거리 계산기

거리 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) 가로 변 = x₂ − x₁ 세로 변 = y₂ − y₁

첫 번째 점

재기 시작하는 점의 x와 y입니다. 좌표는 그냥 수이므로 음수도 분수도 0도 될 수 있고, 고를 단위가 없습니다

두 번째 점

재려는 대상인 점이고 규칙은 같습니다. 첫 번째 점의 어느 방향에 있어도 되며, 바로 위나 아래, 왼쪽이나 오른쪽이어도 됩니다

가로 변

두 번째 x에서 첫 번째 x를 뺀 값이므로 한 점에서 다른 점으로 가로로 간 걸음입니다. 음수라면 두 번째 점이 첫 번째 점보다 왼쪽에 있다는 뜻이고, 기울기를 구할 때 분모로 쓰는 수와 같은 수입니다

세로 변

두 번째 y에서 첫 번째 y를 뺀 값이고 두 점 사이의 세로 걸음입니다. 음수라면 두 번째 점이 더 아래에 있습니다. 가로 변과 함께 빗변이 거리인 직각삼각형을 이룹니다

거리

두 변을 각각 제곱해 더한 것의 제곱근입니다. 음수가 될 수 없고 두 점이 겹칠 때만 0이며, 보통 제곱근이라 소수점 네 자리로 반올림됩니다

두 점이 있고 어느 쪽으로 뻗었는지는 상관없이 사이의 틈만 알고 싶을 때 쓰십시오. 지도에서 두 지점이 얼마나 떨어져 있는지, 두 기둥 사이에 울타리를 두르면 몇 미터인지, 방을 대각선으로 가로지르는 케이블이 얼마나 필요한지, 배달이 직선 경로라면 창고에서 얼마나 먼지입니다. 더 긴 계산이 틀렸는지 확인할 때 찾는 검산 도구이기도 합니다. 평면 위에 놓을 수 있는 두 결과라면 서로 재 볼 수 있고, 자릿수가 하나 어긋난 거리는 어딘가 위쪽에서 부호를 잘못 넣었다는 신호입니다. 두 변은 다른 종류의 일에서도 값을 합니다. 틈 가운데 가로와 세로로 각각 얼마나 갔는지 따로 알고 싶다면 두 변이 그 답이고, 부호까지 붙어 있어 크기뿐 아니라 방향도 알려 줍니다. 기울기나 각도, 방위각을 구하기 전에 필요한 것이 정확히 그것입니다. 거리 페이지는 그중 아무것도 주지 않지만, 그것들이 모두 재료로 삼는 두 수를 건네줍니다. 들여 둘 만한 습관이 하나 있습니다. 답을 읽기 전에 두 변을 머릿속으로 제곱해 보십시오. 9 더하기 16은 25이므로 거리 5는 맞고, 거리 50이 나왔다면 놀라운 결과가 아니라 소수점을 잘못 찍은 것입니다.

1. 가로로 셋, 세로로 넷

   1. 가로 변: 3 − 0 = 3
   2. 세로 변: 4 − 0 = 4
   3. 각각 제곱: 9와 16
   4. 더해서 제곱근: √25 = 5

   페이지가 처음 열릴 때의 입력이고, 세 변이 모두 정수인 가장 작은 직각삼각형입니다. 두 가지가 눈에 들어옵니다. 두 변이 넣은 수 그대로인데 이는 한 점이 원점일 때만 일어나고, 거리가 반올림된 제곱근이 아니라 정확한 값인데 이 페이지에서는 드문 일입니다. 이 입력을 영점 조절로 쓰십시오. 여기서 5가 나오면 셈은 건강하고, 다른 곳에서 이상해 보이는 답은 결함이 아니라 입력의 성질입니다.

2. 거리가 반올림된 제곱근이 되는 대각선

   1. 가로 변: 5 − 1 = 4
   2. 세로 변: 8 − 2 = 6
   3. 각각 제곱: 16과 36
   4. 더하면 52이고 제곱근은 7.21110255…이므로 7.2111

   깔끔한 경우가 아니라 보통의 경우입니다. 52는 완전제곱수가 아니므로 답이 무리수이고, 인쇄된 네 자리는 전부가 아니라 시작입니다. 공짜로 할 수 있는 검산이 하나 있습니다. 거리는 두 변 가운데 긴 쪽보다 항상 길어야 하므로, 변이 4와 6일 때 7.2111은 그럴듯합니다. 반대로 긴 변보다 짧은 거리가 나왔다면 제곱근을 엉뚱한 값에 취한 것입니다.

3. 같은 두 점을 반대 순서로 잰 경우

   1. 가로 변: 0 − 3 = −3
   2. 세로 변: 0 − 4 = −4
   3. 각각 제곱: 부호가 사라지므로 9와 16
   4. 더해서 제곱근: √25 = 5

   3-4-5 선분의 양 끝을 바꾼 경우이고, 두 성질을 한 번에 가장 선명하게 보여 줍니다. 두 차이를 반대 방향으로 재었으므로 두 변이 모두 음수로 나오는데, 거리는 5 그대로입니다. 제곱이 부호를 해칠 기회를 주기 전에 버리기 때문입니다. 거리가 언제나 양수인 까닭이 바로 이것입니다. 거리는 길이고, 어느 방향으로 쟀는지는 셈에 들어가지 않습니다.

4. 수백만 단위로 잰 거리

   1. 가로 변: 6000000 − 0 = 6000000
   2. 세로 변: 8000000 − 0 = 8000000
   3. 각각 제곱해 더하면 3.6 × 10¹³ 더하기 6.4 × 10¹³은 10¹⁴
   4. 제곱근: 10000000

   3-4-5 삼각형을 200만 배로 키운 것이고, 같은 좌표를 종이 위의 그래프가 아니라 미터 단위의 지도 격자에 쓰면 이렇게 됩니다. 수의 크기에 따라 페이지에서 달라지는 것은 없습니다. 두 변은 입력만큼 정확하고 거리는 정수로 나옵니다. 큰 좌표에는 반올림이 따라올 것이라 기대한 독자가 정확한 답을 수상하게 여기지 않도록 이 줄이 있습니다.

5. 두 점이 사실 같은 점인 경우

   1. 가로 변: 2.5 − 2.5 = 0
   2. 세로 변: ((−1.5) − (−1.5)) = 0
   3. 각각 제곱: 0과 0
   4. 더해서 제곱근: √0 = 0

   한 점과 그 자신 사이의 거리가 0인 것은 맞는 답이고, 이 값을 만들 수 있는 유일한 입력입니다. 두 제곱의 합이 0이려면 두 제곱이 모두 0이어야 하기 때문입니다. 페이지는 이것을 빈 결과로 취급하지 않습니다. 첫 번째 열에 0이 보일 때 입력이 채워지지 않은 것으로 읽지 않도록 한 번 봐 두면 좋습니다.

이 페이지는 평면에서만, 그리고 오직 평면에서만 잽니다. 세 번째 좌표를 넣을 칸이 없으므로 공간 위 두 점 사이의 거리는 닿지 못합니다. 세 번째 축의 차이도 있어야 하고, 이 페이지에는 그것을 넣을 곳이 없습니다. z를 선택 항목으로 두는 안은 검토했다가 버렸습니다. 한 점에는 z가 있고 다른 점에는 없는 경우에 그럴듯한 답이 없고, 이웃한 두 좌표 페이지도 일관성을 위해 같은 필드를 키워야 했기 때문입니다. 좌표에 단위가 없으므로 답은 잰 단위 그대로이고, 페이지는 섞어 넣은 짝을 알아채지 못합니다. 한 점은 미터이고 다른 점은 밀리미터라면 셈은 아무 일 없이 돌아가 틀린 수를 돌려주고, 페이지의 어느 곳도 그것을 말해 주지 않습니다. 두 변은 거리가 아니라 부호가 있는 차이이므로, 음수로 인쇄된 변은 고쳐야 할 오류가 아니라 맞는 값입니다. 거리 자체는 소수점 네 자리로 반올림되고 보통 무리수이므로, 인쇄된 값은 자리가 멈춘 곳이지 답 전체가 아닙니다. 좌표는 플러스마이너스 10억으로 제한되는데, 어떤 그래프보다도 넓지만 미터로 잰 일부 투영 좌표계의 범위에는 한참 못 미치고, 페이지는 그런 입력을 계산하지 않고 거부합니다. 마지막으로 이것은 직선 거리이지 경로가 아닙니다. 도로나 벽, 해안선을 따라가야 한다면 여기 있는 수는 가능한 가장 짧은 길이고, 실제로 지나갈 수 있는 길보다 언제나 짧습니다.

거리 공식은 무엇인가요?

좌표를 넣은 피타고라스 정리입니다. 두 x 값의 차이와 두 y 값의 차이를 각각 제곱해 더하고 제곱근을 취합니다. 두 차이가 직각삼각형의 두 변이고 거리가 빗변이므로, 따로 외울 규칙이 아니라 두 점 사이의 걸음에 삼각형 규칙을 적용한 것입니다. (0, 0)과 (3, 4)라면 √(9 + 16)이므로 5입니다.

옆의 두 열이 왜 음수로 나오나요?

틈이 아니라 방향이 있는 걸음이고 걸음에는 방향이 있기 때문입니다. 가로 변은 두 번째 x에서 첫 번째 x를 뺀 값이므로 두 번째 점이 왼쪽에 있을 때 정확히 음수가 되고, 세로 변은 두 번째 점이 더 아래에 있을 때 음수가 됩니다. 페이지가 부호를 일부러 남깁니다. 두 번째 점이 어느 쪽에 있는지 말해 주는 유일한 정보이고, 기울기나 방위각을 구할 때 다음에 필요한 값이며, 거리 자체는 제곱이 부호를 지워 버리므로 부호를 완전히 무시합니다.

3차원의 두 점에도 되나요?

아니고 페이지도 그런 척하지 않습니다. 세 번째 좌표를 채울 칸이 없습니다. 3차원 거리는 세 번째 축의 차이도 제곱합에 더한 뒤 제곱근을 취해야 하는데, 좌표가 둘뿐이면 페이지가 세 번째 값을 지어내야 합니다. 공간 위의 점이라면 이 페이지로 평면 거리를 구한 뒤 높이 차이와 직접 합치면 되지만, 그 단계를 페이지가 대신해 주지는 않습니다.

좌표의 단위는 미터인가요, 센티미터인가요?

그렇게 정한 대로입니다. 페이지는 좌표를 그냥 수로 다루고 답에 단위를 붙이지 않으며 고를 드롭다운도 없는데, 이는 의도한 것입니다. 그래프나 지도 격자에서 온 좌표 짝은 격자를 무엇으로 그렸는지 정하기 전까지는 단위를 갖지 않습니다. 수가 미터라면 거리도 미터이고, 경도의 도라면 거리도 도이며, 마지막 경우는 지구 위 어디인지 모르면 킬로미터로 바꿀 수 없습니다.

거리가 음수나 0이 될 수 있나요?

음수는 될 수 없습니다. 두 변을 제곱하면 더하기 전에 부호가 사라지고, 음수가 아닌 수의 제곱근은 음수가 되지 않습니다. 0이 되는 것은 두 변이 모두 0일 때뿐이고, 그것은 두 점이 같은 점이라는 뜻이며 계산이 실패한 것이 아니라 진짜 답입니다. 그 밖의 서로 다른 두 점은 아무리 가까워도 양의 거리를 줍니다.

계산기 없이 답을 검산하려면 어떻게 하나요?

두 변을 제곱해 더한 뒤 그 합이 어떤 수의 제곱인지 물으면 됩니다. 4와 6이면 16 더하기 36은 52이고 7.2111의 제곱이 52에 가까우므로, 52가 완전제곱수가 아니어도 답은 맞는 범위에 있습니다. 검산을 빠르게 하는 성질이 둘 있습니다. 거리는 두 변 가운데 긴 쪽보다 항상 길고, 두 변을 더한 것보다는 항상 짧습니다. 그 범위를 벗어나면 틀린 것입니다.

• Distance — 평면 위 두 점 사이의 거리를 좌표 차이의 제곱합의 제곱근으로 주는 식이며, 이 페이지가 계산하는 값 — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian coordinates — 점을 두 축에서의 수직 거리로 이름 붙이는 좌표계이고, 여기서 두 변이 가로와 세로가 되는 배경 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — 직각삼각형의 두 변과 빗변의 관계이고, 두 좌표 차이가 변이고 거리가 빗변이므로 거리 공식이 곧 이것 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 평면직각좌표계에서 두 점 사이의 거리 공식은 의무교육 단계 수학 교육과정의 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部