피타고라스 계산기

빗변 = √(legA² + legB²) 직각변 = √(빗변² − 다른 직각변²) 넓이 = legA × legB ÷ 2 둘레 = legA + legB + 빗변

legA

첫 번째 직각변이며 단위는 센티미터입니다. 직각을 이루는 두 변 가운데 하나이고 빗변이 아닙니다. 밑변이라고도 할 수 있지만 이 페이지에서는 직각변으로 부르는데, 어느 쪽을 밑변으로 잡아도 넓이는 같기 때문입니다

legB

두 번째 직각변이며 단위는 센티미터입니다. legA와 함께 직각을 이룹니다. 두 직각변은 서로 자리를 바꿔도 결과가 달라지지 않으므로 어느 것을 먼저 넣어도 됩니다

빗변

직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이며 단위는 센티미터입니다. 세 칸은 서로 대등해서 어느 칸이든 비워 둘 수 있고, 이 칸을 비워 두면 두 직각변에서 값을 구해 냅니다. 반대로 이 칸을 채웠다면 두 직각변 가운데 하나는 비워 두어야 합니다

나머지 변

비워 둔 칸에 들어갈 값이며 단위는 센티미터입니다. 어느 칸이 비었는지에 따라 빗변이 될 수도 직각변이 될 수도 있어서 이름이 하나로 정해지지 않습니다. 빗변이 답으로 나오는 경우에는 두 제곱을 더하고, 직각변이 나오는 경우에는 빼서 구합니다

넓이

삼각형 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 두 직각변을 곱하고 반으로 나눈 값입니다. 직각삼각형에서는 두 직각변이 곧 밑변과 높이가 되므로 따로 높이를 구할 필요가 없습니다. 두 직각변을 아는 경우에는 나머지 변을 구하지 않고도 넓이가 바로 나옵니다

둘레

세 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 세 변을 그냥 더한 값이고, 빗변이 아직 구해지지 않았다면 그 값을 먼저 구한 뒤 더합니다

직각

두 직각변이 이루는 90도의 각입니다. 이 페이지의 모든 식이 직각이 있다는 조건 위에 서 있습니다. 직각이 아닌 삼각형에서는 세 변의 제곱 관계가 성립하지 않으므로, 세 변을 알더라도 이 페이지로는 풀 수 없습니다

이 페이지는 직각삼각형에서 모르는 변 하나를 찾을 때 씁니다. 세 변 가운데 둘을 아는 상황이면 어디든 해당합니다. 사다리를 벽에 기대어 놓았을 때 사다리의 길이와 벽까지의 거리로 높이를 구하는 일, 대각선으로 가로지르는 최단 거리를 구하는 일, 화면이나 판재의 대각선 길이를 구하는 일이 모두 여기에 들어갑니다. 직각이 어디에 있는지부터 찾는 것이 순서입니다. 직각을 이루는 두 변이 직각변이고 나머지 하나가 빗변입니다. 전신주를 고정하는 와이어처럼 비스듬히 걸린 선이 있다면 그것이 빗변일 가능성이 높고, 땅에 닿은 부분과 기둥에 붙은 부분이 직각변입니다. 두 직각변을 아는 경우가 가장 흔하고 계산도 간단합니다. 반대로 빗변과 한 직각변만 아는 경우에는 빼기를 씁니다. 이때 답이 알고 있던 직각변보다 길게 나오면 빗변에 넣은 값이 실제로는 직각변이었을 가능성이 큽니다. 빗변은 언제나 가장 긴 변이므로 이것만 확인해도 입력이 제자리에 들어갔는지 알 수 있습니다. 계산한 값이 딱 떨어지지 않는 경우도 흔합니다. 직각변이 1과 1이면 빗변은 1.41로 끝나지 않는 소수가 됩니다. 실제로 만드는 물건이라면 이 값을 그대로 쓸 수 없으므로 반올림해서 쓰게 되고, 그만큼 오차가 생깁니다. 정수로 딱 떨어지는 조합은 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17처럼 몇 가지가 알려져 있어서, 도면을 볼 때 이 조합이 보이면 검산이 쉽습니다. 아래 참고표에도 그 조합들이 들어 있습니다.

1. 두 직각변이 3과 4일 때

   1. 두 직각변의 제곱: 9와 16
   2. 더함: 9 + 16 = 25
   3. 제곱근: √25 = 5
   4. 나머지 변: 빗변 5
   5. 넓이: 3 × 4 ÷ 2 = 6
   6. 둘레: 3 + 4 + 5 = 12

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력이고, 세 변이 모두 정수로 떨어지는 가장 유명한 조합입니다. 3과 4와 5는 서로 소이고 세 변이 연달아 있는 유일한 직각삼각형이기도 합니다. 빗변이 정수로 나오는 조합은 이 밖에도 5-12-13과 8-15-17이 있는데, 모두 두 직각변이 서로 소인 경우입니다. 검산은 두 직각변의 제곱을 더한 값과 빗변의 제곱을 견주면 되고, 여기서는 25와 25로 같습니다.

2. 직각변 6과 빗변 10을 알 때

   1. 빗변의 제곱: 100
   2. 아는 직각변의 제곱: 36
   3. 뺌: 100 − 36 = 64
   4. 제곱근: √64 = 8
   5. 나머지 변: 직각변 8
   6. 넓이: 6 × 8 ÷ 2 = 24
   7. 둘레: 6 + 8 + 10 = 24

   빗변을 아는 경우라서 더하지 않고 뺍니다. 이 예에서 눈여겨볼 것은 답이 빗변보다 짧다는 점입니다. 빗변 10에 대해 나머지 직각변이 8로 나왔는데, 이것이 맞는 방향입니다. 만약 12 같은 값이 나왔다면 빗변에 넣은 수가 실제로는 직각변이었을 것입니다. 넓이와 둘레가 우연히 24로 같아지는데, 단위가 서로 다르므로 숫자만 겹친 것이고 크기를 바꾸면 깨집니다. 3-4-5 조합을 두 배로 키운 삼각형이라서 셋 다 정수로 떨어집니다.

3. 두 직각변이 8과 15일 때

   1. 두 직각변의 제곱: 64와 225
   2. 더함: 64 + 225 = 289
   3. 제곱근: √289 = 17
   4. 나머지 변: 빗변 17
   5. 넓이: 8 × 15 ÷ 2 = 60
   6. 둘레: 8 + 15 + 17 = 40

   또 하나의 정수 조합입니다. 두 직각변의 차이가 커질수록 빗변은 긴 쪽에 가까워지는데, 여기서는 빗변 17이 긴 직각변 15보다 2만 큽니다. 이 삼각형은 세 변이 모두 정수이면서 넓이도 60으로 정수이고 둘레도 40으로 정수라서 검산하기 좋습니다. 넓이 60은 두 직각변을 곱한 120의 절반이고, 289가 17의 제곱이라는 것을 확인하면 계산이 맞습니다.

4. 직각변 5와 빗변 13을 알 때

   1. 빗변의 제곱: 169
   2. 아는 직각변의 제곱: 25
   3. 뺌: 169 − 25 = 144
   4. 제곱근: √144 = 12
   5. 나머지 변: 직각변 12
   6. 넓이: 12 × 5 ÷ 2 = 30
   7. 둘레: 12 + 5 + 13 = 30

   이번에는 두 번째 직각변 자리에 값을 넣었습니다. 계산기는 어느 칸이 채워졌는지 스스로 판단하므로 순서를 맞출 필요가 없습니다. 5-12-13 조합이고, 앞의 예와 견주면 같은 삼각형을 다른 쪽에서 본 셈입니다. 빗변과 직각변 하나만 알면 나머지 하나가 나오고, 그 뒤에는 두 직각변을 아는 경우와 똑같이 넓이와 둘레가 따라 나옵니다.

5. 두 직각변이 0.5와 1.2일 때

   1. 두 직각변의 제곱: 0.25와 1.44
   2. 더함: 0.25 + 1.44 = 1.69
   3. 제곱근: √1.69 = 1.3
   4. 나머지 변: 빗변 1.3
   5. 넓이: 0.5 × 1.2 ÷ 2 = 0.3
   6. 둘레: 0.5 + 1.2 + 1.3 = 3

   소수로 떨어지는 조합입니다. 0.5, 1.2, 1.3은 5-12-13을 열 배 줄인 것이라서 셋 다 유한소수로 정확히 나옵니다. 3-4-5 조합을 반으로 줄이면 1.5, 2, 2.5가 되는데 이것도 같은 방식입니다. 두 직각변이 정수여도 빗변이 무리수가 되는 경우가 훨씬 흔하다는 점을 기억해 두면 좋습니다. 1과 1의 빗변은 1.41로 끝나지 않고, 참고표에도 그 값이 실려 있습니다.

이 페이지는 직각삼각형만 다룹니다. 직각이 없는 삼각형에서는 세 변의 제곱 관계가 성립하지 않으므로 이 페이지로 풀 수 없습니다. 직각이 있는지 확실하지 않다면 세 변을 모두 아는 다른 페이지를 쓰는 편이 안전합니다. 세 칸 가운데 두 칸만 채워야 합니다. 세 칸을 모두 채우면 계산이 거부되는데, 세 수가 같은 삼각형을 가리킨다는 보장이 없어서 어느 쪽을 믿을지 정할 수 없기 때문입니다. 두 칸을 채웠을 때 어느 칸이 비었는지로 계산 방향이 정해집니다. 빗변이 비었으면 더하고, 직각변이 비었으면 뺍니다. 빗변은 언제나 가장 긴 변이어야 하므로, 빗변 자리에 직각변보다 짧은 수를 넣으면 답이 나오지 않거나 이상한 값이 나옵니다. 출력의 단위는 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터입니다. 소수점은 두 자리까지만 인쇄되는데, 이 자릿수는 같은 계산기 묶음의 다른 페이지보다 적습니다. 빗변이 √2나 √5처럼 무리수인 경우가 흔해서 두 자리로도 실용에는 충분하다고 본 결과이고, 인쇄된 값을 다시 넣으면 정확히 같은 수가 나오지 않을 수 있습니다. 넓이와 둘레는 계산된 값이 아니라 반올림된 값으로 인쇄되므로, 이것으로 다시 검산하면 마지막 자리에서 어긋날 수 있습니다. 직각삼각형의 각도는 이 페이지에서 구할 수 없습니다. 변의 비에서 각도를 얻으려면 삼각함수의 역함수가 필요하고, 그 계산은 다른 페이지의 몫입니다. 세 변의 길이를 알고 넓이를 구하는 것도 이 페이지가 아니라 세 변을 받는 다른 페이지에서 다룹니다.

세 칸 중 몇 개를 채워야 하나요?

두 개를 채우면 나머지 하나가 계산됩니다. 세 개를 다 채우면 계산이 거부되는데, 세 수가 같은 삼각형을 가리킨다는 보장이 없기 때문입니다. 실제로 재다 보면 반올림이 섞여 값이 조금씩 어긋나고, 그때 어느 쪽을 믿어야 할지 정할 근거가 없습니다. 비워 둔 칸이 어디인지에 따라 계산 방향이 정해집니다.

더하기와 빼기는 언제 각각 쓰나요?

구하려는 변이 빗변이면 더하고, 직각변이면 뺍니다. 두 직각변을 알고 있으면 빗변을 구하는 것이므로 두 제곱을 더합니다. 빗변과 한 직각변을 알고 있으면 나머지 직각변을 구하는 것이므로 빗변의 제곱에서 아는 직각변의 제곱을 뺍니다. 어느 칸을 비웠는지가 곧 방향입니다.

답이 빗변보다 길게 나오면 어떻게 하나요?

빗변 자리에 넣은 값이 실제로는 직각변이었을 가능성이 큽니다. 직각삼각형에서 빗변은 언제나 가장 긴 변이므로, 나머지 직각변은 빗변보다 짧아야 합니다. 직각이 어디에 있는지부터 다시 확인하는 것이 순서이고, 비스듬히 걸린 선이 빗변일 가능성이 높습니다.

빗변이 딱 떨어지지 않을 때는 어떻게 하나요?

무리수가 나오는 것이 정상입니다. 직각변이 1과 1이면 빗변은 1.41로 끝나지 않고, 실제로 만드는 물건이라면 반올림해서 쓸 수밖에 없습니다. 이때 생기는 오차는 재단에도 그대로 남습니다. 세 변이 모두 정수로 떨어지는 조합은 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17처럼 몇 가지가 알려져 있어서 검산에 쓸 수 있습니다.

직각삼각형인지 확실하지 않으면 어떻게 하나요?

이 페이지는 직각이 있다는 조건 위에 서 있으므로, 직각이 아니면 결과를 믿을 수 없습니다. 세 변을 모두 알고 있다면 직각인지 판정할 수 있는데, 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같은지 보면 됩니다. 세 변을 모두 아는 경우에는 세 변을 받는 다른 페이지로 넓이를 구하는 편이 안전합니다.

직각삼각형의 각도도 구할 수 있나요?

이 페이지에서는 구할 수 없습니다. 변의 비에서 각도를 얻으려면 삼각함수의 역함수가 필요하고, 그 계산은 다른 페이지의 몫입니다. 다만 직각이 하나 있으므로 나머지 두 각을 더하면 90도가 된다는 것만 알아 두면, 한 각을 알 때 다른 각이 바로 나옵니다.

소수점이 두 자리뿐인 이유는 무엇인가요?

빗변이 무리수로 나오는 경우가 흔해서 두 자리로도 실용에 충분하다고 본 결과입니다. 인쇄된 값을 다시 넣으면 정확히 같은 수가 나오지 않을 수 있고, 넓이와 둘레도 반올림된 값으로 인쇄되므로 그것으로 다시 검산하면 마지막 자리에서 어긋날 수 있습니다.

• Pythagorean Theorem — 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 두 직각변의 제곱의 합과 같다는 정리. 이 페이지가 계산하는 모든 식의 근거다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Right Triangle — 직각을 가진 삼각형. 두 직각변이 밑변과 높이가 되어 넓이가 곱의 절반으로 나오는 근거가 여기 있다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Triple — 세 변이 모두 정수인 직각삼각형의 조합. 3-4-5와 5-12-13과 8-15-17이 여기 속한다 — Wolfram MathWorld (United States)