원 계산기

d = 2r C = 2πr = πd A = πr² 역방향: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)

반지름 r

중심에서 가장자리까지의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 0도 허용되고 크기가 없는 원을 뜻하며, 이때 네 출력이 모두 0이 됩니다

지름 d

중심을 지나 반대편까지의 거리로 반지름의 두 배입니다. 반지름 대신 이 칸을 채워도 답은 달라지지 않습니다. 페이지가 가장 먼저 이 값을 반으로 나누기 때문입니다

원둘레 C

한 바퀴 도는 거리이며 지름에 π를 곱한 값입니다. 네 입력 가운데 유일하게 2π로 나누는 단계를 거쳐 반지름으로 돌아오므로, 인쇄된 네 자리로는 나머지를 손으로 되살리기 어려운 지점이 바로 여기입니다

넓이 A

원이 감싸는 평면의 크기이며 반지름을 제곱한 뒤 π를 곱한 값이고 단위는 제곱센티미터입니다. 반대 방향은 π로 나눈 뒤 제곱근을 취하는 일이라, 넓이 칸만 다른 세 길이 칸보다 훨씬 큰 값까지 받습니다

원주율 π

원의 원둘레를 지름으로 나눈 비율이며 약 3.14159입니다. 페이지는 3.14로 줄이지 않고 배정밀도 값을 그대로 쓰므로, 3.14로 손계산하면 마지막 자리가 어긋납니다

소수점 네 자리

모든 출력을 적는 폭입니다. 반지름과 지름은 정확한 값인 경우가 많아 뒤에 0이 붙고, 원둘레와 넓이는 거의 항상 무리수라서 네 자리는 답이 끝나는 자리가 아니라 잘리는 자리입니다

이 페이지가 쓸모 있는 까닭은 원이 반지름의 모습으로 오는 일이 드물기 때문입니다. 둥근 식탁은 지름으로 팔리고, 둥근 화단을 두르는 울타리는 미터 단위 길이로 팔리며 그것이 원둘레이고, 페인트 한 통이 몇 제곱미터를 덮는지는 칠할 자리가 원일 때 이 넓이로 계산합니다. 자전거 바퀴는 타이어 크기로 표기됩니다. 각각 다른 하나의 값을 들고 오므로 그 값을 해당하는 칸에 그대로 넣으면 됩니다. 사람이 손으로 틀리는 쪽은 역방향입니다. 넓이가 주어졌을 때 반지름은 넓이를 π로 나눈 값이 아니라 그것의 제곱근이고, 제곱근을 빠뜨리면 반지름이 실제보다 훨씬 크게 나옵니다. 원둘레가 주어졌을 때 반지름은 원둘레를 2π로 나눈 값이며, 3.14로 나누면 인쇄된 마지막 자리가 움직입니다. 페이지는 두 방향을 모두 정확히 하므로 손계산을 확인하는 데에도 쓸 수 있습니다. 이 페이지 옆의 도형들에서 가져올 습관이 하나 있습니다. 지름이 원둘레보다 크게 나왔다면 값을 잘못된 칸에 넣은 것이니, 어느 값을 어디에 넣었는지부터 되짚어 보십시오.

1. 반지름이 5인 원

   1. 지름: 5 × 2 = 10
   2. 원둘레: 2 × π × 5 = 31.415926…, 반올림하면 31.4159
   3. 넓이: π × 5 × 5 = 78.539816…, 반올림하면 78.5398
   4. 반지름은 입력한 값 그대로 다시 나옵니다

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 값이고 확인하기 가장 쉬운 예입니다. 반지름 5인 원은 지름이 10이고 넓이가 100의 4분의 3을 조금 넘는데, π가 3을 조금 넘고 5의 제곱이 25이니 맞는 크기입니다. 반지름은 5가 아니라 5.0000으로 인쇄되는데, 이는 표시 폭이지 정밀도를 주장하는 것이 아닙니다. 값은 정확히 5입니다.

2. 지름이 12인 원

   1. 반지름: 12 ÷ 2 = 6
   2. 원둘레: π × 12 = 37.699111…, 반올림하면 37.6991
   3. 넓이: π × 6 × 6 = 113.097335…, 반올림하면 113.0973
   4. 지름은 입력한 값 그대로 남습니다

   반대쪽 끝에서 같은 도형에 도달한 경우이고, 지름과 반지름 출력은 정확하지만 나머지 둘은 그렇지 않다는 것을 보여 줍니다. 짝수를 2로 나누는 데는 오차가 전혀 없지만 π를 곱하는 데는 항상 오차가 따릅니다. 넓이가 113을 조금 넘는 것도 확인해 볼 만합니다. 6의 제곱이 36이고 36에 π를 곱하면 113보다 조금 큽니다.

3. 원둘레가 20인 원

   1. 반지름: 20 ÷ (2 × π) = 3.1830988…, 반올림하면 3.1831
   2. 지름: 그 반지름의 두 배인 6.3661977…, 반올림하면 6.3662
   3. 넓이: π × (반올림하지 않은 반지름)² = 100 ÷ π = 31.830988…, 반올림하면 31.8310
   4. 원둘레는 입력한 값 그대로 남습니다

   인쇄된 네 숫자가 서로를 항상 되살려 주지는 못한다는 것을 보여 주는 예입니다. 넓이는 정확히 100을 π로 나눈 값이고, 화면에 있는 3.1831이 아니라 반올림하지 않은 반지름에서 계산됩니다. 인쇄된 반지름을 제곱해 π를 곱하면 31.8309가 나오지만 인쇄된 값이 맞습니다. 거꾸로 읽으면 원둘레가 20인 원의 넓이는 100의 3분의 1쯤이라, 31.83이 맞는 범위에 있다는 것을 암산으로 확인할 수 있습니다.

4. 넓이가 100제곱센티미터인 원

   1. 반지름: √(100 ÷ π) = 5.6418958…, 반올림하면 5.6419
   2. 지름: 그 두 배인 11.2837916…, 반올림하면 11.2838
   3. 원둘레: 2 × π × (반올림하지 않은 반지름) = 35.449077…, 반올림하면 35.4491
   4. 넓이는 입력한 값 그대로 남습니다

   종이에서 사람이 가장 자주 틀리는 방향입니다. 반지름은 넓이를 π로 나눈 값이 아니라 그 값의 제곱근이고, 나누기만 하면 31.831이 나옵니다. 100제곱센티미터는 지름이 11센티미터쯤인 도형이라 크기를 가늠하기도 좋습니다. 반지름이 31.8인 원이라면 넓이가 100이 아니라 3,000이 넘습니다. 위 예에서 나온 31.831과 여기서 잘못된 계산이 내놓는 31.831이 같은 것은 두 입력이 우연히 그렇게 맞물린 것일 뿐입니다.

5. 반지름이 0인 원

   1. 지름: 0 × 2 = 0
   2. 원둘레: 2 × π × 0 = 0
   3. 넓이: π × 0 × 0 = 0
   4. 네 출력이 모두 0이며, 크기가 없는 원을 읽는 올바른 방식입니다

   여기서 0은 빈 칸이 아니라 정당한 입력입니다. 반지름이 0인 원은 한 점이고 네 값이 모두 0이므로 0으로 채워진 한 줄은 실제 답입니다. 페이지는 이것을 아무것도 채우지 않은 상태와 구분합니다. 후자는 한 칸을 채우라는 안내로 거부되는데, 크기가 없어져 버린 도형과 아직 채우지 않은 서식의 차이입니다.

출력은 입력 드롭다운이 무엇으로 맞춰져 있든 항상 센티미터와 제곱센티미터입니다. 드롭다운에서 인치를 고르면 들어오는 숫자를 읽는 방식만 바뀌고 답을 적는 방식은 바뀌지 않으므로, 10인치로 넣은 원은 반지름 25.4센티미터로 돌아옵니다. 이는 정한 결정이고 참고표도 같은 규칙을 따르므로 페이지가 자기 안에서 어긋나지는 않지만, 적어 넣은 단위로 답을 보고 싶다면 직접 환산해야 합니다. 인쇄된 네 값은 각각 입력한 값에서 나온 것이지 서로에게서 나온 것이 아니어서, 마지막 자리까지 서로를 되살리지는 못합니다. 인쇄된 반지름에 π를 곱한 값과 인쇄된 원둘레가 소수점 넷째 자리에서 다를 수 있고, 믿을 것은 인쇄된 원둘레입니다. 원둘레와 넓이는 거의 항상 무리수라서 소수점 네 자리는 답이 아니라 답을 자른 폭이고, 인쇄된 값을 다시 다음 계산에 넣는 이중 반올림이 그 차이를 만듭니다. 반지름과 지름은 입력이 정확했다면 정확하지만, 넓이나 원둘레에서 출발한 경우에는 이 둘도 반올림된 값입니다. 채울 수 있는 칸은 많아야 하나입니다. 둘 이상은 거부되는데, 네 값이 서로 독립이 아니고 어긋나는 한 쌍은 어떤 원도 가리키지 않기 때문입니다. 어느 칸에도 음수는 받지 않으며, 주어진 넓이의 원에 대해 제곱근을 취하는 편이 나눗셈보다 빠르다는 것까지 알려 주지는 않습니다.

어느 칸을 채워야 하나요?

딱 하나, 아는 값 아무거나 채우면 됩니다. 네 칸 모두 선택 사항이고 어느 것이든 되며, 페이지가 그 값을 받아 반지름을 구한 뒤 나머지 셋을 거기서 이끌어 냅니다. 두 칸을 채우면 풀어 주지 않고 거부합니다. 네 값이 서로 독립이 아니라서 반지름 5와 지름 12는 같은 원을 가리킬 수 없고, 페이지는 조용히 하나를 고르기보다 그 사실을 말하는 편을 택합니다.

인치로 넣었는데 왜 답이 센티미터로 나오나요?

네 출력이 센티미터와 제곱센티미터로 고정되어 있어서입니다. 결과 패널과 아래 참고표가 항상 같은 단위를 쓰도록 정한 것입니다. 드롭다운은 들어오는 숫자를 어떻게 읽을지만 바꾸고 답을 적는 방식은 바꾸지 않으므로, 반지름 10인치를 넣으면 25.4센티미터로 돌아옵니다. 인치로 답을 보려면 길이 출력은 2.54로, 넓이 출력은 6.4516으로 나누면 됩니다.

화면에 보이는 반지름과 넓이가 왜 서로 안 맞나요?

인쇄된 반지름이 이미 반올림된 값이고 넓이는 그것으로 계산하지 않기 때문입니다. 페이지는 정밀도를 유지한 반지름으로 넓이를 구하고 표시할 때만 반올림하므로, 원둘레 20에서 넓이는 31.8310이고 인쇄된 반지름 3.1831을 제곱해 π를 곱하면 31.8309가 나옵니다. 인쇄된 넓이가 맞습니다. 화면의 숫자를 떼어 다시 계산에 넣을 때마다 같은 일이 반대 방향으로 일어납니다.

π를 3.14로 쓰나요?

아닙니다. 배정밀도 연산에서 쓸 수 있는 값을 그대로, 곧 유효숫자 열다섯 자리쯤의 π를 쓰고 표시되는 결과만 반올림합니다. 이 차이는 소수점 넷째 자리에서 드러납니다. 3.14로 손계산한 원둘레는 보통 인쇄된 답과 마지막 한두 자리가 다른데, 그 차이는 계산 실수가 아니라 상수를 줄여 쓴 데서 옵니다. 머릿속 확인용으로는 3.14면 충분합니다.

넓이에서 반지름을 어떻게 구하나요?

넓이를 π로 나누고 제곱근을 취하면 됩니다. 빠뜨리기 쉬운 단계가 그 제곱근입니다. 제곱근 없이 가면 넓이만 한 크기의 수가 나오는데, 100제곱센티미터에서는 5.6419가 아니라 31.831이 나옵니다. 결과를 제곱해 π를 곱해 보면 처음 넓이로 돌아와야 하고, 인쇄된 자리만큼의 반올림 차이는 감안하면 됩니다.

반지름이 0이어도 되나요?

됩니다. 네 출력이 모두 0으로 돌아오며, 크기가 없는 원을 정직하게 적은 값입니다. 0은 빈 칸이 아니라 실제 입력으로 다뤄지므로 결과 패널에 0이 한 줄 늘어선 것이 계산이 실패한 표시는 아닙니다. 네 칸이 모두 비어 있는 경우는 다릅니다. 값이 하나도 없으면 계산할 거리가 없으니 페이지가 한 칸을 채우라고 요청합니다.

• Circle — 고정된 거리에 있는 점들의 집합, 그리고 이 페이지가 양방향으로 푸는 반지름·지름·원둘레·넓이 사이의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circumference — 원을 한 바퀴 도는 거리, 곧 지름에 π를 곱한 값이며 이 페이지의 원둘레 칸이 되돌리는 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — 원의 원둘레를 지름으로 나눈 비율이며, 거의 모든 입력에서 원둘레와 넓이 출력을 무리수로 만드는 상수 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원의 둘레와 넓이, 원주율은 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部