삼각형 계산기

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b

알고 있는 두 변의 길이입니다. 둘은 서로 자리를 바꿀 수 있습니다. 어느 쪽을 a라고 부르든 페이지는 개의치 않고, 자리를 바꾸면 인쇄되는 두 각이 서로 바뀔 뿐입니다. 둘 다 0보다 커야 합니다. 한 변이 0이면 삼각형이 남지 않습니다

C

알고 있는 두 변 사이의 각이며, 도와 라디안과 그레이드 가운데 하나로 넣습니다. 두 변에 끼어 있으므로 끼인 각이라고 부르고, 이 페이지가 직접 지정하게 해 주는 유일한 각입니다. 0도에서 180도까지 무엇이든 좋습니다. 정확히 0도나 180도에서는 삼각형이 선으로 납작해지는데, 페이지는 그때도 답하며 한 각이 0도, 다른 각이 180도로 나옵니다

c

각 C 맞은편에 있는 세 번째 변입니다. 코사인 법칙에서 나오는데, 이 법칙은 직각이 아닌 삼각형을 위한 보정항을 붙인 피타고라스 정리입니다. C가 90도면 코사인이 0이라 보정항이 사라지고 a² + b² = c²만 남습니다. 나머지 모든 값이 이 변에 얹혀 있으므로 화면의 주된 답입니다

A, B

주지 않은 두 각이며 도로 표시됩니다. 각각은 세 변이 모두 밝혀진 삼각형에 코사인 법칙을 한 번 더 적용해 얻고, 세 번째 변은 반올림하기 전의 값으로 씁니다. 그래서 둘을 더하면 C와 함께 마지막 자리까지 180도가 됩니다. 거의 직각에 가까운 삼각형은 각을 소수 둘째 자리로 반올림한 뒤 정확히 90으로 나와 직각삼각형으로 보고될 수 있습니다. 분류는 화면에 인쇄된 수로 하고, 그 뒤의 수로 하지 않습니다

½ × a × b × sin C

제곱센티미터 단위의 넓이입니다. 알고 있는 두 변의 곱의 절반에 그 사이 각의 사인을 곱한 값입니다. 각을 아는 경우로 줄인 넓이 공식인데, 그러지 않았다면 필요했을 높이가 b × sin C이기 때문입니다. 그래서 같은 3과 4가 직각에서는 넓이 6을 내고 60도에서는 5.1962밖에 내지 않습니다. 변은 그대로인데도 그렇습니다

A + B + C = 180°

분류를 가능하게 하는 각의 합입니다. 세 각을 모두 알면 가장 큰 각이 예각삼각형인지, 직각삼각형인지, 둔각삼각형인지를 정하고, 가장 큰 각은 언제나 가장 긴 변 맞은편에 있습니다. 분류는 페이지가 인쇄한 두 각을 읽고 세 번째를 180에서 빼서 구하므로, 화면에 있는 수, 반올림까지 포함한 그 수를 판정합니다. 반올림 때문에 배지가 화면과 어긋날 일은 없습니다

두 변과 그 사이의 각을 가지고 있을 때 쓰는 페이지입니다. 현장에서 재거나 규격으로 정해진 것에서 흔한 경우입니다. 모퉁이 각을 아는 땅의 두 변이라든지, 정해진 각도로 만나는 두 버팀대, 물매와 수평 거리로 적어 둔 지붕 서까래, 한쪽 모서리에서 잘라 낸 천 조각이 모두 그렇습니다. 크기가 아니라 모양이 궁금할 때도 이 페이지가 맞습니다. 그 모퉁이가 직각인지, 이 삼각형이 예각삼각형인지, 세 변을 이렇게 주면 둔각삼각형이 될 수 있는지 같은 질문입니다. 페이지가 종류를 인쇄하기 때문입니다. 목수가 3-4-5로 모퉁이를 확인하는 그 검산에 그대로 대응합니다. 변 3과 4를 각 90도로 넣으면 직각삼각형이 나오고, 같은 두 변을 각 92도로 넣으면 둔각삼각형이 나오는데, 그때 세 번째 변은 이미 직각일 때보다 길어진 상태입니다. 세 변이 있고 각은 없을 때는 헤론의 공식 계산기를 쓰십시오. 밑변과 수직 높이가 있을 때는 삼각함수가 필요 없는 삼각형 넓이 계산기가 맞습니다. 각이 직각인 것을 이미 알고 있고 a² + b² = c² 그대로 가고 싶을 때는 피타고라스 정리 계산기를 쓰십시오. 변 둘이 같거나 셋이 모두 같은 특별한 대칭이 있을 때는 정삼각형과 이등변삼각형 페이지가 더 적은 수를 받고 각은 묻지 않고 내놓습니다.

1. 변 3과 4가 직각으로 만날 때

   1. 90도의 코사인이 0이라 보정항이 사라집니다: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. 넓이: ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. 둘레: 3 + 4 + 5 = 12
   4. 변 3 맞은편의 각 A: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0.8이므로 A = 36.87°
   5. 각 B: 180 − 90 − 36.87 = 53.13°
   6. 가장 큰 각이 90도이므로 페이지는 직각삼각형이라고 보고합니다

   3-4-5 삼각형이고, 분류가 왜 값어치가 있는지 보여 주는 줄입니다. 페이지가 직각을 알아보고 알려 주지, 확인은 알아서 하라고 남겨 두지 않습니다. 36.87과 53.13은 모든 3-4-5 삼각형에서 나오는 짝이고, 같은 산수의 반대편 끝인 대각선이 6과 8인 마름모에서도 나옵니다. 코사인 법칙이 피타고라스 정리를 품고 있다는 것을 가장 분명하게 보여 주는 자례이기도 합니다. 90도에서는 보정항이 0이라 두 공식이 같은 문장이 됩니다.

2. 변 5와 5가 60도로 만날 때

   1. 60도의 코사인이 0.5입니다: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0.5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. 세 번째 변이 준 두 변과 같게 나오므로 세 변이 모두 5입니다
   3. 넓이: ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12.5 × 0.866025… = 10.8253
   4. 둘레: 5 + 5 + 5 = 15
   5. 세 변이 같으니 세 각도 같습니다: (180 − 60) ÷ 2 = 60이므로 남은 두 각도 60으로 인쇄됩니다
   6. 가장 큰 각이 60도이므로 페이지는 예각삼각형이라고 보고합니다

   같은 두 변에 60도는 세 번째 변이 그 둘과 같아지도록 강제하는 유일한 각도이고, 삼각형은 정삼각형으로 나옵니다. 이등변삼각형의 밑변이 두 등변과 정확히 같아지는 각도가 60도이기 때문입니다. 이 하위 분류의 정삼각형 계산기는 같은 도형을 변 하나에서 풀어 내는데, 세 변이 같으면 더 물을 것이 없기 때문입니다. 여기서 하는 일의 재미는 세 번째 변이 5에 떨어진다는 것을 통보받는 대신 지켜보는 데 있습니다. 넓이 10.8253은 한 변이 5이고 한 각이 60도인 마름모에서 나오는 수와 같은데, 그 마름모가 이 삼각형 둘이므로 우연이 아닙니다.

3. 변 7과 8이 60도로 만날 때

   1. 60도의 코사인이 0.5입니다: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0.5) = √(113 − 56) = √57 = 7.549834… → 7.5498
   2. 넓이: ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0.866025… = 24.2487
   3. 둘레: 7 + 8 + 7.5498 = 22.5498
   4. 변 7 맞은편의 각 A: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7.5498) = 72 ÷ 120.797 = 0.596이므로 A = 53.41°
   5. 각 B: 180 − 60 − 53.41 = 66.59°
   6. 가장 큰 각이 66.59도이므로 페이지는 예각삼각형이라고 보고합니다

   평범한 경우이고, 아무것도 특별하지 않을 때 페이지가 무엇을 하는지 보고 싶다면 읽어 볼 줄입니다. 길이가 다른 두 변, 60도, 그리고 동그란 수가 아닌 답 셋입니다. 세 번째 변 7.5498은 7보다 길고 8보다 짧은데, 미리 말할 수 있는 것은 그것뿐입니다. 60도 맞은편의 변은 그를 감싸는 두 변 사이에 있고, 주지 않은 두 각은 남은 120도를 각자의 맞은편 변에 비례해 나눠 가지므로 짧은 변 7이 작은 몫인 53.41을 가져갑니다. 넓이 24.2487은 사다리꼴 페이지가 다른 네 변에서 얻는 24제곱센티미터와 가깝지만 같지는 않은데, 동그란 수는 공식이 아니라 입력에서 나온다는 것을 일러 주는 차이입니다.

4. 변 10과 10이 120도로 만날 때

   1. 120도의 코사인이 −0.5입니다: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0.5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17.320508… → 17.3205
   2. 넓이: ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0.866025… = 43.3013
   3. 둘레: 10 + 10 + 17.3205 = 37.3205
   4. 두 변이 같으니 두 각도 같습니다: (180 − 120) ÷ 2 = 30씩입니다
   5. 가장 큰 각이 120도이므로 페이지는 둔각삼각형이라고 보고합니다

   둔각삼각형이고, 코사인 법칙의 보정항이 줄어드는 대신 커지는 경우입니다. 120도의 코사인이 음수라 그것을 빼면 합에 더해져서, 세 번째 변이 준 두 변보다 길게 나옵니다. 10에 견주어 17.3205입니다. 90도를 넘는 각의 표시이고, 분류가 읽고 있는 것이 정확히 그것입니다. 넓이 43.3013은 같은 두 변이 직각에서 감쌀 50제곱센티미터보다 작으므로, 각을 90도 너머로 넓히면 맞은편 변의 길이를 얻는 대신 넓이를 잃습니다.

이 페이지는 두 변과 그 사이의 각으로 삼각형 하나를 풀고, 세 요소를 아는 나머지 조합은 풀지 않습니다. 세 변을 넣으면 쓸 재료가 없습니다. 헤론의 공식 계산기가 그쪽을 받아 넓이를 내놓고, 각은 이 페이지가 하지 않는 두 번째 단계를 거쳐야 나옵니다. 두 각과 한 변을 넣어도 마찬가지입니다. 내부적으로는 정확히 그 계산을 하고 있지만 밖으로 꺼내 주지는 않습니다. 거꾸로도 가지 않습니다. 넓이나 둘레에서 그 삼각형으로 돌아가는 길은 없고, 넓이가 같은 삼각형은 모양이 무한히 많습니다. 답은 입력한 단위와 무관하게 센티미터와 제곱센티미터로 나오고, 두 각은 라디안이나 그레이드로 넣었더라도 언제나 도로 적힙니다. 단위 선택은 각을 읽는 방식을 바꾸지 답을 적는 방식을 바꾸지 않습니다. 그 선택기가 이름 붙일 만한 유일한 함정이기도 합니다. 60라디안은 60도가 아니고, 페이지는 그 수가 각으로서 너무 크다는 것을 알려 주는 대신 선택된 단위로 삼각형을 계산합니다. 두 변은 0보다 커야 하므로 한 변이 0인 삼각형은 거절됩니다. 반면 각이 정확히 0도나 180도인 경우는 받아들여져 각이 0도, 180도, 0도인 납작한 삼각형이 나오고, 페이지는 그것을 둔각삼각형으로 분류합니다. 산술적으로는 일관되지만 거의 누구도 원하지 않을 결과이고, 도형이 무너졌다고 경고하지도 않습니다. 두 변이 같고 각이 0도인 조합은 답하지 않고 거절합니다. 세 번째 변이 0이 되어 삼각형이 남지 않기 때문입니다. 답 아래에 인쇄되는 종류는 화면에 인쇄된 각, 곧 소수 둘째 자리로 반올림된 각으로 정해지므로, 가장 큰 각이 89.999도인 삼각형은 직각삼각형으로 보고됩니다. 화면에 있는 수를 정직하게 읽은 결과이고, 분류가 표시만큼만 정확하다는 뜻입니다. 각의 범위를 넘어서는 삼각형 여부는 따로 검사하지 않습니다. 0보다 큰 두 변과 범위 안의 각이면 언제나 삼각형이 되기 때문입니다. 길이의 네 자리와 각의 두 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 이 하위 분류가 공유하는 표시 폭입니다. 자재 손실이나 톱날 두께는 다루지 않습니다.

두 변과 각으로 세 번째 변을 어떻게 구하나요?

코사인 법칙을 씁니다. 세 번째 변은 a² + b² − 2ab × cos C의 제곱근이고, C는 알고 있는 두 변 사이의 각입니다. 변 3과 4 사이가 직각이면 코사인이 0이라 답이 √25 = 5입니다. 60도에서는 코사인이 0.5라 보정항이 12이고 세 번째 변이 √13, 곧 약 3.6056으로 눈에 띄게 짧아집니다. 같은 두 변인데도 그렇습니다.

예각삼각형인지 직각삼각형인지 둔각삼각형인지는 어떻게 정하나요?

세 각 가운데 가장 큰 각으로 정합니다. 90도보다 작으면 예각삼각형, 정확히 90도면 직각삼각형, 90도보다 크면 둔각삼각형입니다. 가장 큰 각은 언제나 가장 긴 변 맞은편에 있으므로 같은 검사를 변으로 할 수도 있습니다. 짧은 두 변의 제곱을 더한 값과 가장 긴 변의 제곱을 견주어, 같으면 직각삼각형, 더 크면 예각삼각형, 더 작으면 둔각삼각형입니다. 변 5, 5, 8.6603은 120도짜리 각을 가져 둔각삼각형이 됩니다.

왜 두 변과 그 사이의 각이면 삼각형 전체가 정해지나요?

두 변은 컴퍼스처럼 벌어질 자유가 있고, 그 벌어진 폭을 정하는 것이 각이기 때문입니다. 각이 정해지면 두 자유로운 끝 사이의 거리는 하나로 정해지므로 세 번째 변이 고정되고, 세 변이 정해지면 각도 정해집니다. 두 변만으로는 부족한 이유가 그것입니다. 3과 4는 거의 0에서 6제곱센티미터까지 감쌀 수 있고, 가장 넓은 것이 직각일 때입니다. 세 각만으로도 부족한데, 모양은 정해지지만 크기는 정해지지 않기 때문입니다.

여기서 쓰는 넓이 공식은 무엇인가요?

알고 있는 두 변의 곱의 절반에 그 사이 각의 사인을 곱합니다. A = ½ × a × b × sin C입니다. 늘 쓰는 밑변 곱하기 높이 나누기 2에서 높이를 바꿔 넣은 형태인데, 한 변을 밑변으로 보았을 때의 높이가 다른 변 곱하기 끼인 각의 사인이기 때문입니다. 변 3과 4가 직각이면 ½ × 12 × 1 = 6제곱센티미터이고, 같은 두 변이 60도면 5.1962입니다.

각이 0도나 180도면 어떻게 되나요?

삼각형이 선으로 무너지는데 페이지는 그래도 답합니다. 변 3과 4 사이의 각이 0도면 세 번째 변이 1이고 한 각이 180도, 나머지 둘이 0도입니다. 분류는 둔각삼각형으로 나오는데, 90도를 넘으면 둔각이라는 규칙에는 맞습니다. 다만 납작해진 삼각형은 진짜 도형이 아니라 퇴화한 경우입니다. 유일하게 거절하는 조합은 두 변이 같으면서 각이 0도인 경우이고, 세 번째 변이 0이 되어 아무것도 남지 않습니다.

직각삼각형에도 쓸 수 있나요?

쓸 수 있고, 페이지가 그렇다고 알려 줍니다. 변 3과 4를 각 90도로 넣으면 종류가 직각삼각형으로 나옵니다. 90도의 코사인이 0이라 코사인 법칙이 a² + b² = c²로 깔끔하게 줄어들기 때문입니다. 푸는 삼각형이 늘 직각삼각형이라면 이 하위 분류의 피타고라스 정리 계산기가 두 변을 그대로 받고 삼각함수를 건너뜁니다. 각이 정확히 직각인지 확실하지 않을 때 쓰는 페이지가 이쪽입니다.

• Triangle — 이 페이지가 푸는 삼각형이라는 도형, 각의 합, 예각과 직각과 둔각의 분류, 그리고 가장 큰 각과 가장 긴 변의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — 세 각이 모두 직각 미만인 경우이며, 이 페이지가 보고하는 세 등급 가운데 첫째 — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — 한 각이 직각을 넘는 경우이며, 코사인 법칙의 보정항이 음수가 되어 세 번째 변이 준 두 변보다 길게 나오는 자리 — Wolfram MathWorld (United States)