부채꼴 넓이 계산기

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

반지름 r

중심에서 굽은 가장자리까지의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 조각의 곧은 변 두 개의 길이이고, 잘려 나온 원이 얼마나 큰지를 말해 주는 수입니다

중심각 θ

두 곧은 변이 중심에서 이루는 각이며 단위는 도입니다. 반지름과 함께 조각을 완전히 정하고, 전체 원 가운데 얼마를 가져갔는지를 말해 주는 수이기도 합니다. 90도는 4분의 1이고 60도는 6분의 1입니다

넓이 A

조각이 덮는 면적이며 단위는 제곱센티미터입니다. 원의 넓이에 그 비율을 곱한 값이고, 세 값 가운데 유일하게 반지름의 제곱을 따라갑니다. 반지름이 두 배가 되면 넓이는 네 배가 됩니다

호의 길이 L

굽은 가장자리를 따라간 거리이며 단위는 센티미터입니다. 같은 비율을 원의 넓이가 아니라 원둘레에 적용한 값이라, 반지름의 제곱이 아니라 반지름을 따라갑니다. 중심각이 1라디안일 때 호의 길이는 반지름과 정확히 같아집니다

현의 길이 c

호의 양 끝을 잇는 직선이며 단위는 센티미터입니다. 조각의 평평한 변이고, 세 출력 가운데 비율만으로는 되지 않고 삼각함수가 필요한 유일한 값입니다. 반지름의 두 배에 반각의 사인을 곱한 값입니다

sin(θ ÷ 2)

반각의 사인이며, 여기서는 전체 각이 아니라 절반을 쓴다는 것이 핵심입니다. 현과 반지름 두 개가 이등변삼각형을 이루는데, 그 한가운데로 수선을 내리면 각과 현이 함께 반으로 나뉩니다

θ ÷ 360

조각이 전체 원에서 차지하는 비율입니다. 넓이와 호의 길이가 공유하는 인자이고, 두 값이 원 자신의 값을 그대로 줄인 복사본인 이유가 여기 있습니다

소수점 네 자리

모든 읽음을 적는 폭입니다. 넓이와 호의 길이는 π를 품고 있어 거의 끝나지 않고, 현의 길이는 사인이 정확한 각도에서만 정확합니다. 60도와 180도가 깔끔한 수로 나오고 대부분의 다른 각도는 그렇지 않은 이유입니다

세 출력은 같은 조각에 대한 서로 다른 질문에 답하므로, 셋 가운데 무엇을 볼지 고르는 일이 이 페이지를 쓰는 일의 대부분입니다. 넓이는 면적으로 사고파는 모든 것에 씁니다. 쟁반째 파는 피자 한 조각, 모퉁이에서 만나는 두 울타리 사이의 땅, 굽은 창틀에 맞춰 자른 유리 한 장, 셔터를 어느 정도로 조였을 때 카메라 시야 가운데 들어오는 범위 같은 것들입니다. 호의 길이는 곡선을 따라가는 모든 것에 씁니다. 굽은 조리대를 두르는 마감재의 길이, 볼록하게 나온 경계를 따라가는 울타리, 도르래 일부에 감긴 벨트가 지나간 거리, 바퀴가 정해진 각도만큼 돌 때 테두리의 한 점이 움직인 거리 같은 것들입니다. 현의 길이는 직선 하나가 필요한 자리에 씁니다. 선풍기 날개 끝의 폭, 접시에 닿는 조각의 평평한 뒤쪽, 아치가 벌어진 폭, 같은 중심에서 같은 각도만큼 돌아간 원 위의 두 점이 얼마나 멀어졌는지 같은 것들입니다. 세 값을 모두 꿰뚫는 네 번째 쓰임도 있습니다. 부채꼴은 둥근 것들이 만들어지는 단위이기 때문입니다. 원 그래프는 부채꼴 덩어리일 뿐이고, 정육각형은 이것 여섯 개이며, 톱니 하나는 뾰족한 끝을 잘라 낸 부채꼴입니다.

1. 반지름 5센티미터인 원의 60도 조각

   1. 원 전체에 대한 비율: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. 넓이: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13.0899…, 반올림하면 13.09
   3. 호의 길이: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5.2359…, 반올림하면 5.236
   4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 값이고, 비율이 하는 일이 가장 잘 보이는 줄입니다. 60도 조각은 원의 정확히 6분의 1이라 넓이는 25π의 6분의 1, 호는 10π의 6분의 1이 됩니다. 눈여겨볼 것은 현의 길이입니다. 30도의 사인이 정확히 2분의 1이라 2와 그 2분의 1이 지워지면서 반지름과 똑같은 5가 나옵니다. 이런 조각 여섯 개를 꼭짓점끼리 맞대어 놓으면 정육각형이 되는데, 그것이 바로 옆에 있는 정육각형 페이지의 도형입니다.

2. 반지름 5센티미터인 원의 4분의 1

   1. 원 전체에 대한 비율: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. 넓이: 25π ÷ 4 = 19.6349…, 반올림하면 19.635
   3. 호의 길이: 10π ÷ 4 = 7.8539…, 반올림하면 7.854
   4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(45°) = 10 × 0.7071068 = 7.0710678…, 반올림하면 7.0711

   4분의 1 조각입니다. 90도 조각의 현은 두 변이 모두 반지름인 직각삼각형의 빗변이므로 r√2, 곧 5√2이고, 정사각형 페이지가 대각선으로 인쇄하는 7.0711과 같은 값입니다. 세 페이지가 같은 수를 공유하는데, 셋 다 같은 삼각형을 서로 다른 쪽에서 본 것입니다.

3. 반원

   1. 원 전체에 대한 비율: 180 ÷ 360 = 1/2
   2. 넓이: 25π ÷ 2 = 39.2699…, 반올림하면 39.2699
   3. 호의 길이: 10π ÷ 2 = 15.7079…, 반올림하면 15.708
   4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(90°) = 10 × 1 = 10

   현이 현이기를 그치고 지름이 되는 각도입니다. 호의 양 끝이 서로 반대편에 놓였으니 그 사이를 잇는 직선이 중심을 지나고 길이가 2r이 됩니다. 90도의 사인이 정확히 1이라 답이 깔끔하게 나옵니다. 아래의 원 전체 줄과 견주면 이 줄의 모든 값이 그 절반인데, 현만은 여기서 가장 큽니다. 180도를 넘어서면 넓이는 계속 커지는데도 현은 다시 줄어들기 시작합니다.

4. 반지름 6센티미터인 원의 3분의 1

   1. 원 전체에 대한 비율: 120 ÷ 360 = 1/3
   2. 넓이: 36π ÷ 3 = 12π = 37.6991…, 반올림하면 37.6991
   3. 호의 길이: 12π ÷ 3 = 4π = 12.5664…, 반올림하면 12.5664
   4. 현의 길이: 2 × 6 × sin(60°) = 12 × 0.8660254 = 10.3923048…, 반올림하면 10.3923

   반지름 6인 원의 3분의 1이고, 이 페이지를 양옆 페이지와 이어 주는 줄입니다. 현의 길이는 6√3인데, 이는 한 변이 6인 정육각형의 짧은 대각선과 정확히 같은 값입니다. 우연이 아니라, 이런 조각 세 개가 정육각형의 절반을 만들고 여섯 개가 전체를 만들기 때문입니다. 넓이가 12π이고 호가 4π라는 점도 눈여겨볼 만합니다. 비율이 깔끔하게 떨어지면 답은 π를 그대로 품은 채 나머지가 지워집니다.

5. 원 전체

   1. 원 전체에 대한 비율: 360 ÷ 360 = 1
   2. 넓이: 1 × π × 5² = 25π = 78.5398…, 반올림하면 78.5398
   3. 호의 길이: 1 × 2π × 5 = 10π = 31.4159…, 반올림하면 31.4159
   4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(180°) = 10 × 0 = 0

   360도 조각은 원 전체이고, 넓이와 호의 길이는 원 계산기가 반지름 5에 대해 인쇄하는 값과 정확히 같습니다. 78.5398과 31.4159입니다. 그래야 합니다. 원을 전부 차지한 조각은 그 원이니까요. 흥미로운 쪽은 현입니다. 0인데, 이는 실패가 아니라 정답입니다. 호의 양 끝이 한 바퀴를 돌아 서로 만나 버렸으니 그 사이의 직선에는 길이가 없습니다. 넓이가 가장 클 때 현이 0일 수 있고, 두 값은 서로 아무 관계가 없습니다.

이 페이지는 부채꼴만 다룹니다. 평평한 원 위에서 반지름 두 개와 그 사이의 호로 둘러싸인 조각이며, 그 조각에서 삼각형을 잘라 낸 나머지인 활꼴은 옆 페이지의 도형입니다. 읽음값은 드롭다운이 무엇으로 맞춰져 있든 센티미터와 제곱센티미터로 나오므로, 인치로 넣은 반지름은 센티미터 답으로 돌아오고 그것은 직접 환산해야 합니다. 중심각은 도를 기준으로 하고 드롭다운에서 라디안이나 그레이드를 고를 수 있지만, 계산은 언제나 도로 환산한 뒤에 이루어집니다. 360도를 넘는 각은 감아 돌리지 않고 거부합니다. 한 바퀴를 넘어서면 어느 조각을 뜻하는지 읽는 방법이 하나로 정해지지 않기 때문에, 페이지는 짐작하기보다 그렇다고 말하는 편을 택합니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다. 넓이와 호의 길이는 π를 품고 있어 거의 끝나지 않고, 현의 길이는 사인이 정확한 각도에서만 정확합니다. 현은 조각을 가로지르는 직선을 재므로, 180도를 넘는 각에서는 반원보다 큰 조각을 짧은 쪽으로 가로지른 길이가 됩니다. 그것이 맞는 답이기는 하지만 파이 차트를 그리는 사람이 마음에 둔 것인 경우는 드뭅니다. 타원이나 다른 곡선에서 잘라 낸 조각, 끝이 둥근 조각, 케이크나 치즈 한 조각처럼 두께가 있는 물체는 여기서 다루지 않습니다.

원 계산기는 입력이 하나인데 왜 이 페이지는 두 개인가요?

조각이 숫자 하나로 정해지지 않기 때문입니다. 원은 반지름만 알면 전부 알 수 있지만, 부채꼴은 원에서 한 입 베어 낸 모양이라 그 입이 얼마나 큰지를 따로 말해야 합니다. 큰 원에서 30도만큼 잘라 낸 조각과 작은 원에서 180도만큼 잘라 낸 조각은 아예 다른 도형입니다. 반지름은 원을 정하고 중심각은 그 가운데 얼마를 가져갔는지를 정하므로, 둘 다 필요하고 어느 쪽도 다른 쪽에서 나오지 않습니다.

60도에서 현의 길이가 반지름과 똑같이 나오는 이유는 무엇인가요?

현의 길이가 2r × sin(θ ÷ 2)이고, 60도의 반각인 30도의 사인이 정확히 2분의 1이기 때문입니다. 2와 그 2분의 1이 지워지면서 반지름만 남습니다. 현의 길이가 정수로 떨어지는 몇 안 되는 각도이고, 정육각형이 성립하는 이유이기도 합니다. 60도 조각 여섯 개를 꼭짓점끼리 맞대어 놓으면 여섯 변, 곧 반지름 여섯 개와 현 여섯 개의 길이가 모두 같아집니다.

부채꼴과 활꼴은 어떻게 다른가요?

부채꼴은 반지름 두 개와 호로 둘러싸인 조각, 곧 피자 한 조각입니다. 활꼴은 현과 그 호 사이의 영역으로, 그 조각에서 반지름 두 개와 현이 이루는 삼각형을 잘라 낸 나머지입니다. 옆의 활꼴 페이지가 그 다른 영역을 계산하며, 그 넓이는 이 페이지의 넓이에서 삼각형을 뺀 값입니다. 현의 길이와 호의 길이는 두 페이지가 같은 값을 인쇄합니다. 그 둘은 잘라 내는 삼각형에 속하지 않기 때문입니다.

세 값 가운데 무엇을 봐야 하나요?

조각이 면이라면 넓이입니다. 피자 한 조각, 땅 한 조각, 유리 한 장이 그렇습니다. 무언가가 곡선을 따라간다면 호의 길이입니다. 굽은 조리대를 두르는 마감재, 볼록한 경계의 울타리, 도르래 일부를 지나는 벨트가 그렇습니다. 조각을 가로지르는 직선이 필요하다면 현의 길이입니다. 선풍기 날개 끝의 폭, 아치가 벌어진 폭, 원 위의 두 점이 얼마나 멀어졌는지가 그렇습니다.

원 전체일 때 현의 길이가 0으로 나오는데 오류인가요?

아닙니다. 맞는 답입니다. 360도에서는 호의 양 끝이 한 바퀴를 돌아 서로 만나 버렸으므로 그 사이를 잇는 직선에 길이가 없습니다. 넓이가 가장 큰 바로 그 순간에 현이 가장 작다는 점을 함께 보십시오. 두 값은 서로 아무 관계가 없습니다. 이런 성질은 현에만 있습니다. 호의 길이는 그냥 원둘레가 됩니다.

중심각을 라디안으로 넣어도 되나요?

됩니다. 중심각 옆의 드롭다운에서 도, 라디안, 그레이드를 고를 수 있고, 넣은 값을 도로 환산한 뒤에 계산합니다. 아래 참고표는 전부 도로 적혀 있으므로, 약 1.047라디안은 표의 60도 줄과 같은 조각입니다. 단위를 바꾸어도 출력은 달라지지 않습니다. 넓이는 제곱센티미터로, 호와 현은 센티미터로 나옵니다.

• Circular sector — 두 반지름과 호로 둘러싸인 영역이며, 이 페이지가 계산하는 넓이와 호의 길이 및 그 둘의 전체 원 대비 비율 꼴 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 부채꼴을 잘라 내는 바탕 도형이며, 네 값 가운데 하나만 알면 나머지 셋이 나오는 옆 페이지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular segment — 현과 그 호 사이의 영역, 곧 이 조각에서 삼각형을 덜어 낸 모양이며 옆 페이지가 계산하는 도형 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원과 부채꼴, 호의 길이는 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 그 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部