구 계산기

V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr

반지름

중심에서 표면까지의 거리이고 센티미터입니다. 구가 실제로 세워져 있는 하나의 수이며, 이 페이지의 나머지 전부, 그러니까 다른 두 입력까지도 이 값을 다르게 표현하는 방법일 뿐입니다

지름

가운데를 똑바로 통과하는 거리이고 센티미터이며 반지름의 두 배입니다. 공을 손에 들고 자를 대어 잴 때 쓰는 측정값이고, 대부분의 공이 실제로 이렇게 설명됩니다

원둘레

가장 넓은 자리를 한 바퀴 도는 거리이고 센티미터이며 2πr입니다. 줄자로 바깥을 돌릴 수밖에 없을 때 쓰는 측정값입니다. 나무 둥치나 관, 너무 커서 가로지를 수 없는 공이 그렇습니다

부피

공이 차지하는 공간이고 세제곱센티미터입니다. 여기서 반지름의 세제곱을 따라가는 유일한 값이라, 공이 커질수록 나머지를 빠르게 앞질러 갑니다

겉넓이

공이 가진 피부의 양이고 제곱센티미터이며, 같은 반지름의 원 넓이의 네 배입니다. 공을 꼭 감싸는 원기둥의 옆면 넓이와 정확히 같습니다

4⁄3 πr³

부피 공식이고, 외워 둘 값어치는 3분의 4입니다. 구는 자기를 꼭 감싸는 원기둥의 3분의 2를 담습니다. 아르키메데스가 자기 묘비에 새겨 달라고 부탁한 그 결과입니다

4πr²

겉넓이이고, 부피의 3분의 4 옆에 놓인 깔끔한 4를 눈여겨볼 만합니다. 같은 반지름의 평평한 원 넷을 합한 넓이이며, 펼쳐서 확인할 수 있는 값이 아니라 미적분이 데려다 준 값입니다

소수점 네 자리

모든 눈금을 적는 폭입니다. 반지름과 지름만 정확할 수 있고, 원둘레와 겉넓이와 부피는 모두 π를 이고 있으며 부피는 세제곱까지 이고 있으므로, 그 끝자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다

3차원에서 둥근 것이라면 무엇이든 이 페이지의 대상이고, 원 페이지보다 나은 두 눈금이 실제 사물에서 중요한 값입니다. 부피는 용량과 배수량을 위한 것입니다. 축구공이 담는 공기의 양, 구형 탱크나 가스 저장고가 받는 양, 재료를 알 때 볼베어링의 무게, 부표가 밀어내는 물의 양이 그렇습니다. 겉넓이는 공을 덮는 모든 것을 위한 것입니다. 페인트, 축구공의 가죽 패널, 베어링의 도금, 물방울의 냉각 표면, 입자 표면에 실어 보내는 약물의 용량이 그렇습니다. 반대 방향으로 흐르는 쓰임도 있고, 사실 가장 흔합니다. 공과 줄자가 있는데 손이 닿지 않는 수가 필요할 때입니다. 적도에 줄자를 두르고 원둘레를 넣으면, 공을 잘라 열지 않고도 지름과 부피가 나옵니다. 나무나 관이나 행성의 크기를 알아내는 방법이 정확히 이것입니다.

1. 반지름 5

   1. 지름: 2 × 5 = 10
   2. 원둘레: 2 × π × 5 = 31.4159
   3. 겉넓이: 4 × π × 5² = 4 × 78.5398 = 314.1593
   4. 부피: 4⁄3 × π × 5³ = 4⁄3 × 392.6991 = 523.5988

   이 페이지가 처음 열릴 때 채워지는 공이고, 원 페이지와 이어 주는 줄입니다. 원둘레 31.4159는 원 페이지가 반지름 5에 대해 인쇄하는 바로 그 수입니다. 원둘레는 평평하게 그린 원이든 공 둘레를 돈 것이든 개의치 않기 때문입니다. 다섯 눈금 가운데 셋이 π를 이고 있고, 그 셋의 끝자리는 반올림해서 나온 값입니다.

2. 지름 12

   1. 반지름: 12 ÷ 2 = 6
   2. 원둘레: 2 × π × 6 = 37.6991
   3. 겉넓이: 4 × π × 6² = 4 × 113.0973 = 452.3893
   4. 부피: 4⁄3 × π × 6³ = 4⁄3 × 678.584 = 904.7787

   지름으로 들어오는 경우이고, 자를 대어 재는 쪽이 반지름을 반으로 나누는 것보다 쉬운 현실을 반영합니다. 첫 줄과 견주어 보십시오. 반지름이 5에서 6으로 1.2배가 되는 동안 부피는 523.5988에서 904.7787로 1.728배가 되었는데, 1.2의 세제곱이 정확히 1.728입니다.

3. 원둘레 20

   1. 반지름: 20 ÷ (2 × π) = 20 ÷ 6.2832 = 3.1831
   2. 지름: 2 × 3.1831 = 6.3662
   3. 겉넓이: 4 × π × 3.1831² = 4 × 31.831 = 127.324
   4. 부피: 4⁄3 × π × 3.1831³ = 4⁄3 × 101.3212 = 135.0949

   손으로 이 계산을 해 볼 생각이라면 읽어 볼 줄입니다. 원둘레 20으로 들어온 부피가 135.0949인데, 옆에 인쇄된 반올림된 반지름 3.1831을 세제곱하면 135.0950이 나옵니다. 마지막 자리가 다른데, 페이지가 맞습니다. 진짜 답은 화면에 보이는 반올림된 반지름이 아니라 입력한 20에 속하기 때문입니다.

4. 반지름 0.5

   1. 지름: 2 × 0.5 = 1
   2. 원둘레: 2 × π × 0.5 = 3.1416
   3. 겉넓이: 4 × π × 0.5² = 4 × 0.7854 = 3.1416
   4. 부피: 4⁄3 × π × 0.5³ = 4⁄3 × 0.3927 = 0.5236

   멈춰 볼 만한 우연이고, 오류로 보이기 쉬운 자리입니다. 반지름이 정확히 2분의 1일 때 겉넓이와 원둘레가 둘 다 3.1416입니다. 4πr²과 2πr이 r = 1/2에서 정확히 만나기 때문입니다. r이 그보다 크면 겉넓이가 앞서고, 작으면 원둘레가 앞섭니다. 두 값이 같은 단위가 아니라는 것도 함께 기억해 두십시오. 하나는 제곱센티미터, 다른 하나는 센티미터입니다.

5. 반지름 0

   1. 지름: 2 × 0 = 0
   2. 원둘레: 2 × π × 0 = 0
   3. 겉넓이: 4 × π × 0² = 0
   4. 부피: 4⁄3 × π × 0³ = 0

   모든 눈금이 0이고, 빠진 답이 아니라 진짜 답입니다. 껍질도 속도 없는 공이고, 그렇게 적는 것이 옳습니다. 페이지가 오류를 내거나 빈칸을 두는 대신 0을 인쇄하는 것은, 반지름이 없다는 것이 계산할 수 없다는 뜻은 아니기 때문입니다.

이 페이지는 구만 다룹니다. 표면의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있는 도형입니다. 달걀이나 럭비공이나 지구는 구가 아니고, 반구도 아닙니다. 반구는 구를 반으로 자른 것이라 잘린 면이 하나 더 생기는데, 그 면의 넓이는 여기 포함되지 않습니다. 부피와 겉넓이는 입력할 수 없습니다. 답이지 입력이 아니기 때문입니다. 담기는 양으로 규격이 정해진 공은 먼저 다른 곳에서 반지름으로 되돌려야 합니다. 다섯 눈금은 단위 선택과 무관하게 센티미터와 제곱센티미터와 세제곱센티미터로 나오므로, 인치로 넣은 지름은 인치로 읽으려면 환산해야 하는 센티미터 답으로 돌아옵니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다. 반지름과 지름만 정확할 수 있고 나머지 셋은 π를 이고 있으며 부피는 세제곱까지 이고 있습니다. 눈금은 정확한 반지름에서 각각 따로 반올림하므로, 이 페이지에 인쇄된 값이 옆에 인쇄된 다른 값을 항상 되살려 내지는 못합니다. 진짜 답은 입력한 수에 속합니다. 채울 수 있는 상자는 정확히 하나입니다. 둘을 동시에 채우면 조용히 해결하는 대신 거절합니다. 반지름 5와 지름 10은 같은 공이지만 반지름 5와 지름 12는 다른 공이고, 페이지는 고르기보다 그렇다고 말하는 편을 택합니다. 속이 빈 껍질의 두께, 공의 재료, 무게는 다루지 않습니다.

상자를 하나만 채워야 하는 이유는 무엇인가요?

세 상자가 모두 같은 공의 같은 측정값이기 때문입니다. 반지름 5, 지름 10, 원둘레 31.4159는 서로 다른 세 공이 아니라 하나의 공입니다. 그래서 어느 것을 넣든 페이지는 나머지를 즉시 채워 넣고, 남은 두 상자는 읽기용으로만 남습니다. 둘을 동시에 넣으면 거절합니다. 반지름 5와 지름 12처럼 서로 어긋나는 짝이 들어올 수 있고, 페이지는 둘 중 하나를 조용히 골라 버리기보다 그렇다고 말하는 편을 택합니다.

부피를 넣어서 반지름을 얻을 수는 없나요?

이 페이지에서는 안 되고, 그 질문에는 이미 다른 페이지가 있습니다. 부피에서 반지름으로 가려면 세제곱근을 풀어야 하고, 겉넓이에서 가려면 제곱근을 풀어야 합니다. 이 페이지는 한 방향으로만 흐릅니다. 길이를 넣으면 부피와 겉넓이가 나오고, 그 반대는 없습니다.

겉넓이와 원둘레가 같은 수로 나왔습니다. 잘못된 건가요?

잘못되지 않았습니다. 반지름이 정확히 2분의 1일 때 4πr²과 2πr이 만나서 둘 다 3.1416이 됩니다. 그보다 큰 공에서는 겉넓이가 앞서고, 작은 공에서는 원둘레가 앞섭니다. 다만 둘은 단위가 다릅니다. 겉넓이는 제곱센티미터이고 원둘레는 센티미터라, 수가 같아도 같은 양이 아닙니다.

부피 공식의 3분의 4는 어디서 오나요?

구를 감싸는 가장 작은 원기둥을 떠올리면 됩니다. 구는 그 원기둥 부피의 정확히 3분의 2를 차지하고, 남은 3분의 1이 4⁄3이라는 계수로 나타납니다. 원기둥의 부피가 밑넓이 곱하기 높이, 곧 πr² 곱하기 2r이므로 2πr³이고, 그 3분의 2가 4⁄3 πr³입니다. 아르키메데스가 이 결과를 자기 묘비에 새겨 달라고 부탁했습니다.

손이 닿지 않는 공에는 어느 측정값을 쓰면 되나요?

원둘레입니다. 줄자로 바깥을 한 바퀴 돌리면 되고, 그 밖의 방법은 나무나 관에서는 불가능합니다. 원둘레를 넣으면 반지름과 지름이 따라 나오고, 부피와 겉넓이도 함께 나옵니다. 나무의 나이테를 세는 데도 같은 측정이 쓰이고, 행성의 크기도 이 방식으로 먼저 잡힙니다.

답은 세제곱센티미터로 나오나요, 리터로 나오나요?

항상 세제곱센티미터입니다. 단위 선택은 입력하는 값을 바꿀 뿐 나오는 값을 바꾸지 않습니다. 1리터는 1000세제곱센티미터이고 1세제곱미터는 100만 세제곱센티미터이므로, 부피는 환산할 때 세제곱으로 늘어납니다. 길이를 환산할 때 쓰는 2.54나 100을 부피에 그대로 쓰면 안 되고, 그 세제곱을 써야 합니다.

• Sphere — 이 페이지가 다루는 도형, 반지름과 지름과 원둘레의 관계, 그리고 부피와 겉넓이가 왜 서로 다른 방식으로 자라는지 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 구의 단면이며, 이 페이지의 원둘레와 겉넓이가 어디서 오는지 보여 주는 평면 도형 — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — 부피라는 개념 자체와, 구의 부피가 자기를 감싸는 원기둥의 3분의 2라는 아르키메데스의 결과 — Wolfram MathWorld (United States)