각뿔 부피 계산기

부피 = 밑넓이 × 높이 ÷ 3

밑넓이

각뿔이 딛고 선 밑면의 넓이이며 단위는 제곱센티미터입니다. 밑면이 삼각형이든 사각형이든 이 값 하나로 줄여서 받기 때문에, 어떤 각뿔이든 이 페이지로 부피를 구할 수 있습니다. 밑변의 길이가 아니라 넓이라는 점에 주의해야 합니다

높이

밑면에서 꼭대기까지의 수직 거리이며 단위는 센티미터입니다. 옆면을 따라 비스듬히 잰 길이가 아니라는 점이 중요합니다. 꼭대기가 밑면의 한가운데 위에 있지 않은 비스듬한 각뿔도 높이는 수직으로 잰 거리이고, 부피는 같은 밑넓이와 높이의 곧은 각뿔과 같습니다

부피

각뿔이 차지하는 공간의 크기이며 단위는 세제곱센티미터입니다. 밑넓이와 높이를 곱한 값을 3으로 나눈 결과입니다. 같은 밑넓이와 높이의 기둥과 견주면 정확히 3분의 1이고, 밑넓이를 두 배로 하거나 높이를 두 배로 하면 이 값도 두 배가 됩니다

기둥

밑면이 같고 높이가 같은 각기둥이나 원기둥입니다. 부피가 각뿔의 세 배이고, 3으로 나누는 이유가 여기 있습니다. 기둥 안에 각뿔을 하나 그려 넣으면 남는 공간이 정확히 각뿔 두 개 분량이 됩니다. 이 관계를 알면 3분의 1이라는 숫자를 외우지 않아도 됩니다

이 페이지는 각뿔 모양의 부피가 필요할 때 씁니다. 밑면이 다각형이고 위로 좁아지는 모양이면 모두 해당하고, 건축의 지붕이나 탑, 포장지로 접는 원뿔형 용기가 여기에 들어갑니다. 밑넓이를 먼저 구하는 것이 순서입니다. 밑면이 정사각형이면 한 변의 제곱, 직사각형이면 가로와 세로의 곱, 삼각형이면 밑변과 높이의 곱의 절반입니다. 어떤 방법으로 구했든 그 값을 밑넓이 칸에 넣으면 나머지는 같습니다. 높이는 밑면에서 꼭대기까지 수직으로 잰 거리입니다. 옆면을 따라 비스듬히 재면 안 되고, 꼭대기에서 밑면에 수직으로 내려와 닿는 곳까지의 거리를 재야 합니다. 비스듬한 각뿔에서는 꼭대기가 밑면 바깥에 수직으로 놓일 수도 있는데, 그래도 높이는 밑면이 놓인 평면까지의 수직 거리입니다. 같은 양을 기둥과 견주어 보는 것도 이 페이지의 쓰임입니다. 밑넓이와 높이가 같다면 기둥의 부피가 각뿔의 세 배이므로, 각뿔의 부피에 3을 곱하면 기둥의 부피가 됩니다. 반대로 기둥의 부피를 알면 3으로 나눠 각뿔을 얻습니다. 용기의 부피를 재는 데도 쓸 수 있습니다. 밑넓이가 100제곱센티미터이고 높이가 9센티미터인 각뿔 모양 용기라면 부피가 300세제곱센티미터이고, 이는 300밀리리터에 해당합니다. 물을 가득 채웠을 때의 양을 알고 싶을 때 이렇게 환산합니다. 각뿔을 여러 개 이어 붙이거나 잘라 내는 경우에는 조각마다 따로 계산해서 더하면 됩니다.

1. 밑넓이 36, 높이 4일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 36 × 4 = 144
   2. 3으로 나눔: 144 ÷ 3 = 48
   3. 부피: 48

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 밑넓이 36은 한 변이 6인 정사각형의 넓이이므로, 이 각뿔은 밑변이 6인 정사각뿔이고 높이가 4입니다. 같은 밑넓이와 높이의 사각기둥 부피가 144이므로, 각뿔은 그 3분의 1인 48입니다. 검산은 부피에 3을 곱해 144가 나오는지 보면 되고, 이 값이 곧 기둥의 부피입니다.

2. 밑넓이 100, 높이 9일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 100 × 9 = 900
   2. 3으로 나눔: 900 ÷ 3 = 300
   3. 부피: 300

   밑넓이 100은 한 변이 10인 정사각형이고 높이가 9입니다. 부피 300세제곱센티미터는 300밀리리터와 같은 양이라서, 이 모양의 용기에 물을 가득 채우면 300밀리리터가 들어간다고 바로 읽을 수 있습니다. 같은 밑넓이와 높이의 기둥이라면 900이 들어가는데, 각뿔은 그 3분의 1입니다.

3. 밑넓이 48, 높이 3일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 48 × 3 = 144
   2. 3으로 나눔: 144 ÷ 3 = 48
   3. 부피: 48

   부피가 밑넓이와 같은 48로 나오는 경우입니다. 높이가 3이라서 곱한 값이 밑넓이의 세 배가 되고, 3으로 나누면 다시 밑넓이로 돌아옵니다. 높이가 3일 때만 이렇게 되므로 특별한 성질은 아니고, 숫자가 겹쳐 보이는 것뿐입니다. 첫 번째 예와 부피가 같지만 밑넓이와 높이의 조합은 전혀 다르다는 점도 눈여겨볼 만합니다.

4. 밑넓이 100, 높이 12일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 100 × 12 = 1200
   2. 3으로 나눔: 1200 ÷ 3 = 400
   3. 부피: 400

   밑넓이가 둘째 예와 같은 100인데 높이를 9에서 12로 늘렸습니다. 높이의 비가 12 대 9, 즉 4 대 3이므로 부피도 400 대 300으로 같은 비가 됩니다. 밑넓이가 그대로일 때 부피는 높이에 정비례한다는 것을 이 두 예를 나란히 놓고 확인할 수 있습니다. 곱하는 값이 두 개뿐이라 어느 쪽을 바꿔도 같은 방식으로 반응합니다.

5. 밑넓이 2500, 높이 12일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 2500 × 12 = 30000
   2. 3으로 나눔: 30000 ÷ 3 = 10000
   3. 부피: 10000

   밑넓이 2500은 한 변이 50인 정사각형이고 높이가 12입니다. 부피가 10000세제곱센티미터로 10리터에 해당합니다. 앞의 예들과 견주어 보면 밑넓이를 25배로 키웠을 때 부피도 25배가 되었습니다. 밑넓이가 길이의 제곱으로 늘어나므로 부피도 같은 비율로 따라가지만, 도형 전체를 두 배로 키우는 것과는 다르다는 점을 구별해야 합니다.

6. 밑넓이 1, 높이 1일 때

   1. 밑넓이와 높이를 곱함: 1 × 1 = 1
   2. 3으로 나눔: 1 ÷ 3 = 0.3333…
   3. 부피: 0.33

   가장 작은 입력입니다. 1을 3으로 나누면 끝나지 않는 소수가 되는데, 이 페이지는 두 자리에서 반올림해서 0.33을 보여 줍니다. 실제 값은 0.3333으로 계속 이어지므로, 인쇄된 0.33을 다시 3배 하면 0.99가 되어 정확히 1로 돌아오지 않습니다. 3으로 나누는 계산에는 이런 반올림 오차가 늘 따라붙는다는 것을 기억해 두면 좋습니다.

이 페이지는 각뿔과 원뿔만 다룹니다. 밑면이 다각형이거나 원이고 위로 좁아져 한 점에서 만나는 도형이어야 하며, 기둥 모양은 이 페이지의 대상이 아닙니다. 기둥은 3으로 나누지 않으므로 이 페이지에 넣으면 부피가 3분의 1로 나옵니다. 각기둥과 원기둥은 따로 다루는 페이지가 맡고 있습니다. 밑넓이는 밑면의 넓이이고, 밑변의 길이가 아닙니다. 밑면이 정사각형이라면 한 변의 길이를 제곱해서 넣어야 하고, 길이를 그대로 넣으면 부피가 터무니없이 작게 나옵니다. 밑면의 모양이 무엇이든 밑넓이를 먼저 구해서 넣는 것이 순서입니다. 높이는 밑면에서 꼭대기까지의 수직 거리입니다. 옆면을 따라 비스듬히 잰 길이를 넣으면 부피가 실제보다 크게 나오고, 꼭대기가 밑면 위에 있지 않은 비스듬한 각뿔에서는 더욱 헷갈립니다. 밑면이 놓인 평면까지의 수직 거리를 재야 합니다. 결과는 소수점 둘째 자리까지 인쇄되고 반올림된 값입니다. 3으로 나누는 계산이라 나누어떨어지지 않는 경우가 많아서, 인쇄된 값에 3을 곱하면 원래의 곱셈 결과로 정확히 돌아오지 않을 수 있습니다. 정밀한 계산이 필요하면 이 페이지의 값을 기초로 삼되 오차를 감안해야 합니다. 밑넓이에 넣을 수 있는 값의 범위가 높이보다 훨씬 넓은 것은 밑넓이가 길이의 제곱이기 때문입니다. 아주 큰 값을 넣으면 부피가 감당하기 어려운 자릿수까지 커지므로 실제로 다루는 크기인지 한 번 확인하는 편이 좋습니다.

왜 3으로 나누나요?

같은 밑넓이와 높이를 가진 기둥의 부피가 각뿔의 정확히 세 배이기 때문입니다. 기둥 안에 밑면이 같고 꼭대기가 기둥의 한 꼭짓점에 닿는 각뿔을 그리면, 남는 공간이 정확히 각뿔 두 개 분량이 됩니다. 그래서 각뿔은 기둥의 3분의 1이고, 부피를 구할 때 3으로 나눕니다. 원뿔도 같은 관계입니다.

밑넓이는 어떻게 구하나요?

밑면의 모양에 따라 다릅니다. 정사각형이면 한 변의 제곱, 직사각형이면 가로와 세로의 곱, 삼각형이면 밑변과 높이의 곱의 절반입니다. 어떤 방법으로 구했든 그 값을 밑넓이 칸에 넣으면 나머지 계산은 같습니다. 밑변의 길이를 그대로 넣으면 안 되고 반드시 넓이로 바꿔서 넣어야 합니다.

높이는 어떻게 재나요?

밑면에서 꼭대기까지 수직으로 잰 거리입니다. 옆면을 따라 비스듬히 재면 안 되고, 꼭대기에서 밑면이 놓인 평면까지 곧게 내려온 거리를 재야 합니다. 꼭대기가 밑면 한가운데 위에 있지 않은 비스듬한 각뿔에서도 높이는 수직 거리이고, 부피는 같은 밑넓이와 높이의 곧은 각뿔과 같습니다.

원뿔도 이 페이지로 되나요?

됩니다. 원뿔은 밑면이 원인 각뿔이라고 볼 수 있어서 같은 3분의 1이 적용됩니다. 밑넓이 칸에 원의 넓이인 반지름의 제곱 곱하기 원주율을 넣으면 됩니다. 다만 원뿔의 모선 길이나 옆넓이, 겉넓이까지 필요하다면 원뿔만 다루는 페이지가 더 편합니다.

기둥의 부피와 어떤 관계인가요?

같은 밑넓이와 높이라면 각뿔의 부피가 기둥의 정확히 3분의 1입니다. 각뿔의 부피에 3을 곱하면 기둥의 부피가 되고, 기둥의 부피를 3으로 나누면 각뿔이 됩니다. 기둥의 부피는 3으로 나누지 않으므로, 기둥 모양을 이 페이지에 넣으면 부피가 3분의 1로 나온다는 점을 주의해야 합니다.

소수점이 두 자리뿐인 이유는 무엇인가요?

3으로 나누는 계산이라 나누어떨어지지 않는 경우가 많기 때문입니다. 밑넓이 1에 높이 1을 넣으면 0.33으로 인쇄되는데 실제 값은 0.3333으로 계속 이어집니다. 인쇄된 값에 3을 곱하면 0.99가 되어 정확히 1로 돌아오지 않습니다. 정밀한 계산이 필요하면 오차를 감안해서 쓰는 편이 좋습니다.

밑면이 다각형이면 어떻게 넣나요?

밑면의 모양과 상관없이 넓이로 바꿔서 넣으면 됩니다. 이 페이지가 밑변의 길이가 아니라 밑넓이를 받는 이유가 바로 그것입니다. 밑면이 오각형이든 육각형이든 넓이만 구하면 같은 식이 통합니다. 정다각형의 넓이를 구하는 계산은 변의 수를 받는 다른 페이지에서 할 수 있습니다.

• Pyramid — 밑면이 다각형이고 옆면이 한 점에서 만나는 도형. 부피가 같은 밑넓이와 높이의 기둥의 3분의 1이라는 근거가 여기 있다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Cone — 밑면이 원인 각뿔. 같은 3분의 1이 적용되므로 이 페이지에서도 같은 식으로 구할 수 있다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — 입체가 차지하는 공간의 크기. 밑넓이와 높이로 부피를 구하는 관계가 정리되어 있다 — Wolfram MathWorld (United States)