동경이 같은 각 계산기

θ′ = θ + 360°n 동경이 같은 각 = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

입력한 각이고 단위는 도입니다. 음수여도 되고 한 바퀴보다 훨씬 커도 됩니다. 둘 다 여기서는 특별한 경우가 아니라 보통의 입력입니다

n

양수든 음수든 0이든 되는 정수입니다. n의 값마다 동경을 공유하는 가족의 구성원 하나가 정해지므로 그런 각은 무한히 많고, 페이지는 그중 가장 쓸모 있는 둘을 인쇄합니다

360°

한 바퀴입니다. 이것을 빼도 반직선은 있던 자리를 그대로 가리키므로, 두 각이 다른 각이 아니라 동경이 같은 각이 됩니다

⌊θ ÷ 360°⌋

빼내는 바퀴 수이고 음의 무한대 쪽으로 내림하지 0 쪽으로 자르지 않습니다. 0 쪽으로 자르면 음의 각이 구간 안으로 감기지 않고 구간 밖에 그대로 남는데, 이 페이지가 조용히 틀릴 수 있는 유일한 자리입니다

같은 위치의 각

0도부터 360도 미만까지의 대표값입니다. 삼각함수 표와 단위원이 기준으로 삼는 값이고 대부분의 답이 이 형태로 필요합니다

같은 위치의 음의 각

같은 반직선을 음의 회전으로 적은 것입니다. 약분된 각에서 한 바퀴를 뺀 값이라 −360도부터 0도 미만까지에 놓입니다. 언제나 다른 값보다 정확히 360만큼 아래입니다

소수점 두 자리

값을 적는 폭입니다. 각은 보통 초 단위가 아니라 도의 분수로 재고, 소수점 두 자리는 각도기가 정직하게 말할 수 있는 한계에 가깝습니다

각이 한 바퀴를 넘게 감겼는데 한 바퀴 안쪽의 답이 필요할 때마다 씁니다. 축과 회전 기계가 가장 분명합니다. 커플링이 세 바퀴 반 돌아간 최종 자세는 360 미만의 각으로 적히고, 같은 약분이 캠과 크랭크, 턴테이블, 그리고 이동 거리를 바퀴 수로 적는 로봇 관절에도 적용됩니다. 감기와 권선이 둘째입니다. 14번 감은 코일, 풀었다가 다시 감은 케이블, 정해진 바퀴 수만큼 돌린 스프링이 모두 바퀴 수로 세어지고 도로 필요해집니다. 측정기가 셋째입니다. 신호의 여러 주기에 걸쳐 누적된 위상각, 초기화 없이 계속 세는 엔코더에서 읽은 총각, 누적된 방위 오차, 그리고 한 바퀴를 넘겨 세도록 놔둔 각을 보고하는 모든 계기가 그렇습니다. 항해와 측량에서는 더하고 빼기를 거듭해 0에서 360 범위를 벗어난 방위에, 그리고 두 방위의 차이에 씁니다. 방위 −30도가 330으로 다시 적히는 것이 그런 까닭입니다. 수학에서는 거의 모든 삼각 계산의 첫 걸음입니다. 사인과 코사인 값 표는 한 바퀴만 덮으므로 그 범위 밖의 각은 표를 쓰기 전에 안으로 되돌려야 합니다. 교실에서는 주기성의 시각적 시연입니다. 30도와 390도와 750도에 같은 동경을 그려 보면 세 반직선이 한 줄에 놓이고, 사인이 360도마다 반복되는 까닭이 외울 규칙이 아니게 됩니다. 일상적인 산수에서는 한 각에서 다른 각을 뺐더니 음수가 나온 몇몇 경우인데, 부호 있는 값이 아니라 0에서 360 사이의 답을 처음으로 원하게 되는 지점입니다.

1. 400도

   1. 바퀴 수를 셈: 400 ÷ 360 = 1.11이므로 한 바퀴가 빠짐
   2. 빼냄: 400 − 360 = 40
   3. 음의 대표값을 위해 한 바퀴를 더 뺌: 40 − 360 = −320

   페이지가 처음 열릴 때의 짝이고, 한 바퀴를 겨우 넘긴 값으로 골랐습니다. 이 개념을 처음 만나는 사람도 전 과정을 한 걸음에 볼 수 있습니다. 두 답은 360만큼 떨어져 있는데, 이는 표의 모든 줄에서 참이고 결과가 말이 되는지 확인하는 가장 빠른 길입니다.

2. 750도

   1. 바퀴 수를 셈: 750 ÷ 360 = 2.08이므로 두 바퀴가 빠짐
   2. 빼냄: 750 − 720 = 30
   3. 한 바퀴를 더 뺌: 30 − 360 = −330

   30도와 동경이 같으면서 두 바퀴 더 돌아간 각이고, 표가 무엇을 위한 것인지 보여 주는 두 줄입니다. 바퀴 열에서 약분을 읽는 것, 곧 750에서 두 바퀴를 빼면 30이 남는다는 것이 손으로 하는 산수 그대로이고, 그 열이 표에 있는 까닭입니다.

3. −30도

   1. 바퀴 수를 내림으로 셈: −30 ÷ 360 = −0.08이고 내림하면 −1
   2. 그 바퀴를 되돌려 더함: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. 음의 쪽을 위해 한 바퀴를 뺌: 330 − 360 = −30

   대부분의 사람이 도착하는 방향입니다. 한 방위에서 다른 방위를 빼면 음의 각이 나오기 때문입니다. 음의 대표값이 원래 입력 그대로라는 점을 보십시오. −30은 이미 음의 구간 안에 있습니다. 여기서 내림은 아래로 가야 합니다. 0 쪽으로 자르면 −30이 양의 구간 안으로 감기지 않고 밖에 그대로 남습니다.

4. 1000도

   1. 바퀴 수를 셈: 1000 ÷ 360 = 2.78이므로 두 바퀴가 빠짐
   2. 빼냄: 1000 − 720 = 280
   3. 한 바퀴를 더 뺌: 280 − 360 = −80

   두 바퀴와 나머지 280이고, 여기서부터 산수가 뻔하지 않아집니다. 답이 0에 가까운 것이 아니라 한 바퀴에 가깝고, 앞의 예들처럼 작은 나머지를 기대한 사람은 놀랍니다. 페이지는 백만 도도 받는데 같은 280과 −80이 나옵니다. 바퀴 수만 달라지고 동경은 달라지지 않습니다.

5. 0도

   1. 빠지는 바퀴가 없음: 0은 이미 구간 안에 있음
   2. 양의 대표값은 0
   3. 음의 쪽을 위해 한 바퀴를 뺌: 0 − 360 = −360

   음의 쪽 규칙을 확정하는 경우입니다. 다른 관습을 따르면 두 값 모두 0을 인쇄하는데, 그것은 아무 일도 하지 못한 페이지처럼 읽힙니다. 음의 대표값을 약분된 각보다 한 바퀴 아래로 잡으면 인쇄되는 두 수가 절대 같아지지 않고, 이 경계에서도 다른 모든 곳과 마찬가지로 그렇습니다.

이 페이지는 각을 약분하고 거기서 멈춥니다. 동경이 어느 사분면에 있는지 말하지 않고, 기준각을 주지 않고, 삼각함수 값을 계산하지도 않습니다. 그 하나하나가 각자의 페이지에 속합니다. 도만 받고 라디안 출력은 없으므로 라디안으로 주어진 각은 바꿔서 넣어야 합니다. 입력은 어느 방향으로든 백만 도, 곧 약 2778바퀴로 제한되는데, 그보다 크면 산수는 계속 돌아가겠지만 그 수는 아무도 재지 않는 것에 대응하지 않습니다. 인쇄되는 두 수는 언제나 정확히 360도 차이 나고 음의 쪽이 언제나 아래이므로, 음수를 넣어 양수가 나올 수도 있고 그 반대일 수도 있습니다. 엄밀히는 동경이 같은 각이 서로 일치하지 않으면서 동경이 같은 각으로 정의되므로, 넣은 각은 그 엄밀한 뜻으로 자기와 동경이 같지 않습니다. 자기와 일치할 뿐입니다. 이 페이지는 같은 동경 위의 각이면 무엇이든 해당한다는 일상적 용법을 따르고, 그것을 각주가 아니라 여기에서 밝힙니다. 각은 소수점 두 자리로 반올림되는데 이는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아닙니다. 도와 분, 초를 따로 다루지 않고, 그라디안이나 바퀴로 잰 각도 다루지 않습니다.

40을 넣었는데 같은 위치의 각도 40이 나왔습니다. 아무 일도 안 일어난 건가요?

할 일이 없었던 것입니다. 40은 이미 한 바퀴 안에 있으므로 자기 자신이 대표값이고 약분은 건드리지 않습니다. 엄밀히는 동경이 같은 각이 서로 일치하지 않으면서 같은 반직선에서 끝나는 각으로 정의되므로, 각은 그 정의 아래에서 자기와 동경이 같지 않습니다. 자기와 일치할 뿐입니다. 이 페이지는 같은 동경 위의 각이면 무엇이든 해당한다는 일상적 용법을 따르므로, 입력이 이미 약분되어 있으면 첫 값은 입력을 그대로 되풀이합니다. 달라지는 것은 두 번째 값입니다.

음의 각이 왜 그냥 부호만 바꾼 것이 아니라 한 바퀴 아래인가요?

뻔한 대안이 0에서 깨지기 때문입니다. 음의 대표값을 −360부터 0까지 아무 값으로나 잡으면 0을 넣었을 때 0과 0이 인쇄됩니다. 같은 수가 둘이면 아무 일도 하지 않은 페이지처럼 읽힙니다. 약분된 각보다 정확히 한 바퀴 아래로 잡으면 인쇄되는 두 수가 절대 같아지지 않고 언제나 정확히 360도 차이 나며, 표의 모든 줄에서 확인할 수 있습니다.

음의 각을 넣어도 되나요?

됩니다. 가장 흔한 입력 가운데 하나입니다. 한 방위에서 다른 방위를 빼거나 회전을 반시계로 잴 때마다 음의 각이 나오고, −30도는 흔히 330으로 다시 적힙니다. 약분이 0 쪽이 아니라 아래로 내림하는 것도 바로 이 때문입니다. 0 쪽으로 자르면 −30이 구간 안으로 감기지 않고 밖에 그대로 남습니다.

두 답이 왜 항상 360도 차이인가요?

두 번째 값을 첫 번째 값에서 한 바퀴를 뺀 것으로 잡았기 때문입니다. 어떤 각에서 360도를 빼도 반직선은 있던 자리를 그대로 가리키므로, 두 수는 같은 동경을 말하고 정확히 한 바퀴만큼 다릅니다. 이 페이지가 주는 어떤 결과에도 쓸 수 있는 가장 빠른 점검입니다. 작은 값에 360을 더하면 큰 값에 닿아야 합니다.

각이 어느 사분면에 있는지도 알려 주나요?

아니요. 각을 약분하고 거기서 멈춥니다. 동경이 어느 사분면에 놓이는지, 그리고 그 동경과 가장 가까운 축 사이의 기준각은 기준각과 단위원 페이지의 주제입니다. 이 페이지가 하는 약분은 그 둘에 앞서는 걸음이라, 남의 출력 한 줄이 아니라 자기 페이지로 있는 것입니다.

라디안을 넣어도 되나요?

이 페이지에서는 안 됩니다. 도만 받고 단위 전환도 없습니다. 라디안으로 된 각은 180을 곱하고 π로 나눠 먼저 바꿔야 합니다. 약분 자체는 어느 단위에서도 같은 발상이지만, 페이지가 한 바퀴가 무엇인지 정하려면 어느 단위인지 먼저 알아야 합니다.

• Coterminal Angle — 동경이 같은 각의 정의와, 이 페이지가 구현한 방식, 그리고 n = 0인 경우가 동경이 같은 것이 아니라 일치하는 경우라는 점 — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — 각이란 무엇이고 표준 위치를 포함하며, 시초선과 동경이 거기서 정의됩니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — 삼각함수 표를 쓰기 전에 각을 한 바퀴 안으로 약분해야 하는 까닭이며, 이 약분이 가장 흔히 필요한 이유입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 각과 일반각은 이 단계와 고등학교 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部