호의 길이 계산기
계산 결과
호의 길이
호의 길이 계산기는 원의 반지름과 중심각을 받아 그 원 위의 한 조각이 얼마나 긴지 센티미터로 돌려줍니다. 원호는 원 위의 두 점 사이에 있는 굽은 부분이고, 그 호를 이름 붙이는 각은 그 두 점으로 그은 두 반지름 사이의 중심각입니다. 중심각과 호는 서로를 정하는 한 쌍이라 하나가 정해지면 다른 하나도 정해집니다. 계산은 비례 이상도 이하도 아닙니다. 원 전체가 360도이고 그 둘레 전체가 2πr이므로, θ도짜리 호는 그 360분의 θ입니다. 각이 원에서 차지하는 비율만큼 호도 원둘레에서 같은 비율을 차지합니다. 이것이 원 전체를 다루는 계산기 하나로 충분하지 않고 별도 페이지가 필요한 까닭은, 곡선이 나타나는 자리가 대부분 완전한 원이 아니기 때문입니다. 도로의 굽은 구간이 호이고, 문 손잡이가 그리는 궤적, 와이퍼가 쓸어 가는 범위, 굽은 조리대, 아치, 문자판 위에 감긴 테이프도 그렇습니다. 그 하나하나에서 묻는 것은 굽은 부분의 길이입니다. 잘라 내고 값을 매기고 포장하고 달려야 하는 것이 바로 그 길이입니다. 이 주제에 함정이 하나 있는데 단위 함정입니다. 이 공식을 짧게 적은 형태가 L = rθ이고, 그 형태에서 θ는 도가 아니라 라디안입니다. 라디안과 도는 같은 각을 적는 두 방식이고, 라디안은 앞에 계수를 붙이지 않고 그 줄이 나오게 하려고 존재하는 단위입니다. 60도를 L = rθ에 넣으면 답이 약 57배 크게 나오는데, 틀려 보이지도 않습니다. 그저 긴 호처럼 보입니다. 이 페이지는 도를 받습니다. 60이 1.0472보다 적기 쉽기 때문이고, 계산하는 식에 360이 들어 있어서 도가 곱하기 전에 처리됩니다. 곡선 길이를 구하기 전에 원 전체를 알 필요는 없고, 각이 원에서 차지하는 비율만 있으면 됩니다.
반지름과 중심각에서 구한 호의 길이
| 반지름 (cm) | 중심각 (도) | 호의 길이 (cm) |
|---|---|---|
| 5 | 60 | 5.236 |
| 5 | 90 | 7.854 |
| 5 | 180 | 15.708 |
| 5 | 360 | 31.4159 |
| 10 | 90 | 15.708 |
| 6 | 120 | 12.5664 |
| 12 | 270 | 56.5487 |
| 5 | 0 | 0 |
여덟 개의 호와 세 개의 열입니다. 첫째와 둘째 행은 원의 6분의 1과 4분의 1을 보여 주고, 셋째 행의 180도는 반원이라 원둘레의 절반인 15.708입니다. 넷째 행은 이 페이지를 사이트의 나머지와 견주는 행입니다. 360도에서는 호가 닫혀 완전한 원이 되므로 원둘레와 같아야 하고, 31.4159는 반지름 5에 대해 원 페이지와 원둘레 페이지가 인쇄하는 값입니다. 다섯째 행은 잠시 멈춰 볼 만합니다. 반지름 10의 90도가 반지름 5의 180도와 같은 15.708을 줍니다. 하나를 두 배로 하고 다른 하나를 반으로 하면 곱이 그대로이기 때문입니다. 여섯째 행은 답이 π의 정확한 배수인 유일한 행입니다. 반지름 6의 120도는 4π이고 12.5664입니다. 일곱째는 270도로 원의 4분의 3이고 56.5487이며, 여덟째는 0도이고 호가 한 점으로 줄어 실제 0입니다. 여기 있는 값은 모두 페이지가 만들어질 때 두 입력에서 다시 계산되며, 부채꼴 페이지가 같은 두 수에서 같은 양을 계산하므로 두 표의 호의 길이 열은 줄마다 같게 읽혀야 합니다.
공식
L = (θ ÷ 360) × 2πr
- 반지름
- 원의 중심에서 호까지의 거리이며 단위는 센티미터입니다
- θ (세타)
- 중심각이며 단위는 도입니다. 호의 양 끝으로 그은 두 반지름 사이의 각입니다. 그림에서 호 자체가 꺾여 보이는 각도 아니고, 바깥에서 두 끝을 바라본 각도 아닙니다
- 360
- 도를 단위로 한 원 전체이고, 이 식을 이렇게 적은 이유입니다. 각을 360으로 나누면 호가 차지하는 원의 비율이 됩니다
- 2πr
- 원둘레, 곧 원 전체의 길이이며 그 일부를 떼어 내는 대상입니다. π는 모든 원이 공유하는 상수이고 r은 다시 반지름입니다
- L
- 호의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 각이 360도에서 차지하는 비율만큼 원둘레에서 차지합니다
- L = rθ
- 같은 식의 짧은 형태이고 교과서와 편람이 인쇄하는 쪽입니다. 이 형태에서 θ는 도가 아니라 라디안이며, 1.0472 대신 60을 넣는 것이 이 페이지가 경고하는 바로 그 실수입니다
- 소수점 네 자리
- 값을 적는 폭입니다. π가 그렇듯 답도 보통 정확히 적을 수 없습니다. 반지름 5인 원의 4분의 1은 7.8540에서 멈춥니다
원의 일부이면서 그 길이가 문제가 되는 모든 경우입니다. 가장 흔한 것은 실측입니다. 굽은 벽, 굽은 조리대, 돌출창, 오솔길의 굽은 구간, 곧게가 아니라 곡선을 따라가는 울타리 길이는 곡선을 따라 잰 길이로 주문하게 되고, 양 끝 사이의 직선거리보다 깁니다. 띠 모양으로 나와 휘어지는 재료도 있습니다. 마감재, 몰딩, 기상재, 배선관, 난간의 곡선 구간, 반지름에 맞춰 말아 만든 금속판 같은 것들입니다. 자르기 전에 길이를 아는 것이 요점이고, 짧게 자른 호는 폐기입니다. 차량과 기계도 있습니다. 와이퍼가 쓸어 가는 거리, 로봇 팔의 궤적, 굽은 가이드 위를 지나는 벨트, 스프로킷에 감긴 체인의 길이가 그렇습니다. 각각에서 실제로 이동한 거리가 호의 길이이고 모터의 용량이 여기에 맞춰집니다. 교실에서도 씁니다. 컴퍼스로 그린 원에서 비례는 눈에 잘 보입니다. 90도짜리 호가 원둘레의 4분의 1이고 식과 견줘 확인할 수 있으며, 여기서 부채꼴과 활꼴로, 나아가 라디안으로 넘어갑니다. 라디안은 같은 비례를 반대쪽에서 적은 것에 지나지 않습니다.
계산 예시
반지름 5, 중심각 90도
- 각이 원에서 차지하는 비율: 90 ÷ 360 = 1/4
- 원둘레 전체: 2 × π × 5 = 31.4159
- 그 4분의 1: 31.4159 ÷ 4 = 7.854
원의 4분의 1이고 페이지가 처음 열릴 때의 값입니다. 함께 기억해 둘 두 수는 이 7.854와 같은 반지름이 360도에서 주는 31.4159이고, 하나가 다른 하나의 정확히 네 배라서 각이 정말 비율로 쓰이고 있는지 금방 확인됩니다.
반지름 5, 중심각 60도
- 각이 원에서 차지하는 비율: 60 ÷ 360 = 1/6
- 원둘레 전체: 2 × π × 5 = 31.4159
- 그 6분의 1: 31.4159 ÷ 6 = 5.236
원의 6분의 1이고, 정삼각형이 중심에 만드는 각이라 여섯으로 나누는 일마다 60도가 나옵니다. 부채꼴 페이지도 인쇄하는 행이라 두 페이지를 나란히 놓고 볼 수 있습니다. 같은 반지름과 같은 각에 대해 두 페이지가 같은 값을 보여 줍니다.
반지름 5, 한 바퀴
- 각이 원에서 차지하는 비율: 360 ÷ 360 = 1
- 원둘레 전체: 2 × π × 5 = 31.4159
- 그 전부: 31.4159
경계 경우이고 페이지 전체를 검산하는 자리입니다. 360도에서는 호가 한 바퀴를 다 돌아 닫히므로 원둘레가 되고, 반지름 5인 원의 원둘레는 31.4159입니다. 이 행이 다른 값을 인쇄한다면 식이 틀린 것이므로, 표에 올려 둘 값이 있습니다.
반지름 10, 중심각 90도
- 각이 원에서 차지하는 비율: 90 ÷ 360 = 1/4
- 원둘레 전체: 2 × π × 10 = 62.8319
- 그 4분의 1: 62.8319 ÷ 4 = 15.708
첫 예와 같은 4분원이고 반지름 5의 180도 호와 같은 길이입니다. 반지름을 두 배로 하고 각을 반으로 하면 호는 그대로인데, 호의 길이가 둘 중 하나가 아니라 둘을 함께 보고 정해지기 때문입니다. 식이 왜 더하기가 아니라 곱하기인지 보여 주는 가장 싼 시연입니다.
반지름 5, 중심각 0도
- 각이 원에서 차지하는 비율: 0 ÷ 360 = 0
- 원둘레 전체: 2 × π × 5 = 31.4159
- 그 어느 것도 아님: 0
각이 0이면 두 반지름이 서로 붙어 버려 호가 원 위의 한 점으로 줄어들었으므로 길이가 0입니다. 이는 실제 답이고 페이지가 그렇게 보고합니다. 칸을 비워 둔 것과는 다른데, 빈 칸은 계산할 거리가 없어 결과가 아예 나오지 않습니다.
한계
이 페이지는 호의 길이만 돌려주고 그 밖에는 아무것도 주지 않습니다. 부채꼴의 넓이도, 양 끝을 잇는 곧은 현의 길이도, 각도 반지름도 주지 않습니다. 앞의 둘은 부채꼴 페이지가 다루고, 호의 길이에서 각도로 거꾸로 가는 것은 다른 페이지의 일입니다. 각은 도이고 360도까지만 받습니다. 한 바퀴보다 큰 중심각은 감아 돌리지 않고 거부합니다. 중심각은 정의상 한 바퀴를 넘지 않기 때문입니다. 두 입력 모두 0을 받고 호의 길이 0을 돌려주며, 이는 한 점에 대해 맞는 답이고 빈 칸과는 다릅니다. 두 입력은 같은 단위로 읽히므로 인치로 넣은 반지름은 인치로 된 호의 길이를 줍니다. 환산되는 것은 없습니다. 답은 원호를 따라 잰 길이이고 다른 곡선에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 타원 아치, 나선, 현수선, 진짜 원이 아닌 굽이는 맞지 않으며, 그중에서도 사람들이 원의 간단한 일부일 거라고 가장 자주 오해하는 것이 타원입니다.
자주 묻는 질문
- 각은 도인가요, 라디안인가요?
- 도입니다. 이 페이지가 계산하는 식은 (θ ÷ 360) × 2πr이고, 무엇보다 먼저 도를 나눠 없애도록 적혀 있습니다. 다른 데서 보았을 짧은 형태 L = rθ는 라디안을 받고, 거기에 60을 넣으면 답이 약 57배 커집니다. 그런데 그렇게 커진 답은 틀려 보이지 않고 그저 길어 보일 뿐이라 더 위험합니다.
- 그림에서 어느 각이 중심각인가요?
- 원의 중심에 있고, 호의 양 끝으로 그은 두 반지름 사이의 각입니다. 호 위 어딘가에서 두 끝을 바라본 각도 아니고, 그림에서 곡선이 꺾여 보이는 각도 아닙니다. 그림에 각이 여럿 표시되어 있다면 꼭짓점이 중심인 것이 중심각입니다.
- 부채꼴 계산기와 무엇이 다른가요?
- 부채꼴 페이지는 같은 두 입력에 대해 부채꼴의 넓이, 호의 길이, 양 끝을 잇는 현의 길이까지 세 가지를 줍니다. 부채꼴을 다루는 사람은 보통 그중 하나 이상이 필요하기 때문입니다. 이 페이지는 호의 길이만 줍니다. 그 한 값에 대해서는 둘이 정확히 일치하므로 길이만 필요하다면 이쪽이 더 짧은 길입니다.
- 각이 360도를 넘어도 되나요?
- 안 됩니다. 감아 돌리지 않고 거부합니다. 중심각은 정의상 원의 중심에 있는 각이고 한 바퀴를 넘을 수 없습니다. 400도라면 원둘레 전체보다 긴 호가 되는데 그것은 호가 아닙니다. 이 한도는 의도한 것이고 부채꼴 페이지와 맞춰 두어, 같은 두 수가 양쪽에서 같은 방식으로 받아들여지거나 거부됩니다.
- 호의 길이가 반지름에 따라 달라지나요?
- 그렇습니다. 그리고 그 관계는 더하기가 아니라 곱하기입니다. 반지름을 두 배로 하면 호도 두 배가 되고 각을 두 배로 해도 두 배가 되므로, 반지름 5의 180도 호와 반지름 10의 90도 호는 길이가 같습니다. 식이 둘을 곱하는 까닭이 여기 있습니다.
- 곡선이 원이 아니면 어떻게 되나요?
- 그러면 이 페이지가 맞는 답을 주지 못하고, 경고도 하지 않습니다. 여기서 다루는 호는 모두 진짜 원의 일부입니다. 타원 아치, 나선 계단, 현수선, 던진 물체의 궤적은 각각 다른 수학이 필요하고, 그중에서도 타원은 사람들이 원의 단순한 일부라고 가장 자주 오해하는 경우입니다.
참고 문헌
- Arc — 원호의 정의와, 그 길이·반지름·중심각 사이의 비례 — Wolfram MathWorld (United States)
- Circular Arc — 같은 주제를 더 자세히 다루며, 짧은 형태 L = rθ와 그 안의 각이 라디안이라는 단서를 포함합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — 호가 그 일부인 원둘레, 그리고 그 일부를 떼어 내는 2πr — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원주와 호의 길이는 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部