는 같은 목적을 향하고 있고, 어느 축에서 재느냐만 다르다는 것을 알 수 있습니다.

5. 90도일 때

   1. 사분면 판단: 축 위에 놓이므로 어느 사분면에도 속하지 않음
   2. 동경이 세로축 위에 서 있음
   3. 가로축과 이루는 각: 90도
   4. 기준각: 90

   가장 헷갈리는 경우입니다. 90도의 기준각은 0이 아니라 90입니다. 동경이 세로축 위에 서 있어서 가로축과 이루는 각이 직각 그 자체이기 때문입니다. 기준각을 구할 때 90도에서 빼는 식을 쓰면 0이 나오는데, 그것은 세로축에서 잰 값이지 가로축에서 잰 값이 아닙니다. 기준각은 언제나 가로축을 기준으로 재고, 이 각도는 축 위에 있어서 어느 사분면에도 들어가지 않습니다.

6. 180도일 때

   1. 사분면 판단: 축 위에 놓이므로 어느 사분면에도 속하지 않음
   2. 동경이 가로축 위에 누워 있음
   3. 가로축과 이루는 각: 0도
   4. 기준각: 0

   90도와 반대되는 경우입니다. 동경이 가로축 위에 그대로 누워 있어서 가로축까지의 각이 0이 됩니다. 앞의 예와 나란히 놓고 보면 축 위에 놓인 각도는 사분면이 정해지지 않는다는 공통점이 있고, 기준각은 동경이 어느 축에 놓였는지에 따라 0이나 90이 됩니다. 270도도 세로축 위라서 90도와 같은 답이 나옵니다.

7. 400도일 때

   1. 한 바퀴를 넘긴 각도
   2. 360도를 빼고 같은 자리로 봄: 400 − 360 = 40
   3. 사분면 판단: 제1사분면
   4. 기준각: 40

   한 바퀴를 넘긴 각도도 그대로 처리됩니다. 400도는 360도를 한 바퀴 돌고 40도만큼 더 간 것이라서 40도와 같은 자리를 가리키고, 기준각도 40도입니다. 각도에 360도를 더하거나 빼도 동경의 자리가 달라지지 않으므로 기준각도 변하지 않습니다. 760도나 -320도도 같은 기준각을 가집니다.

8. -45도일 때

   1. 음수는 시계 방향으로 돌아간 것으로 봄
   2. -45도는 315도와 같은 자리
   3. 사분면 판단: 제4사분면
   4. 제4사분면의 식 적용: 360 − 315 = 45
   5. 기준각: 45

   음수 각도도 같은 방식으로 구합니다. 시계 방향으로 45도 돌아간 것은 반시계 방향으로 315도 돌아간 것과 같은 자리라서 제4사분면에 놓이고, 기준각이 45도입니다. 기준각은 예각이므로 음수로 나오는 경우가 없다는 점을 기억해 두면 부호를 잘못 붙이는 실수를 막을 수 있습니다. 참고표의 마지막 줄이 이 경우입니다.

이 페이지는 기준각 하나만 계산합니다. 동경이 어느 사분면에 있는지와 기준각이 얼마인지까지는 알려 주지만, 사인이나 코사인 같은 삼각함수의 값은 구해 주지 않습니다. 사분면을 알면 부호를 정할 수 있으므로 기준각과 함께 쓰면 되지만, 실제 값을 얻으려면 예각에 대한 삼각함수 표나 다른 계산기가 필요합니다. 한 바퀴를 넘긴 각도를 정리해 주지는 않습니다. 400도를 넣으면 기준각 40이 나오지만 40도로 바꿔 주지는 않고, 같은 위치의 각도를 찾는 일은 다른 계산기의 몫입니다. 라디안은 다루지 않습니다. 입력과 출력이 모두 도 단위이므로 라디안으로 된 각도는 도로 환산해서 넣어야 합니다. 축 위에 놓인 각도의 답은 직관과 어긋날 수 있습니다. 90도의 기준각이 90이고 180도의 기준각이 0인데, 이것은 기준각이 세로축이 아니라 가로축까지의 예각이라는 정의에서 나온 결과입니다. 이 두 각도는 어느 사분면에도 속하지 않으므로 사분면 대신 축 위라는 답이 나옵니다. 출력은 소수점 둘째 자리까지 인쇄됩니다. 정수 각도를 넣으면 답도 정수로 떨어지지만, 소수 각도를 넣으면 반올림된 값이 나옵니다. 아주 큰 각도를 넣으면 한 바퀴를 여러 번 돈 셈이 되지만 기준각은 같은 방식으로 구해집니다.

기준각이 무엇인가요?

동경과 가로축이 이루는 예각입니다. 동경은 원점에서 각도만큼 돌아간 반직선이고, 그 선이 가로축에서 얼마나 벗어나 있는지를 0도에서 90도 사이의 값으로 나타낸 것입니다. 세로축이 아니라 가로축을 기준으로 잰다는 점이 중요하고, 그래서 90도의 기준각이 0이 아니라 90이 됩니다.

왜 기준각을 따로 구하나요?

삼각함수의 값이 사분면마다 부호만 바뀌고 크기는 같기 때문입니다. 30도와 150도와 210도와 330도는 기준각이 모두 30도라서 사인과 코사인의 절댓값이 서로 같습니다. 예각에 대한 표 하나만 있으면 기준각을 찾은 뒤 사분면에 맞는 부호를 붙여 모든 각도의 값을 만들 수 있습니다.

사분면마다 계산이 다른가요?

기준각을 구하는 식이 사분면마다 다릅니다. 제1사분면에서는 각도가 그대로 기준각이고, 제2사분면에서는 180도에서 빼며, 제3사분면에서는 180도를 빼고, 제4사분면에서는 360도에서 뺍니다. 네 식 모두 가로축까지의 예각을 남긴다는 같은 목적을 향하고 있고, 결과는 언제나 0도에서 90도 사이입니다.

90도의 기준각이 90인 이유는 무엇인가요?

동경이 세로축 위에 서 있어서 가로축과 이루는 각이 직각 그 자체이기 때문입니다. 90도에서 빼는 식을 쓰면 0이 나오는데, 그것은 세로축에서 잰 값이지 가로축에서 잰 값이 아닙니다. 기준각은 언제나 가로축을 기준으로 재고, 90도는 어느 사분면에도 속하지 않아서 사분면 대신 축 위라는 답이 나옵니다.

180도의 기준각이 0인 이유는 무엇인가요?

동경이 가로축 위에 그대로 누워 있어서 가로축까지의 각이 없기 때문입니다. 0도와 마찬가지로 가로축 위에 놓인 각도이므로 기준각이 0입니다. 270도는 세로축 위라서 90도와 같은 답이 나옵니다. 축 위에 놓인 각도는 사분면이 정해지지 않는다는 점을 함께 기억해 두세요.

한 바퀴를 넘긴 각도도 되나요?

됩니다. 400도를 넣으면 360도를 한 바퀴 돌고 40도만큼 더 간 것이라서 기준각이 40도로 나옵니다. 각도에 360도를 더하거나 빼도 동경의 자리가 달라지지 않으므로 기준각도 변하지 않습니다. 음수 각도는 시계 방향으로 돌아간 것으로 보고 같은 방식으로 구합니다.

삼각함수의 값도 알 수 있나요?

이 페이지는 기준각과 사분면까지만 알려 줍니다. 실제 사인이나 코사인의 값은 예각에 대한 삼각함수 표나 다른 계산기가 필요합니다. 다만 어느 사분면에 있는지를 알면 부호를 정할 수 있으므로, 기준각으로 표에서 값을 찾은 뒤 사분면에 맞는 부호를 붙이면 됩니다.

• Reference Angle — 동경과 가로축이 이루는 예각. 사분면마다 다른 뺄셈이 이 정의에서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — 기준각이 같은 각도들이 대칭으로 놓이는 무대. 삼각함수의 값이 부호만 바뀌는 이유가 여기 있다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 각도의 함수인 사인·코사인·탄젠트. 기준각으로 줄여 놓으면 예각에 대한 표 하나로 모든 사분면을 처리할 수 있다 — Wolfram MathWorld (United States)