겉넓이 계산기
계산 결과
겉넓이
겉넓이 계산기는 입체의 바깥 면을 덮는 넓이, 곧 그 입체를 포장하는 데 드는 재료의 양을 구합니다. 도형을 고르고 그 도형이 읽는 치수를 넣으면 답이 제곱센티미터 하나로 나옵니다. 첫 칸인 도형 선택에서 구, 원뿔, 원기둥, 직육면체 가운데 하나를 고릅니다. 구의 겉넓이는 4πr²이고, 원뿔은 πr(r + l)이며, 원기둥은 2πr(r + h), 직육면체는 2(lw + lh + wh)입니다. 여기서 r은 반지름, h는 높이, l은 모선입니다. 모선은 원뿔의 꼭대기에서 밑면 가장자리까지 옆면을 따라 내려간 길이이고, 반지름과 높이로 피타고라스 정리를 써서 √(r² + h²)으로 구합니다. 원기둥의 식은 원인 밑면 두 개에, 펼치면 가로가 2πr이고 세로가 h인 직사각형이 되는 옆면을 더한 것입니다. 직육면체의 식은 여섯 면이 세 쌍을 이루므로 세 곱을 더한 뒤 두 배로 한 것입니다. 시작하기 전에 알아 둘 점이 하나 있습니다. 화면에는 길이를 받는 칸이 네 개 있고, 도형을 바꾸어도 네 칸은 그대로 남으며 그 안에 적어 둔 값도 지워지지 않습니다. 이는 빠뜨린 것이 아니라 정한 것입니다. 쓰지 않는 칸을 숨기면 도형을 바꿀 때마다 입력 상자가 손 밑에서 움직여야 하고, 남겨 두고 무시하면 사용자가 적어 넣은 수를 조용히 버리게 됩니다. 그래서 페이지는 칸을 그대로 두고 고른 도형이 실제로 읽는 칸만 읽습니다. 규칙은 간단합니다. 구는 반지름 하나만 읽고, 원뿔과 원기둥은 반지름과 높이를 읽으며, 직육면체는 길이와 너비와 높이를 읽고 반지름은 아예 보지 않습니다. 읽히지 않은 칸에 들어 있는 값은 답을 바꾸지 않습니다. 아래 참고표가 이 규칙을 구체적으로 보여 줍니다. 첫째 표의 첫 열이 그래서 공식 자체입니다. 한 행이 어느 식으로 계산되었는지, 따라서 그 행의 어느 숫자가 실제로 쓰였는지를 그 열이 말해 줍니다. 마지막으로, 답은 입력 옆의 단위를 무엇으로 두었든 언제나 제곱센티미터입니다.
반지름과 높이에서 각각 도달한 둥근 입체들
| 공식 | 반지름 (cm) | 높이 (cm) | 겉넓이 (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
구와 원뿔과 원기둥을 아우르는 여덟 줄입니다. 첫 열이 이 표의 요점입니다. 도형이 풀리고 나면 그 줄에는 그것이 어떤 입체였는지 알려 줄 것이 남지 않으므로, 공식이 도형 이름을 대신합니다. 공식 열은 도형 이름이 할 수 없는 일도 하나 하는데, 그 줄의 다른 두 숫자 가운데 어느 것이 실제로 쓰였는지를 알려 주는 것입니다. 구 두 줄의 높이 열에 줄표가 있는 것은 구에 높이가 없어 그 칸을 아예 읽지 않기 때문입니다. 앞의 두 줄은 반지름 3과 5인 구이고, 두 값의 비를 확인해 볼 만합니다. 5 나누기 3의 제곱이 약 2.78이고 113.1에 2.78을 곱하면 314.16이라 둘째 줄이 나옵니다. 넓이는 반지름의 제곱에 따라가며 반지름을 그대로 따라가지 않습니다. 셋째 줄은 모선이 정확히 5로 떨어지는 3-4-5 원뿔이고, 다섯째 줄은 원기둥 페이지의 기본값입니다. 반지름 3, 높이 4에 겉넓이 131.95로, 그 페이지가 겉넓이로 인쇄하는 값과 같습니다. 일곱째 줄은 반지름 1인 구의 12.57제곱센티미터이고 이는 4π라서 이 표에서 익숙한 상수인 유일한 값입니다. 여덟째 줄은 반지름 1, 높이 2인 원기둥의 18.85이고 이는 6π입니다. 여기 있는 모든 값은 페이지가 만들어질 때 반지름과 높이에서 다시 계산되며 단위는 센티미터이고, 줄표는 그대로 인쇄됩니다.
길이와 너비와 높이에서 각각 도달한 직육면체들
| 길이 (cm) | 너비 (cm) | 높이 (cm) | 겉넓이 (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
상자 여섯 개이고, 첫 줄은 직육면체를 골랐을 때 페이지가 처음 열리는 값입니다. 둘째 줄은 가장 작은 정수 상자인 1 × 2 × 3의 22제곱센티미터이고, 여기서는 암산이 될 만큼 짧아서 공식을 확인하기 좋은 줄입니다. 2 × (2 + 3 + 6) = 22입니다. 셋째 줄은 한 변이 2센티미터인 정육면체의 24이고, 여섯째 줄은 높이가 0인 3 × 4 평평한 판의 역시 24입니다. 이 짝이 이 표에서 가장 쓸모 있는 부분입니다. 두 입체는 전혀 닮지 않았는데 같은 수를 가지기 때문입니다. 정육면체는 넓이가 4인 면이 여섯이고, 판은 넓이가 12인 면 둘과 없어진 면 넷으로 이루어집니다. 겉넓이 하나만으로는 도형이 정해지지 않는다는 것의 가장 싼 실증입니다. 넷째 줄은 한 변이 10센티미터인 정육면체의 600제곱센티미터로, 종이 한 묶음이 오는 상자의 크기이고, 다섯째 줄은 한 변이 0.5센티미터라서 소수점이 의미를 갖기 시작하는 자리입니다. 직육면체의 식에는 π가 없으므로 여섯 값 모두 정확하며, 전부 페이지가 만들어질 때 다시 계산됩니다.
공식
구: S = 4πr² 원뿔: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) 원기둥: S = 2πr(r + h) 직육면체: S = 2(lw + lh + wh)
- 도형
- 어떤 입체를 덮는지입니다. 네 식 가운데 어느 것이 실행될지, 따라서 아래 길이 칸 가운데 어느 것이 읽힐지가 여기서 정해집니다. 구는 반지름만 쓰고, 직육면체는 길이와 너비와 높이를 쓰며 반지름은 전혀 쓰지 않습니다
- r
- 반지름이며 단위는 센티미터입니다. 구에서는 중심에서 표면까지의 거리, 원뿔과 원기둥에서는 밑면인 원의 중심에서 가장자리까지의 거리입니다. 네 도형 가운데 셋이 읽고 직육면체만 읽지 않습니다
- h
- 높이이며 단위는 센티미터입니다. 직육면체에서는 밑면에서 마주 보는 면까지의 수직 거리, 원뿔에서는 밑면에서 꼭대기까지, 원기둥에서는 두 밑면 사이의 거리입니다. 높이가 없는 구는 이 값을 읽지 않습니다
- l
- 두 가지를 가리키는 글자라 이 페이지에서 가장 조심해서 읽어야 하는 자리입니다. 원뿔의 식에서는 모선, 곧 꼭대기에서 옆면을 따라 밑면 가장자리까지 내려간 길이이고 반지름과 높이로 피타고라스 정리를 써서 구합니다. 직육면체의 식에서는 상자의 길이입니다. 어느 행이 어느 쪽인지는 참고표의 공식 열이 알려 줍니다
- lw, w 등
- 직육면체의 세 치수인 길이, 너비, 높이이며 단위는 센티미터입니다. 여섯 면이 세 쌍을 이루고 각 쌍이 세 곱 가운데 하나이므로, 식은 여섯 항을 더하지 않고 세 곱의 합을 두 배로 합니다
- π
- 원의 원둘레를 지름으로 나눈 비율이며 약 3.14159입니다. 네 식 가운데 셋에 나오고 직육면체에는 나오지 않는데, 상자의 겉넓이가 흔히 정확한 값으로 떨어지고 구의 겉넓이는 거의 그렇지 않은 까닭이 여기 있습니다
- 제곱센티미터
- 답의 단위이며 입력 옆의 단위를 무엇으로 두었든 항상 이 단위입니다. 겉넓이는 2차원 양이라 입력 단위의 제곱이 되므로, 반지름을 센티미터로 넣으면 넓이가 제곱센티미터로 나오고 이 페이지 어디에도 세제곱 단계는 없습니다
- 소수점 두 자리
- 답을 적는 폭입니다. 네 자리가 아니라 두 자리인 것은 좌표가 아니라 물건의 치수를 다루기 때문입니다. 자로 잰 반지름은 이미 셋째 자리보다 크게 흔들립니다
대개는 재료에 대한 물음이고, 도형이 어느 식을 쓸지 알려 줍니다. 공이나 지구본, 풍선은 구이고, 보통 그 겉넓이를 천이나 페인트가 얼마나 덮는지를 묻습니다. 고깔이나 깔때기, 원뿔 모양으로 쌓인 모래더미는 원뿔이고, 사람들이 빠뜨리는 치수가 바로 모선입니다. 모선은 원뿔의 높이가 아니라 옆면을 따라 내려간 길이인데, 반지름 3에 높이 4인 원뿔의 모선은 정확히 5이고, 이는 피타고라스 정리가 가장 작은 정수 조합으로 떨어지는 경우입니다. 통이나 관, 기둥은 원기둥이고, 이 식은 외우기보다 만들어 볼 수 있는 쪽입니다. 각각 πr²인 두 밑면에, 펼치면 가로가 2πr이고 세로가 h인 직사각형이 되는 옆면을 더하면 되기 때문입니다. 상자나 용기, 방은 직육면체이고, 여섯 면이 세 쌍이라는 것이 이 식의 전부입니다. 네 도형에 공통으로 해당하는 경고가 하나 있습니다. 겉넓이와 부피는 비례하지 않아서 모든 길이를 두 배로 하면 넓이는 네 배, 부피는 여덟 배가 됩니다. 큰 동물이 작은 동물보다 열을 빨리 잃는 까닭도, 작은 상자의 포장재가 내용물에 비해 유난히 많이 드는 까닭도 여기 있습니다.
계산 예시
반지름 3, 높이 4인 원기둥
- 두 밑면: 2 × π × 3 × 3 = 56.548667…
- 펼친 옆면: 2 × π × 3 × 4 = 75.398223…
- 합계: 56.548667… + 75.398223… = 131.946891…, 반올림하면 131.95
- 길이와 너비 칸은 원기둥이 읽지 않으므로 그 안의 5와 4는 아무것도 바꾸지 않습니다
페이지가 처음 열릴 때의 도형이고, 원기둥 페이지와 맞대어 볼 줄입니다. 그쪽도 같은 반지름과 높이에 대해 겉넓이로 131.95를 돌려줍니다. 두 페이지가 같은 식을 쓰니 같은 숫자가 나오는 것이고, 두 값이 맞는 것을 확인하는 것이 이 줄의 요점입니다. 계산기 없이 확인하는 법도 있습니다. 두 밑면이 각각 28쯤이고 옆면은 가로가 18.8쯤, 세로가 4인 직사각형으로 펼쳐지므로 합계가 130을 조금 넘는 자리에 오면 맞습니다.
반지름 3, 높이 4인 원뿔
- 모선: √(3² + 4²) = √25 = 5
- 밑면: π × 3 × 3 = 28.274333…
- 옆면: π × 3 × 5 = 47.123889…
- 합계: 28.274333… + 47.123889… = 75.398223…, 반올림하면 75.4
3-4-5 직각삼각형이 제 몫을 하는 자리입니다. 반지름이 3이고 높이가 4이면 모선이 정확히 5라서 끝까지 깔끔하게 떨어집니다. 이 75.4는 원기둥 페이지가 반지름 3, 높이 4에 대해 옆면의 넓이로 돌려주는 값과도 같은데, 이는 서로 다른 두 입체가 우연히 같은 수에 이른 것이지 같은 식을 쓴 결과가 아닙니다. 원뿔의 옆면과 원기둥의 옆면은 다른 도형이고, 여기서만 같은 수로 맞아떨어집니다.
반지름 3인 구
- 원 넷: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113.097335…
- 반올림하면 113.1
- 반지름만 읽히고, 높이와 길이와 너비 칸은 구가 쓰지 않습니다
구의 겉넓이는 가장 큰 단면의 넓이의 정확히 네 배이고, 이것이 구에 대해 기억해 둘 만한 사실입니다. 반지름 3인 원의 넓이가 28.27이니 그것의 네 배가 113.1입니다. 높이 칸에는 앞선 도형에서 온 4가 그대로 남아 있지만 페이지는 그것을 거들떠보지 않습니다. intro가 설명한 동작이 그대로 일어나는 자리이고, 그래서 설명해 둘 값어치가 있습니다.
5 × 4 × 4 직육면체
- 윗면과 아랫면: 2 × 5 × 4 = 40
- 앞면과 뒷면: 2 × 5 × 4 = 40
- 옆면 두 개: 2 × 4 × 4 = 32
- 합계: 40 + 40 + 32 = 112제곱센티미터이며 정확한 값입니다
네 도형 가운데 답이 흔히 정확한 값으로 떨어지는 유일한 도형이고, 반지름을 무시하는 유일한 도형이기도 합니다. 여기서는 길이와 높이가 우연히 같아서 세 쌍 가운데 두 쌍의 넓이가 같고, 그래서 합을 따라가기 쉽습니다. 40, 40, 32입니다. 반지름 칸에 남아 있는 3은 아무 역할도 하지 않습니다.
2 × 2 × 2 정육면체와 3 × 4 × 0 직육면체
- 윗면과 아랫면: 2 × 3 × 4 = 24
- 앞면과 뒷면: 2 × 3 × 0 = 0
- 옆면 두 개: 2 × 4 × 0 = 0
- 합계: 24제곱센티미터
함께 놓고 보아야 하는 짝입니다. 한 변이 2센티미터인 정육면체와 3 × 4인 평평한 판이 둘 다 24제곱센티미터에 이르기 때문입니다. 정육면체는 2 × 2 × 2이고 2 × (4 + 4 + 4) = 24를 주며, 두 번째는 높이가 0이라 여섯 면 가운데 넷이 없어지고 남는 둘이 윗면과 아랫면입니다. 같은 수, 전혀 다른 입체이고, 겉넓이 하나만으로는 도형이 정해지지 않는다는 것을 보여 줍니다.
한계
답은 단위 선택이 무엇으로 맞춰져 있든 항상 제곱센티미터입니다. 인치를 고르면 들어오는 숫자를 읽는 방식만 바뀌고 답을 적는 방식은 바뀌지 않습니다. 길이를 받는 네 칸은 어떤 도형에서도 화면에 그대로 남고, 고른 도형이 읽지 않는 칸은 지워지는 것이 아니라 무시되므로, 구에서 남은 반지름이 상자의 답을 바꾸지 않습니다. 앞선 도형에 맞는 값이 칸에 남아 있어도 페이지는 막지 않으며, 그 값을 쓰지 않았다고 알려 주지도 않습니다. 어느 행에 어느 숫자가 들어갔는지 말해 주는 곳은 참고표의 공식 열 하나뿐이고, 그 열이 있는 이유가 그것입니다. 소수점 두 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭입니다. 원뿔의 겉넓이는 수직 높이가 아니라 모선을 쓰고, 페이지가 반지름과 높이로 모선을 스스로 구하므로 옆면을 따라 잰 길이를 그대로 넣을 수는 없습니다. 이 사이트의 원기둥 페이지와 원뿔 페이지도 일부 같은 입력에 대해 값을 돌려주는데, 같은 식을 쓰기 때문에 이 페이지와 일치합니다. 어긋난다면 견해 차이가 아니라 버그입니다. 여기서 다루지 않는 것은 네 도형 가운데 어느 것도 아닌 모양, 밑면이 없는 열린 용기, 가운데 구멍이 뚫린 입체입니다.
자주 묻는 질문
- 도형마다 실제로 쓰는 칸이 어떻게 되나요?
- 구는 반지름만 읽습니다. 원뿔과 원기둥은 반지름과 높이를 읽습니다. 직육면체는 길이와 너비와 높이를 읽고 반지름은 쓰지 않습니다. 모든 칸은 화면에 그대로 남고 안에 든 값도 유지되므로, 앞서 보던 도형에서 남은 숫자가 있어도 아무 일도 일어나지 않습니다. 어느 행에 어느 숫자가 들어갔는지는 참고표의 공식 열이 가장 빠르게 알려 줍니다.
- 모선이 무엇이고 어떻게 재나요?
- 원뿔의 꼭대기에서 옆면을 따라 밑면 가장자리까지 내려간 직선 거리이고, 원뿔이 아주 납작하지 않다면 수직 높이보다 깁니다. 직접 잴 필요는 없습니다. 반지름과 높이와 모선이 직각삼각형을 이루므로 페이지가 피타고라스 정리로 모선을 구합니다. 반지름 3에 높이 4인 원뿔의 모선은 정확히 5입니다.
- 인치로 넣었는데 왜 제곱센티미터로 나오나요?
- 답이 제곱센티미터로 고정된 출력이기 때문입니다. 결과 패널과 아래 참고표가 언제나 같은 단위를 쓰도록 정한 것입니다. 단위 선택은 들어오는 치수를 어떻게 읽을지만 바꾸고 답을 적는 방식은 바꾸지 않습니다. 제곱인치로 보려면 결과를 6.4516으로 나누면 되는데, 넓이는 길이의 제곱에 비례하므로 환산 계수도 제곱해서 써야 합니다.
- 한 변이 2센티미터인 정육면체와 3 × 4인 평평한 판의 겉넓이가 왜 같은가요?
- 둘 다 24제곱센티미터에 이르기 때문이고 그 이상은 없습니다. 정육면체는 넓이가 4인 면이 여섯 개이고, 평평한 판은 넓이가 12인 면 둘과 높이가 0이라 없어진 면 넷으로 이루어집니다. 겉넓이 하나만으로는 도형이 정해지지 않으며, 두 번째 입체는 오류가 아니라 페이지가 기꺼이 계산하는 퇴화한 경우입니다.
- 원기둥 페이지와 원뿔 페이지도 같은 답을 주나요?
- 겹치는 값에 대해서는 그렇습니다. 세 페이지가 같은 식을 쓰기 때문이며 우연이 아닙니다. 반지름 3에 높이 4인 원기둥의 겉넓이는 여기서도 131.95이고, 원기둥 페이지도 같은 131.95를 겉넓이로 인쇄합니다. 두 페이지 모두 같은 두 밑면에 같은 펼친 옆면을 더하기 때문입니다.
- 페인트나 포장지가 얼마나 필요한지도 알 수 있나요?
- 닫힌 입체라면 알 수 있고, 이것이 이 페이지의 가장 흔한 쓰임입니다. 두 가지만 짚어 두십시오. 답은 바깥 전체의 넓이이므로 뚜껑이 없는 용기라면 한 면을 빼야 하고, 겹침이나 손실, 두께는 전혀 반영되지 않으므로 실무 견적은 그대로 쓰기보다 넉넉하게 올림하는 편이 좋습니다. 답의 단위는 제곱센티미터이므로 제곱미터로 보려면 10,000으로 나누십시오.
참고 문헌
- Surface area — 입체의 경계면 넓이, 그리고 이 페이지가 구현한 구·원뿔·원기둥·직육면체의 식 — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — 옆면을 펼치면 부채꼴이 되는 입체, 모선은 반지름과 높이가 만드는 직각삼각형의 빗변 — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — 중심에서 같은 거리에 있는 면, 넓이가 대원의 정확히 네 배라는 이 페이지의 구 공식이 말하는 관계 — Wolfram MathWorld (United States)