원뿔 부피 계산기

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) 옆넓이 = πrl 겉넓이 = πr(l + r)

r

원형 밑면의 반지름이고 단위는 센티미터입니다. 필수이고 0도 받습니다. 반지름이 0인 원뿔은 한 점 위에 선 수직선분입니다

h

밑면의 중심에서 꼭짓점까지 곧게 올라간 높이고 단위는 센티미터입니다. 필수이고 모선이 아닙니다. 높이가 0인 눌린 경우를 빼면 모든 원뿔에서 둘은 다른 수입니다

l

모선, 곧 꼭짓점에서 옆을 따라 테두리까지의 거리입니다. 반지름과 높이, 그리고 옆면이 이루는 삼각형의 빗변이므로 둘 중 어느 것보다도 깁니다. 네 출력 가운데 정확히 떨어지는 것이 흔한 유일한 값이고, 정수인 반지름과 높이가 정수인 모선을 줄 수 있습니다

V

세제곱센티미터 단위의 부피이고 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1입니다. 그 3분의 1이 이 페이지와 원기둥 페이지의 차이 전부이며, 그쪽에는 같은 식에 나누는 수가 없습니다

옆넓이

휘어진 면만의 넓이이고 π 곱하기 반지름 곱하기 모선입니다. 밑면은 포함하지 않습니다. 높이가 아니라 모선을 쓴다는 점에 주의하십시오. 이 도형에서 가장 흔한 대입 실수입니다

겉넓이

휘어진 면에 원형 밑면을 더한 것이고 π 곱하기 반지름 곱하기 (모선 + 반지름)으로 정리됩니다. 두 넓이를 더하는 대신 반지름과 모선에서 한 번에 계산하므로, 화면의 옆넓이에 πr²를 더한 값과 항상 같지는 않습니다

소수점 두 자리

모든 출력을 적는 폭입니다. 부피와 두 넓이는 거의 모든 입력에서 무리수이고, 모선은 반지름과 높이가 피타고라스 삼조를 이룰 때마다 정확히 떨어집니다. 페이지의 기본값이 뒤에 0을 남기는 까닭입니다

눈앞에 원뿔이 있고 그것에 대해 수 하나가 필요할 때가 가장 분명한 쓰임입니다. 자갈이나 곡물을 원뿔 모양으로 쌓아 놓은 더미는 밑면의 너비와 높이는 잴 수 있어도 모선이 재료 속에 묻혀 있습니다. 원뿔형 지붕이나 첨탑은 기울어진 면을 덮어야 하고 지붕재 값이 모선 길이로 매겨집니다. 깔때기, 호퍼, 종이컵, 고깔이 모두 그렇습니다. 부피는 무엇이 들어가는지를, 옆넓이는 만드는 데 드는 재료가 얼마인지를 말해 주는데, 같은 페이지에서 서로 다른 두 질문에 서로 다른 두 답이 나옵니다. 이 페이지가 답하는 세 번째 질문은 비교입니다. 용기와 저장에서 원뿔과 원기둥 중 무엇을 고를지는 실제 결정이고, 그 비교는 언제나 같은 계수 3입니다. 밑면과 높이가 같은 원기둥은 정확히 세 배를 담으므로, 같은 바닥 면적의 원뿔형 호퍼는 원기둥형의 3분의 1을 담습니다. 들고 다닐 습관이 둘 있습니다. 모선은 옆면 삼각형의 세 길이 가운데 언제나 가장 기므로, 모선이 높이보다 짧게 나왔다면 두 칸을 바꿔 채운 것입니다. 모선은 바깥을 따라 재는 값이라 작을 수가 없습니다. 그리고 옆넓이는 언제나 겉넓이보다 작습니다. 겉넓이는 옆넓이에 밑면을 더한 것이므로, 겉넓이가 옆넓이보다 작게 나오면 더한 것이 아니라 뺀 것입니다.

1. 반지름 3, 높이 4

   1. 모선: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. 부피: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37.6991…이므로 37.70
   3. 옆넓이: π × 3 × 5 = 15π = 47.1239…이므로 47.12
   4. 겉넓이: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75.3982…이므로 75.40

   페이지가 처음 열릴 때의 입력이고, 이 묶음에서 모든 단계를 머릿속으로 할 수 있는 유일한 것입니다. 3과 4가 빗변 5를 정확히 주므로 모선이 정수이고 두 넓이가 π의 정수 배입니다. 부피 셈을 보십시오. 밑넓이가 9π이고 그것의 3분의 1에 4를 곱하면 12π이므로, 답이 100을 조금 넘는 수가 아니라 38을 조금 밑도는 수입니다. 이 크기의 원뿔은 약 38밀리리터를 담고, 답이 3배쯤 어긋나 보일 때 알아 두면 쓸모가 있는 수입니다.

2. 반지름 5, 높이 12

   1. 모선: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. 부피: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314.1592…이므로 314.16
   3. 옆넓이: π × 5 × 13 = 65π = 204.2035…이므로 204.20
   4. 겉넓이: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282.7433…이므로 282.74

   잘 알려진 다른 정수 삼조이고, 기본값보다 길쭉하고 가는 원뿔입니다. 부피가 둥근 수에 얼마나 가까운지 보십시오. 100π가 314.16이라서 반지름 5에 높이 12인 원뿔은 거의 정확히 1리터를 담습니다. 센티미터로 작업할 때 검산으로 쓸 만한 우연인데, 100π 세제곱센티미터는 한 변이 1센티미터인 정육면체 부피의 백 배에 π를 곱한 것이고, 화면의 수는 300을 조금 넘어야 합니다.

3. 반지름 6, 높이 8 — 두 답이 겹치는 경우

   1. 모선: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. 부피: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301.5928…이므로 301.59
   3. 옆넓이: π × 6 × 10 = 60π = 188.4955…이므로 188.50
   4. 겉넓이: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301.5928…이므로 301.59

   아래 표에서 오류로 신고되는 행입니다. 부피와 겉넓이가 같은 수 301.59이고, 이것은 열이 중복된 것이 아니라 산수입니다. 부피가 96π로 나오고 겉넓이도 96π로 나오는데, 모선이 10일 때 πr(l + r)이 π × 6 × 16이 되어 부피 쪽과 같은 96π가 되기 때문입니다. 둘은 같은 종류의 양이 아닙니다. 하나는 세제곱센티미터이고 다른 하나는 제곱센티미터이므로, 겹치는 것은 숫자뿐입니다. 이 특정한 원뿔이 모선 10과, 반지름·높이가 삼조를 이루기 때문에 생기는 일이고 규칙이 아니며, 옆 행들은 이것을 공유하지 않습니다.

4. 반지름과 높이가 같은 경우

   1. 모선: √(100 + 100) = √200 = 14.1421…이므로 14.14
   2. 부피: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047.1975…이므로 1047.20
   3. 옆넓이: π × 10 × 14.14214 = 444.2883…이므로 444.29
   4. 겉넓이: π × 10 × (14.14214 + 10) = 758.4479…이므로 758.45

   밑면 반지름만큼 높이도 큰 원뿔이라 옆면 삼각형이 이등변이 되고, 모선이 정확히 반지름의 제곱근 2배가 됩니다. 그 제곱근은 무리수라서 이것이 보통의 경우입니다. 끝나지 않는 모선과 그것을 따라가는 두 넓이입니다. 부피 식을 가장 읽기 쉬운 경우이기도 합니다. 1000π 나누기 3이고, 3분의 1을 잊은 사람은 3141.59에 닿는데 그것은 정확히 세 배입니다. 3이라는 계수가 이 페이지에서 가장 흔한 실수입니다.

5. 높이가 0인 경우

   1. 모선: √(16 + 0) = 4. 높이가 0이면 모선이 반지름과 같아짐
   2. 부피: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0
   3. 옆넓이: π × 4 × 4 = 16π = 50.2655…이므로 50.27
   4. 겉넓이: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100.5310…이므로 100.53

   꼭짓점을 평면까지 내리누른 원뿔이라 두께가 없고 부피가 0입니다. 이 경우에만 모선이 높이와 같아집니다. 그런데도 넓이는 0이 아닙니다. 남은 것은 원판 두 장이 아니라 원판 하나인데, 겉넓이가 밑면 하나를 세므로 원판 두 장과 같은 100.53이 됩니다. 눌린 원뿔에서 겉넓이가 옆넓이의 정확히 두 배인 까닭이고, 여기서 0은 빈 칸이 아니라 실제 값입니다.

이 페이지는 두 수로 정해지는 곧은 원뿔 하나만 다룹니다. 밑면이 원이 아니거나 꼭짓점이 밑면 중심의 바로 위에 있지 않으면, 곧 비스듬한 원뿔이나 밑면이 타원인 것은 맞지 않습니다. 잘린 원뿔도 마찬가지입니다. 위쪽을 잘라 낸 원뿔대는 자기 치수를 따로 가진 다른 도형이고 여기서는 계산되지 않습니다. 원뿔의 전개도는 다루지 않습니다. 옆넓이는 나오지만 그것을 평면 위에 펼쳤을 때의 부채꼴 중심각은 나오지 않습니다. 답은 드롭다운과 무관하게 언제나 센티미터와 제곱센티미터, 세제곱센티미터로 적히고, 드롭다운은 들어오는 수를 어떻게 읽을지만 바꿉니다. 겉넓이는 반지름과 모선에서 한 번에 계산되므로, 화면의 옆넓이에 πr²를 더한 값과 마지막 자리가 다를 수 있습니다. 그 차이는 반올림에서 오는 것이고 어느 쪽도 틀리지 않았습니다. 겉넓이가 옆넓이보다 작게 나오면 더한 것이 아니라 뺀 것입니다.

부피에 왜 3분의 1이 붙나요?

같은 밑면과 같은 높이를 가진 원기둥이 원뿔의 정확히 세 배를 담기 때문입니다. 각뿔과 각기둥도 마찬가지이고, 이것은 눈으로 보이는 성질이 아니라 증명이 필요한 결과였습니다. 그래서 원뿔을 다루면서 3분의 1을 잊으면 답이 딱 세 배로 나오는데, 그 수가 그럴듯해 보여서 눈치채기 어렵습니다.

높이와 모선은 무엇이 다른가요?

높이는 밑면의 중심에서 꼭짓점까지 곧게 올라간 거리이고, 모선은 꼭짓점에서 옆을 따라 밑면 테두리까지 내려간 거리입니다. 모선은 반지름과 높이를 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로 언제나 둘보다 깁니다. 실제 원뿔을 바깥에서 잴 때 손이 가는 것이 모선이라, 이 둘을 바꿔 넣는 실수가 가장 흔합니다.

옆넓이에는 어떤 수를 쓰나요?

모선입니다. 옆넓이는 π 곱하기 반지름 곱하기 모선이고, 높이는 들어가지 않습니다. 밑넓이는 πr²라서 반지름만 씁니다. 같은 페이지에서 두 면이 서로 다른 수를 쓰기 때문에, 옆넓이가 이상하면 먼저 모선 칸을 확인해 보십시오.

겉넓이가 화면의 옆넓이에 밑넓이를 더한 값과 다릅니다.

그럴 수 있고 둘 다 맞습니다. 겉넓이는 옆넓이와 밑넓이를 각각 반올림해서 더하는 대신 반지름과 모선에서 한 번에 계산합니다. 화면에 보이는 두 수는 이미 반올림된 것이라 마지막 자리에서 어긋날 수 있습니다. 어긋남은 반올림에서 오고 어느 쪽도 틀리지 않았습니다.

부피와 겉넓이가 같은 수로 나옵니다.

반지름 6에 높이 8인 원뿔에서 실제로 그렇고, 표에도 그 행이 있습니다. 계산해 보면 부피가 96π, 겉넓이도 96π입니다. 둘은 같은 종류의 양이 아니고, 하나는 세제곱센티미터이며 다른 하나는 제곱센티미터입니다. 숫자만 겹친 우연이고 규칙이 아니어서 옆의 다른 행들은 공유하지 않습니다.

높이가 0이어도 되나요?

됩니다. 꼭짓점을 밑면까지 내리누른 것이라 두께가 없고 부피가 0입니다. 이때만 모선이 반지름과 같아집니다. 그런데 겉넓이는 0이 아닙니다. 밑면 하나만 남지만 겉넓이가 밑면을 한 장 세므로 원판 두 장과 같은 값이 나옵니다.

• Cone — 원뿔의 정의와 밑넓이·높이에서 부피로 가는 3분의 1 계수 — Wolfram MathWorld (United States)
• Eudoxus of Cnidus — 원뿔이 같은 밑면과 높이의 원기둥의 3분의 1이라는 결과를 처음 세운 사람 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Triple — 반지름과 높이가 정수 삼조를 이룰 때 모선이 정확히 떨어지는 까닭 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 원뿔의 부피는 이 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部