원기둥 부피 계산기

V = πr²h 밑넓이 = πr² 옆넓이 = 2πrh 겉넓이 = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

반지름

단면의 중심에서 가장자리까지의 거리이고 단위는 센티미터입니다. 지름의 절반이므로 위를 가로질러 잰 지름으로 주어졌다면 먼저 2로 나눠야 합니다. 0도 되고 그때는 네 출력이 모두 0입니다

높이

두 둥근 단면 사이의 수직 거리이고 단위는 센티미터입니다. 옆면을 따라 한 테두리에서 맞은편 테두리로 잰 거리가 아닙니다. 그쪽은 곧게 올라가지 않고 돌아가므로 더 길고, 넣으면 부피가 실제보다 커집니다

부피

원기둥 안의 공간이고 단위는 세제곱센티미터입니다. 한 단면의 넓이에 높이를 곱한 것입니다. 1세제곱센티미터가 1밀리리터이므로 이 단위의 부피는 1000으로 나누면 곧바로 리터가 됩니다

밑넓이

둥근 단면 하나의 넓이고 단위는 제곱센티미터이며 π 곱하기 반지름의 제곱입니다. 두 단면의 크기가 같으므로 둘을 합한 것이 아니라 그중 하나의 넓이입니다

옆넓이

휘어진 옆면만의 넓이고 단위는 제곱센티미터입니다. 펼치면 높이가 h이고 가로가 2πr인 직사각형이 되는데, 공식이 거기서 나오고 높이와 원둘레가 왜 둘 다 들어가는지 가장 쉽게 보이는 방법입니다

겉넓이

두 단면에 휘어진 옆면을 더한 것이고 단위는 제곱센티미터입니다. 부피와 가까운 사이지만 비례하지는 않습니다. 높이를 두 배로 하면 둘 다 두 배가 되지만, 반지름을 두 배로 하면 부피는 네 배가 되고 겉넓이는 네 배에 못 미칩니다

π

원의 원둘레를 지름으로 나눈 비이고 약 3.14159입니다. 페이지는 3.14로 줄이지 않고 배정밀도 값을 그대로 쓰므로, 3.14로 손 계산을 하면 인쇄된 답과 마지막 자리에서 어긋납니다

소수점 두 자리

모든 출력을 적는 폭입니다. 넷이 아니라 둘인 까닭은 이것이 실제 물건의 물리적 측정이기 때문입니다. 자로 잰 반지름은 그 자체로 셋째 자리보다 더 불확실하므로, 자리를 더 인쇄하면 입력이 가진 적 없는 정밀도를 주장하는 셈입니다

이 페이지는 같은 두 입력으로 서로 다른 두 종류의 질문에 답합니다. 첫째는 용량입니다. 탱크나 드럼, 관, 통조림에 얼마나 들어가는지입니다. 그것이 부피이고, 원기둥의 부피가 반지름의 제곱으로 자란다는 것을 알아 두면 좋습니다. 두 배 넓은 탱크는 네 배를 담고 두 배 높은 탱크는 두 배만 담으므로, 자리가 좁을 때 넓은 탱크가 높은 탱크를 이기는 까닭입니다. 둘째는 재료입니다. 깡통에 판금이 얼마나 필요한지, 기둥에 페인트가 얼마나 드는지, 롤에 포장지가 얼마나 감기는지입니다. 그것이 겉넓이이고, 페이지가 단면과 옆면을 나눠 보여 주는 것은 보통 둘을 다른 곳에서 조달하기 때문입니다. 판금은 한 재고에서 잘라 내고, 라벨이나 페인트는 옆면에 붙습니다. 옆넓이는 사람들을 놀라게 하는 값이기도 한데, 옆면을 직사각형으로 펼치는 것이 한 번 해 보기 전에는 뻔하지 않기 때문입니다. 반지름 5에 높이 12인 원기둥의 옆면은 가로 31.4센티미터, 세로 12센티미터의 직사각형으로 펼쳐집니다. 들고 다닐 만한 환산이 하나 있습니다. 세제곱센티미터 단위의 부피는 밀리리터 단위의 부피이므로, 942.48세제곱센티미터짜리 원기둥은 0.942리터를 담고, 그 단계는 1000으로 나누는 것뿐입니다.

1. 반지름 3, 높이 4

   1. 밑넓이: π × 3 × 3 = 28.274333…이므로 28.27
   2. 부피: 28.274333… × 4 = 113.097335…이므로 113.1
   3. 옆넓이: 2 × π × 3 × 4 = 75.398223…이므로 75.4
   4. 겉넓이: 2 × 28.274333… + 75.398223… = 131.946891…이므로 131.95

   페이지가 처음 열릴 때의 입력입니다. 반지름 3이면 단면이 약 28.27제곱센티미터이고 그것이 네 겹이면 113.1이므로, 계산기 없이도 검산이 됩니다. 같은 두 수를 원뿔 페이지에 넣으면 부피가 37.70으로 나오는데, 원뿔은 그것을 감싸는 원기둥의 정확히 3분의 1이기 때문입니다. 두 페이지를 나란히 두면 그 3분의 1이 어디서 오는지 보입니다.

2. 반지름 5, 높이 12

   1. 밑넓이: π × 5 × 5 = 78.539816…이므로 78.54
   2. 부피: 78.539816… × 12 = 942.477796…이므로 942.48
   3. 옆넓이: 2 × π × 5 × 12 = 376.991118…이므로 376.99
   4. 겉넓이: 2 × 78.539816… + 376.991118… = 534.070751…이므로 534.07

   하나만 남긴다면 이것입니다. 옆면이 머릿속에 그려지는 직사각형으로 펼쳐지기 때문입니다. 2π × 5가 31.4159센티미터이므로 가로 31.4159에 세로 12인 직사각형의 넓이가 376.99제곱센티미터이고, 그것이 옆넓이입니다. 밀리리터로 부피가 942.48이라 이 원기둥은 1리터에 조금 못 미칩니다. 높이를 24로 두 배로 하면 부피와 옆넓이는 두 배가 되지만 밑넓이는 78.54 그대로이고, 어느 출력이 어느 입력을 따라가는지 가장 깔끔하게 보이는 방법입니다.

3. 반지름 10, 높이 10

   1. 밑넓이: π × 10 × 10 = 314.159265…이므로 314.16
   2. 부피: 314.159265… × 10 = 3141.592654…이므로 3141.59
   3. 옆넓이: 2 × π × 10 × 10 = 628.318531…이므로 628.32
   4. 겉넓이: 2 × 314.159265… + 628.318531… = 1256.637061…이므로 1256.64

   원기둥을 그려 보라고 하면 대부분 이렇게 그리는, 높이와 지름이 비슷한 모양입니다. 부피가 1000π이고 1세제곱센티미터가 1밀리리터이므로 3.14리터입니다. 여기서 옆넓이가 밑넓이의 정확히 두 배인데, 이것은 10이라는 수의 특별함이 아니라 높이가 반지름과 같기 때문입니다. 같은 두 배가 반지름과 높이가 같은 어떤 값에서도 일어납니다.

4. 반지름 2, 높이 6

   1. 밑넓이: π × 2 × 2 = 12.566370…이므로 12.57
   2. 부피: 12.566370… × 6 = 75.398223…이므로 75.4
   3. 옆넓이: 2 × π × 2 × 6 = 75.398223…이므로 75.4
   4. 겉넓이: 2 × 12.566370… + 75.398223… = 100.530964…이므로 100.53

   표에서 오류로 신고되는 줄이고, 여기서 부피와 옆넓이가 같은 75.4입니다. 두 식이 πr²h와 2πrh이므로 높이가 6이고 반지름이 2일 때 6 곱하기 2가 πr²h의 r²과 2πrh의 2r을 같게 만든 결과입니다. 같은 종류의 양이 아닙니다. 하나는 세제곱센티미터이고 다른 하나는 제곱센티미터이며, 특정한 치수에서 숫자만 겹친 것입니다.

5. 반지름 1, 높이 1

   1. 밑넓이: π × 1 × 1 = 3.141592…이므로 3.14
   2. 부피: 3.141592… × 1 = 3.141592…이므로 3.14
   3. 옆넓이: 2 × π × 1 × 1 = 6.283185…이므로 6.28
   4. 겉넓이: 2 × 3.141592… + 6.283185… = 12.566370…이므로 12.57

   높이가 1이라 부피와 밑넓이가 같은 값으로 인쇄되는 다른 겹침입니다. 숫자가 같아 보이는 이유는 높이를 곱하는 일이 아무것도 바꾸지 않기 때문이고, 단위는 다릅니다. 세제곱센티미터와 제곱센티미터입니다. 옆넓이 6.28도 밑넓이의 정확히 두 배인데, 여기서는 반지름과 높이가 모두 1이라 앞의 경우와 같은 관계가 다시 나옵니다.

이 페이지는 곧은 원기둥 하나만 계산합니다. 위아래 단면이 평행하고 같은 크기인 곧은 원기둥이고, 원뿔대나 기울어진 원기둥은 맞지 않습니다. 속이 빈 관의 안쪽 부피도 계산하지 않습니다. 관의 부피를 구하려면 바깥 반지름으로 한 번, 안쪽 반지름으로 한 번 계산해 빼야 하는데, 이 페이지는 한 번에 하나씩만 합니다. 위가 열린 깡통에 필요한 재료도 여기 인쇄된 겉넓이보다 적습니다. 뚜껑 하나를 빼면 되기 때문입니다. 네 출력은 드롭다운과 무관하게 언제나 세제곱센티미터와 제곱센티미터이고, 인치로 쟀다면 부피는 16.387로, 넓이는 6.4516으로 나눠 되돌려야 합니다. 부피는 길이 환산 계수의 세제곱, 넓이는 제곱으로 환산되므로 2.54를 그대로 쓰면 답이 크게 틀어집니다. 겉넓이는 반올림하지 않은 반지름에서 계산되므로 인쇄된 밑넓이와 옆넓이를 더한 값과 100분의 1 어긋날 수 있고, 인쇄된 겉넓이가 맞는 값입니다. 소수점 두 자리는 표시 폭이고, 안쪽과 바깥쪽을 오가는 두께에 대한 이야기는 다루지 않습니다.

어떤 두 치수를 재면 되나요?

둥근 단면의 반지름과 두 단면 사이의 수직 높이입니다. 위를 가로질러 지름을 쟀다면 2로 나눠 반지름으로 만드십시오. 옆면을 따라 비스듬히 잰 길이는 높이가 아니고 그보다 기므로, 그것을 넣으면 부피가 실제보다 커집니다.

인치로 넣었는데 답이 왜 센티미터로 나오나요?

환산이 나가는 쪽이 아니라 들어오는 쪽에서 일어나기 때문입니다. 넣은 인치가 센티미터로 바뀌고 네 출력이 센티미터로 돌아옵니다. 되돌리려면 부피는 16.387로, 넓이는 6.4516으로 나누십시오. 부피는 세제곱으로, 넓이는 제곱으로 환산되므로 길이에서처럼 2.54를 쓰면 답이 크게 틀어집니다.

옆넓이와 겉넓이는 무엇이 다른가요?

옆넓이는 휘어진 옆면만이고, 겉넓이는 거기에 둥근 단면 두 개를 더한 것입니다. 둘을 나눠 보여 주는 까닭은 보통 따로 필요하기 때문입니다. 탱크에 칠할 페인트는 옆면만의 문제이고, 단면에 쓸 금속은 밑넓이만의 문제입니다. 옆면을 펼치면 가로가 원둘레이고 세로가 높이인 직사각형이 됩니다.

부피를 리터로 바꾸려면 어떻게 하나요?

1000으로 나누면 됩니다. 1세제곱센티미터가 1밀리리터이고 1리터가 1000밀리리터이기 때문입니다. 그래서 942.48세제곱센티미터는 0.942리터입니다. 곱하거나 더할 것이 없는, 나누기 한 번짜리 환산입니다.

부피와 옆넓이가 같은 값으로 나오는 이유는 무엇인가요?

특정한 치수에서 실제로 그렇고, 표에도 그런 줄이 있습니다. 반지름 2에 높이 6이면 둘 다 75.4이고, 높이가 1이면 부피와 밑넓이가 둘 다 3.14입니다. 식이 겹치는 자리를 만들어 낸 결과이지 오식이 아니며, 단위도 서로 다릅니다. 하나는 세제곱센티미터이고 다른 하나는 제곱센티미터입니다.

관이나 뚜껑 없는 깡통에도 되나요?

곧은 원기둥이라면 됩니다. 다만 속이 빈 관의 안쪽 부피는 바깥 반지름으로 한 번, 안쪽 반지름으로 한 번 계산해 빼야 하고 이 페이지는 한 번에 하나씩만 합니다. 위가 열린 깡통의 재료는 여기 인쇄된 겉넓이보다 적습니다. 뚜껑 하나를 빼면 되기 때문입니다.

• Cylinder — 원을 밀어 올려 만든 입체와, 그 부피·옆넓이·겉넓이 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 모든 원기둥의 단면이고, 밑넓이와 옆면을 펼친 직사각형의 가로가 나오는 곳 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — 네 출력 모두에 들어가는 상수이며, 페이지가 3.14로 줄이지 않고 그대로 쓰는 값 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원기둥의 부피와 겉넓이는 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部