원의 넓이 계산기

A = πr²

원주율 π

모든 원에 똑같이 적용되는 상수이며 약 3.14159입니다. 원의 원둘레를 지름으로 나눈 비율이라 길이를 구하는 식과 이 식에 함께 나옵니다

r

반지름이며 단위는 센티미터입니다. 지름의 절반이거나, 어느 칸을 채웠느냐에 따라 원둘레를 2π로 나눈 값입니다

r²

반지름에 2를 곱한 것이 아니라 반지름끼리 곱한 값입니다. 반지름을 두 배로 하면 넓이는 네 배가 되는데, 이것이 이 식에서 가장 쓸모 있는 사실이고 표에 두 행을 나란히 둔 이유이기도 합니다

넓이

원판이 감싸는 평평한 면의 크기이며 단위는 제곱센티미터입니다. 입력을 어떤 단위로 넣었든 마찬가지입니다

원둘레 ÷ 2π

가장자리를 따라 잰 값에서 반지름을 되찾는 방법입니다. 결과가 끝나는 수가 아니라서 제곱하기 전까지 반올림하지 않고 들고 갑니다

지름 ÷ 2

다른 쪽 입구이고 더 쉬운 쪽입니다. 지름을 직접 쟀다면 반지름은 정확히 그 절반입니다

소수점 네 자리

값을 적는 폭입니다. 원의 넓이는 거의 항상 끝나는 수가 아니라서 네 자리는 값이 정확하다는 주장이 아니라 표시 폭입니다

둥글면서 겉을 덮거나 칠하거나 잘라내거나 값을 매기는 것이라면 무엇이든 이 식을 씁니다. 도장과 도색이 가장 흔한 경우입니다. 둥근 식탁 상판, 탱크 뚜껑, 원형 간판, 도장을 뿌리는 금속 원판은 모두 단위 면적당 값으로 견적이 나오고 그 면적이 이 식입니다. 판재에서 잘라내는 경우도 있습니다. 강판에서 찍어 내는 원형 소재, 원형 유리판, 개스킷 원판, 둥근 식탁보 같은 것들이고, 이때 넓이는 하나가 판을 얼마나 먹는지를 알려 주는 수라서 값이 여기에 달립니다. 조경과 시공에서는 둥근 화단, 원형 파티오, 둥근 잔디밭, 기둥의 단면, 연못의 수면에 씁니다. 공학에서는 관이나 축, 케이블의 단면적이고, 유량과 허용 전류가 이 값을 기준으로 정해집니다. 지름이 두 배인 관은 단면적이 네 배가 되는데 이 네 배가 양방향으로 사람을 넘어뜨립니다. 물리와 일상 산술에서는 압력을 힘으로, 세기를 총량으로, 강수량을 물의 부피로 바꾸는 것이 이 넓이입니다. 교실에서도 씁니다. 모눈종이에 원을 그리고 안에 들어가는 칸을 세어 πr²와 견주는 활동인데, 가장자리 칸이 일부만 안에 들어가므로 세어 낸 수가 조금 작게 나오고, 그 차이가 무리수 상수가 식 안에서 실제로 무슨 일을 하는지 처음 정직하게 마주치는 자리입니다.

1. 반지름이 5인 원

   1. 반지름을 제곱: 5 × 5 = 25
   2. π를 곱함: 25 × 3.14159 = 78.5398

   페이지가 처음 열릴 때의 값이고, 이 페이지를 개요 페이지와 이어 주는 행입니다. 반지름 5인 원은 그쪽에서도 넓이가 78.5398입니다. 중간에 반올림한 곳이 없어 마지막 자리까지 맞습니다. 이미 반올림된 반지름에서 구한 넓이라면 이렇게 맞지 않습니다.

2. 지름이 12인 원

   1. 지름을 반으로 나눠 반지름을 구함: 12 ÷ 2 = 6
   2. 제곱: 6 × 6 = 36
   3. π를 곱함: 36 × 3.14159 = 113.0973

   사람들이 가장 흔히 들어오는 길입니다. 둥근 물건은 중심에서 가장자리까지 재는 것보다 지름을 재는 편이 훨씬 쉽기 때문입니다. 이 페이지는 반지름을 되돌려 인쇄하지 않으므로, 12가 6으로 읽혔는지 확인하려면 표의 반지름 열을 보십시오. 6은 없지만 반지름 3인 행의 지름이 6이고 반지름 10인 행의 지름이 20이라 관계를 확인하기에 충분합니다.

3. 원둘레가 20인 원

   1. 반지름 되찾기: 20 ÷ (2 × π) = 3.1830988…
   2. 제곱: 3.1830988 × 3.1830988 = 10.1318311…
   3. π를 곱함: 10.1318311 × 3.14159 = 31.8310

   이 페이지가 중간에서 절대 반올림하지 않는 이유를 설명하는 행입니다. 여기서 반지름은 10/π라서 종이에 다 적을 수 없으므로, 제곱하는 동안 반올림하지 않고 들고 가서 답만 반올림합니다. 반대로 해 보면 표에서 반지름을 3.1831로 읽어 제곱하고 π를 곱해 31.8309가 나옵니다. 한 자리 차이이고 어느 계산도 틀리지 않았습니다. 하나가 끝나기 전에 반올림했을 뿐입니다.

4. 반지름이 10인 원

   1. 반지름을 제곱: 10 × 10 = 100
   2. π를 곱함: 100 × 3.14159 = 314.1593

   반지름 5인 원의 정확히 네 배이고, 반지름을 두 배로 하면 넓이가 네 배가 된다는 것을 가장 깔끔하게 보는 자리입니다. 반지름이 두 배가 되었는데 답은 네 배가 되었습니다. 반지름을 제곱하기 때문입니다. 지름이 두 배인 관이 유량을 네 배로 나르는 것도 같은 관계입니다.

5. 반지름이 0인 원

   1. 반지름을 제곱: 0 × 0 = 0
   2. π를 곱함: 0 × 3.14159 = 0

   크기가 없는 원은 아무것도 감싸지 않고, 답 0은 빠진 값이 아니라 맞는 값입니다. 세 칸 어디에나 0은 정당한 값입니다. 0을 쟀다는 것과 아예 재지 않았다는 것의 차이이고, 페이지는 뒤쪽인 빈 칸을 계산할 거리가 없는 상태로 다룹니다.

이 페이지는 넓이만 돌려주고 원둘레와 지름, 반지름은 돌려주지 않습니다. 넓이가 있는데 다른 값을 알고 싶다면 다른 페이지의 일입니다. 출력은 각 입력이 어떤 단위로 맞춰져 있든 언제나 제곱센티미터입니다. 환산이 들어오는 쪽에서 일어나므로 인치로 넣은 반지름은 제곱센티미터 값으로 돌아오고, 제곱인치로 읽으려면 6.4516으로 나눠야 합니다. 넓이를 2.54의 제곱이 아니라 2.54로 나누는 것이 흔한 실수입니다. 답은 반올림하지 않은 반지름에서 구해지므로, 원둘레에서 출발해 이미 반올림된 반지름으로 손검산하면 마지막 자리가 달라집니다. 틀린 쪽은 페이지가 아닙니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 넓이가 정확하다는 주장이 아닙니다. 원의 넓이는 거의 항상 끝나지 않는 수이고 78.5398은 78.53981633…을 반올림한 값입니다. 반지름이 0인 원도 받아들이고 넓이 0을 돌려주며 이는 맞는 답입니다. 세 값 가운데 정확히 하나만 받습니다. 둘을 주면 거부합니다. 서로 맞지 않는 두 값은 원을 가리키지 않기 때문입니다. 여기서는 타원과 활꼴, 부채꼴, 구의 겉넓이를 다루지 않습니다. 각각 다른 도형이고 다른 식을 가지며, 특히 타원은 늘린 원이 아니라서 넓이를 쉽게 구할 수 있는 도형이 아닙니다.

세 칸 가운데 왜 하나만 채울 수 있나요?

셋이 같은 원을 설명해서입니다. 어느 둘을 골라도 서로 겹치고, 값이 어긋나는 둘은 모순입니다. 반지름 5와 지름 12는 한 원에 함께 참일 수 없습니다. 페이지가 하나를 조용히 고르지 않고 둘을 거부하는 이유는, 칸의 존재 이유가 실제로 잰 그 값 하나를 넣는 데 있기 때문입니다.

인치로 넣었는데 왜 답이 제곱센티미터인가요?

단위 환산이 들어오는 쪽에서 일어나기 때문입니다. 인치가 센티미터로 바뀐 뒤 넓이를 계산하므로 답은 제곱센티미터이지 제곱인치가 아닙니다. 제곱인치로 읽으려면 6.4516으로 나누십시오. 2.54의 제곱입니다. 넓이는 길이 계수의 제곱으로 바뀌므로 2.54로 나누는 것이 피해야 할 실수입니다.

손으로 확인하면 왜 조금 다른 값이 나오나요?

반올림하는 지점이 달라서입니다. 페이지는 반지름을 맨 끝까지 반올림하지 않고, 원둘레에서 출발했다면 그 반지름은 정확히 적을 수 없는 수입니다. 표에서 읽어 제곱해 곱하면 중간에서 반올림한 셈이 됩니다. 원둘레 20에서 그 차이는 0.0001이고, 자기 안에서 앞뒤가 맞는 쪽은 이 페이지입니다.

반지름을 두 배로 했더니 넓이가 네 배가 된 까닭은?

반지름이 두 배가 아니라 제곱되기 때문입니다. 반지름이 두 배라는 것은 정사각형을 이루는 두 방향이 각각 두 배가 된다는 뜻이라 넓이는 두 배의 두 배, 곧 네 배가 됩니다. 지름이 두 배인 관이 유량을 네 배로 나르는 것과 같은 관계이고, 양방향으로 사람을 넘어뜨립니다.

넣은 지름이 얼마로 읽혔는지 볼 수 있나요?

결과 패널은 넓이만 보여 주고 입력값을 되돌려 인쇄하지 않습니다. 표가 바로 그 일을 합니다. 모든 행이 반지름 옆에 지름과 넓이를 함께 놓으므로 가까운 행을 찾아 두 배 관계를 확인할 수 있습니다. 지름 12는 반지름 6이고, 표에서 반지름이 3인 행의 지름을 두 배로 한 값입니다.

여기서 넓이로 반지름을 구할 수 있나요?

이 페이지에서는 안 됩니다. 방향을 일부러 한쪽으로 정해 두었습니다. 길이를 넣으면 넓이가 나오고, 반대로 가려면 제곱근이 필요합니다. 넓이에서 출발하고 싶다면 네 값 가운데 아무거나 넣어 나머지를 얻는 그 페이지를 쓰시면 됩니다.

• Circle — 곡선 자체와 반지름·지름·원둘레, 그리고 그 둘레가 감싸는 영역의 넓이를 주는 πr² — Wolfram MathWorld (United States)
• Disk — 이 페이지가 넓이를 구하는 평평한 영역이며, 경계를 이루는 원과 구별되는 개념이라 답이 제곱 단위로 나오는 까닭이기도 합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Area — 넓이가 무엇이고 어떻게 정의되는지, 그리고 제곱 단위 사이의 환산이 왜 길이 환산의 제곱인지 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원의 넓이는 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部