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CalcMax

활꼴 넓이 계산기

범위: 0 cm – 1,000,000,000 cm

범위: 0 ° – 360 °

계산 결과

7.1350 cm²

넓이

현의 길이
7.0711 cm
호의 길이
7.8540 cm
활꼴의 높이
1.4645 cm

활꼴 넓이 계산기는 원의 반지름과 중심각을 받아, 그 둘이 정하는 현과 그 위의 호 사이에 남는 영역의 넓이를 돌려줍니다. 함께 나오는 값은 현의 길이와 호의 길이, 그리고 그 영역이 얼마나 깊은지를 나타내는 활꼴의 높이입니다. 활꼴은 부채꼴에서 삼각형 하나를 덜어 낸 모양입니다. 부채꼴은 반지름 두 개와 호로 둘러싸인 피자 한 조각이고, 그 조각에서 반지름 두 개와 현이 이루는 삼각형을 잘라 내면 직선과 곡선 사이에 남는 달 모양 조각이 됩니다. 사과를 한 입 베어 낸 자리, 아치형 창, 일부만 채워진 관의 단면, 원형 경계를 현 하나로 잘라 낸 땅이 모두 이 모양입니다. 계산은 두 조각을 구한 뒤 빼는 일입니다. 부채꼴의 넓이는 전체 원에 대한 비율로 구하고, 삼각형의 넓이는 반지름의 제곱에 각의 사인을 곱해 반으로 나눕니다. 하나에서 다른 하나를 빼면 끝입니다. 그런데 이 뺄셈은 그냥 적용하는 것이 아니라 이해해 둘 만합니다. 이 페이지가 어느 쪽 답을 원했는지 알려 줄 수 없게 되는 지점이 바로 여기이기 때문입니다. 현 하나는 원을 두 영역으로 나누는데, 작은 쪽과 큰 쪽이 있고, 같은 반지름과 같은 중심각이 현의 어느 쪽을 뜻하느냐에 따라 둘 다를 가리킵니다. 반원보다 작으면 헷갈릴 일이 없습니다. 반원을 넘어서면 식이 조용히 반대쪽으로 건너갑니다. 기본값은 반지름 5센티미터에 중심각 90도이고, 뺄셈이 하는 일이 가장 선명하게 보이는 줄입니다. 부채꼴이 19.6349인데 삼각형이 그중 12.5를 가져가고 7.135가 남습니다. 조각이 덮던 넓이의 3분의 1꼴입니다. 활꼴의 높이는 이 도형을 손에 잡히게 만들어 줍니다. 호가 현 위로 1.4645센티미터밖에 솟지 않으니, 통통한 원의 일부가 아니라 꽤 평평한 조각입니다. 반원이 되는 180도는 이 페이지와 옆의 부채꼴 페이지가 만나는 자리입니다. 그 각도에서 현은 지름이 되고 반지름 두 개는 현 위에 나란히 눕습니다. 그래서 삼각형에 뺄 넓이가 없고, 활꼴은 반원 전체가 됩니다. 넓이는 39.2699로, 부채꼴 페이지가 반원에 대해 인쇄하는 값과 정확히 같습니다. 높이는 반지름과 같은 5이고, 이것이 이 원의 활꼴이 부풀 수 있는 최대치입니다. 270도에서는 식이 반대쪽으로 건너갑니다. 사인이 음수가 되면서 빼기가 더하기로 바뀌고, 페이지는 71.4049를 돌려줍니다. 원을 현 하나로 잘랐을 때 나오는 두 영역 가운데 큰 쪽이며 작은 쪽이 아닙니다. 산술로는 맞는 답이지만 읽는 사람이 마음에 둔 영역이 아닌 경우가 매우 흔합니다. 그래서 이 페이지에는 어느 답도 작은 활꼴이나 큰 활꼴이라고 이름 붙이지 않았습니다. 참고표는 반지름과 중심각에서 계산된 여덟 줄이고, 결과 패널과 같은 소수점 네 자리를 씁니다.

얇은 조각부터 원 전체까지, 흔한 활꼴

반지름 (cm)중심각 (°)넓이 (cm²)현 (cm)호의 길이 (cm)활꼴의 높이 (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

여덟 개의 활꼴이고 처음 두 열이 입력입니다. 처음 두 줄을 나란히 읽으면 활꼴이 얼마나 빠르게 줄어드는지 보입니다. 60도 줄은 90도 줄의 3분의 2 각도인데 넓이는 3분의 1도 안 됩니다. 각도가 작을 때 삼각형이 부채꼴을 거의 다 먹어 버리기 때문입니다. 셋째 줄은 180도이고, 삼각형에 뺄 넓이가 없어 활꼴이 그대로 반원이 됩니다. 39.2699로, 부채꼴 페이지가 반원에 대해 인쇄하는 값과 정확히 같습니다. 다섯째 줄은 조심해서 읽어야 합니다. 270도에서 사인은 음수라 뺄셈이 덧셈으로 바뀌고, 페이지는 71.4049를 돌려줍니다. 현이 잘라 낸 두 영역 가운데 작은 쪽이 아니라 큰 쪽입니다. 그 현의 길이는 7.0711로 90도 줄과 같은데, sin(135°)와 sin(45°)가 같기 때문입니다. 각도는 둘인데 현은 하나이고, 활꼴은 열 배 넘게 커졌습니다. 여섯째 줄은 반지름 10센티미터의 반원이고 넓이가 157.0796입니다. 일곱째 줄은 한 바퀴로, 현이 0까지 줄어들고 활꼴이 원 전체로 자라나며 높이가 10, 곧 지름이 됩니다. 활꼴이 부풀 수 있는 최대치입니다. 여덟째 줄은 각도가 0인 경우로 네 읽음이 모두 0입니다. 여기 있는 모든 수는 페이지가 만들어질 때 반지름과 각도에서 다시 계산되며, 단위는 센티미터와 도이고, 소수점 네 자리는 결과 패널이 쓰는 것과 같은 네 자리입니다.

공식

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

반지름 r
중심에서 호까지의 거리이며 단위는 센티미터입니다. 잘라 내는 삼각형 밑변의 절반이고, 그 원이 얼마나 컸는지를 말해 주는 수입니다
중심각 θ
현이 중심에서 이루는 각이며 단위는 도입니다. 반지름과 함께 활꼴을 정합니다. 부채꼴이 원에서 차지하는 몫과, 잘려 나가는 삼각형이 얼마나 높은지를 함께 정합니다
넓이 A
활꼴의 면적이며 단위는 제곱센티미터입니다. 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 값입니다. 180도 아래에서는 현이 만드는 두 영역 가운데 작은 쪽이고, 180도를 넘으면 뺄셈이 덧셈으로 바뀌어 큰 쪽이 나옵니다
현의 길이 c
활꼴을 닫아 주는 직선이며 단위는 센티미터이고, 잘려 나간 삼각형의 밑변입니다. 180도에서 지름까지 자라났다가 다시 줄어들어 한 바퀴에서 0이 됩니다
호의 길이 L
굽은 가장자리를 따라간 거리이며 단위는 센티미터입니다. 삼각형을 잘라 내도 곡선은 달라지지 않으므로 부채꼴의 호와 같은 값입니다. 활꼴의 바깥 경계이고 각도에 따라 계속 자랍니다
활꼴의 높이 h
호가 현의 한가운데 위로 얼마나 솟았는지를 나타내며 단위는 센티미터입니다. 활꼴의 깊이이고, 평평한 변에 자를 대고 실제로 잴 수 있는 값입니다. 각도가 0일 때 0에서 한 바퀴일 때 지름까지 자랍니다
½r² sin θ
반지름 두 개와 현이 만드는 삼각형의 넓이입니다. 90도에서 가장 크고 180도에서 0으로 떨어지며, 반원에 뺄 삼각형이 없는 이유가 여기 있습니다
소수점 네 자리
모든 읽음을 적는 폭입니다. 네 값 모두 π나 사인을 품고 있어 거의 끝나지 않고, 넓이는 그런 두 수의 차라서 마지막 자리가 이 페이지에서 가장 믿기 어려운 자리입니다

이 페이지는 직선 하나가 원에서 잘라 낸 영역을 위한 것이고, 그 모양은 유래가 된 부채꼴보다 실생활에서 훨씬 자주 나옵니다. 윗부분이 굽은 아치형 창이나 문은 직사각형 위에 얹힌 활꼴이고, 위는 호이고 옆은 곧은 터널의 단면도 그렇습니다. 일부만 채워진 관과 탱크가 대표적인 경우입니다. 가로로 눕힌 원기둥에서 액체가 닿는 단면이 활꼴이므로, 통에 든 액체의 부피는 원이 아니라 활꼴 문제가 됩니다. 지도에서는 직선으로 그은 지번 경계와 굽은 도로나 강 사이의 땅이 활꼴이고, 원형 경계 안쪽에 직선 울타리를 세우고 남은 가장자리 조각도 활꼴입니다. 제조 현장에서는 둥근 봉이나 원형 소재를 현 방향으로 잘라 냈을 때 남는 조각이 활꼴이고, 이때 손에 있는 것이 각도가 아니라 절단 깊이라면 높이 식을 쓰면 됩니다. 평평한 면에 자를 대고 곡선의 가장 깊은 점까지 내려 재면 높이가 바로 나오고, 각도는 거기서 되돌려 구할 수 있습니다. 한 입 베어 낸 자리도 같은 모양입니다. 둥근 과자에서 베어 낸 자리는 이빨 자국을 가로지르는 현과 그 위의 호로 이루어지고, 높이가 바로 그 한 입의 깊이입니다.

계산 예시

  1. 4분의 1 원의 활꼴

    1. 부채꼴의 넓이: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19.6349…
    2. 삼각형의 넓이: ½ × 5² × sin(90°) = 12.5
    3. 활꼴의 넓이: 19.6349 − 12.5 = 7.1349…, 반올림하면 7.135
    4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(45°) = 7.0711
    5. 호의 길이: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7.854
    6. 활꼴의 높이: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0.2928932 = 1.4645

    페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 값이고 뺄셈이 하는 일이 가장 선명한 예입니다. 부채꼴이 19.6349인데 삼각형이 12.5를 가져가고 7.135가 남습니다. 조각이 덮던 넓이의 3분의 1꼴입니다. 높이가 도형을 손에 잡히게 해 줍니다. 호가 현 위로 1.4645센티미터밖에 솟지 않으니, 통통한 원의 일부가 아니라 꽤 평평한 조각입니다.

  2. 60도의 얕은 활꼴

    1. 부채꼴의 넓이: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13.0899…
    2. 삼각형의 넓이: ½ × 5² × sin(60°) = 12.5 × 0.8660254 = 10.8253
    3. 활꼴의 넓이: 13.0899 − 10.8253 = 2.2646…, 반올림하면 2.2647
    4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(30°) = 5
    5. 호의 길이: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5.236
    6. 활꼴의 높이: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0.1339746 = 0.6699

    바로 위 줄과 같은 원이지만 각도가 좁고, 넓이는 각도가 줄어든 폭보다 훨씬 많이 줄어듭니다. 각도는 3분의 2인데 넓이는 7.135에서 2.2647로 떨어집니다. 삼각형이 부채꼴을 거의 다 먹어 버리기 때문입니다. 부채꼴이 13.0899인데 삼각형이 그중 10.8253을 가져갑니다. 각도가 작을 때 활꼴은 얇은 조각이고, 넓이는 각도보다 훨씬 빠르게 줄어듭니다.

  3. 반원

    1. 부채꼴의 넓이: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39.2699…
    2. 삼각형의 넓이: ½ × 5² × sin(180°) = 0
    3. 활꼴의 넓이: 39.2699 − 0 = 39.2699
    4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(90°) = 10
    5. 호의 길이: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15.708
    6. 활꼴의 높이: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

    삼각형이 사라지는 각도입니다. 180도에서 현은 지름이 되고 반지름 두 개는 그 위에 나란히 눕습니다. 그래서 뺄 삼각형의 넓이가 없고 활꼴은 반원 전체가 됩니다. 39.2699로, 부채꼴 페이지가 반원에 대해 인쇄하는 값과 정확히 같습니다. 높이는 반지름과 같은 5이고, 이것이 이 원의 활꼴이 부풀 수 있는 최대치입니다.

  4. 원의 3분의 1

    1. 부채꼴의 넓이: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37.6991
    2. 삼각형의 넓이: ½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0.8660254 = 15.5885
    3. 활꼴의 넓이: 37.6991 − 15.5885 = 22.1106…, 반올림하면 22.1107
    4. 현의 길이: 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923
    5. 호의 길이: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12.5664
    6. 활꼴의 높이: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0.5 = 3

    이 페이지를 양옆 페이지와 나란히 놓아 주는 줄입니다. 현의 길이는 6√3이고 호의 길이는 4π로, 같은 원의 120도 부채꼴 페이지가 인쇄하는 값과 같습니다. 삼각형을 덜어 내도 현과 호는 달라지지 않습니다. 둘 다 그 삼각형에 속하지 않기 때문입니다. 높이가 정확히 3인 것은 60도의 코사인이 2분의 1이기 때문이고, 이는 반지름의 절반입니다.

  5. 270도의 큰 활꼴

    1. 부채꼴의 넓이: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58.9049
    2. 삼각형의 넓이: ½ × 5² × sin(270°) = 12.5 × (−1) = −12.5
    3. 활꼴의 넓이: 58.9049 − (−12.5) = 71.4049
    4. 현의 길이: 2 × 5 × sin(135°) = 7.0711
    5. 호의 길이: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23.5619
    6. 활꼴의 높이: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1.7071068 = 8.5355

    조심해서 읽어야 하는 줄이고, 이 페이지가 답이 그럴듯한지 판정하지 않는 이유를 설명해 주는 줄입니다. 270도에서 사인은 음수라, 삼각형을 빼는 일이 12.5를 덜어 내는 대신 더하게 됩니다. 그래서 페이지는 71.4049를 돌려줍니다. 현이 잘라 낸 두 영역 가운데 작은 쪽이 아니라 큰 쪽입니다. 산술로는 맞는 답이고, 읽는 사람이 마음에 둔 영역이 아닌 경우가 매우 흔합니다. 어느 답도 작거나 큰 활꼴이라고 이름 붙이지 않은 이유입니다. 현의 길이는 7.0711로 위의 90도 줄과 같은데, sin(135°)와 sin(45°)가 같기 때문입니다. 각도는 둘인데 현은 하나이고, 활꼴은 열 배 넘게 커졌습니다.

한계

이 페이지는 활꼴만 다룹니다. 평평한 원 위에서 곧은 현 하나와 그 위의 호로 둘러싸인 영역이며, 부채꼴은 여기서 삼각형을 덜어 내기 전의 도형입니다. 180도를 넘으면 산술이 반대쪽으로 건너가, 현이 잘라 낸 두 영역 가운데 작은 쪽이 아니라 큰 쪽을 돌려줍니다. 이는 의도한 것이고 피할 수 없습니다. 식은 어느 쪽을 뜻했는지 전달받을 방법이 없기 때문이고, 그래서 이 페이지의 어떤 답에도 작은 활꼴이나 큰 활꼴이라는 이름을 붙이지 않았습니다. 넓이는 π나 사인을 품은 두 수의 차라서, 마지막 자리가 이 페이지에서 가장 믿기 어려운 자리입니다. 현과 호는 삼각형을 덜어 내도 달라지지 않으므로, 달 모양이 아니라 부채꼴이 필요했다면 옆의 부채꼴 페이지를 쓰십시오. 읽음값은 드롭다운이 무엇으로 맞춰져 있든 센티미터와 제곱센티미터로 나오므로, 인치로 넣은 반지름은 센티미터 답으로 돌아오고 그것은 직접 환산해야 합니다. 높이는 현에서 호의 가장 깊은 점까지를 잰 값이고 각도를 모를 때 손에 잡히는 값이지만, 페이지가 높이에서 각도로 거꾸로 풀어 주지는 않습니다. 360도를 넘는 각은 감아 돌리지 않고 거부합니다. 타원에서 잘라 낸 조각, 호 전체를 가로지르지 않는 현, 통의 널빤지나 아치 벽돌처럼 두께와 옆면이 있는 물체는 여기서 다루지 않습니다.

자주 묻는 질문

활꼴은 부채꼴과 어떻게 다른가요?
부채꼴은 반지름 두 개와 호로 둘러싸인 조각, 곧 피자 한 조각입니다. 활꼴은 그 조각에서 삼각형을 잘라 내고 남은 부분, 곧 현과 호 사이의 영역입니다. 옆의 부채꼴 페이지가 그 조각을 계산하고, 이 페이지는 거기서 ½r²sin θ를 덜어 내고 남은 것을 계산합니다. 현의 길이와 호의 길이는 두 페이지가 같은 값을 인쇄합니다.
270도를 넣었더니 왜 더 큰 영역이 나오나요?
삼각형의 넓이가 ½r²sin θ인데 180도를 넘으면 사인이 음수가 되어, 빼는 일이 덜어 내는 대신 더하기 때문입니다. 산술은 맞고 답은 현이 잘라 낸 두 영역 가운데 큰 쪽입니다. 이 페이지는 어느 답도 작은 활꼴이나 큰 활꼴이라고 이름 붙이지 않습니다. 반지름과 각도만으로는 어느 영역을 뜻했는지 알 방법이 없으므로, 하나를 계산해 놓고 읽는 일은 사용자에게 남겨 둡니다.
활꼴의 높이는 어디에 쓰나요?
호가 현의 한가운데 위로 얼마나 솟았는지, 곧 활꼴의 깊이입니다. 이 값이 있는 이유는 그것이 실제로 잴 수 있는 측정값이기 때문입니다. 평평한 변에 자를 대고 곡선의 가장 깊은 점까지 내려 재면 각도 없이도 높이가 나옵니다. 각도가 0일 때 0에서 한 바퀴일 때 지름까지 자라나며, 일부만 채워진 관을 설명할 때 흔히 쓰는 값입니다.
현과 호가 부채꼴 페이지와 똑같은 이유는 무엇인가요?
둘 다 잘려 나가는 삼각형에 속하지 않기 때문입니다. 뺄셈이 덜어 내는 것은 반지름 두 개와 현으로 둘러싸인 영역이고, 현 자체는 그 삼각형의 경계이지 내부가 아니며 호는 아예 건드리지 않습니다. 그래서 같은 원의 120도 활꼴과 120도 부채꼴은 현의 길이와 호의 길이가 같고 넓이만 다릅니다.
이 도형은 어디에 쓰나요?
직선 하나가 원을 가로지르는 모든 자리입니다. 가로로 눕힌 관이나 탱크를 일부만 채웠을 때 액체의 단면이 활꼴이고, 통에 든 액체의 부피가 원이 아니라 활꼴 문제인 이유가 여기 있습니다. 아치형 창, 곧은 벽 위에 얹힌 터널 천장, 직선으로 그은 지번 경계와 굽은 도로 사이의 땅, 둥근 봉을 비스듬히 잘라 냈을 때 남는 조각, 둥근 과자에서 한 입 베어 낸 자리가 모두 활꼴입니다.
높이에서 각도를 거꾸로 구할 수 있나요?
이 페이지에서는 안 됩니다. 높이는 출력이지 입력이 아닙니다. 높이가 r(1 − cos(θ ÷ 2))이므로 코사인을 되돌려 역함수를 취하면 각도가 나오지만, 페이지는 그 일을 하지 않습니다. 깊이를 재 두었다면 참고표의 높이 열이 잰 값과 맞을 때까지 각도를 바꾸어 보거나, 역산을 따로 하는 것이 실용적인 길입니다.

참고 문헌

관련 계산기

부채꼴 넓이 계산기반지름과 중심각으로 넓이, 호, 현을 구합니다.원 계산기하나를 알면 나머지 셋을 바로 구합니다.호의 길이 계산기반지름과 중심각으로 호의 길이를 구합니다.중심각 계산기호의 길이와 반지름으로 중심각을 구합니다.