기울기와 각도 계산기

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) 경사 % = m × 100

m

기울기, 곧 수평 거리로 나눈 상승 폭입니다. 오른쪽으로 한 단위 갈 때 직선이 얼마나 오르는지를 나타내며, 거리를 거리로 나눈 값이라 단위가 없습니다. 양수면 x가 커질수록 올라가고, 음수면 내려가며, 0이면 수평입니다. 이 페이지의 주된 답이고, 두 점을 서로 바꿔도 살아남는 유일한 값입니다. 두 점을 바꾸면 상승 폭과 수평 거리의 부호가 함께 뒤집히는데, 음수 둘의 비율은 같은 비율이기 때문입니다

Δy = y₂ − y₁

상승 폭, 두 y 값의 차이이며 기울기의 분자입니다. 부호를 그대로 지킵니다. y가 5인 점에서 y가 1인 점으로 가면 상승 폭은 -4이고, 그 빼기 부호가 기울기를 음수로 만듭니다. 두 점 사이의 세로 거리를 잰 값이며, 기울기를 손으로 검산할 수 있도록 함께 인쇄됩니다

Δx = x₂ − x₁

수평 거리, 두 x 값의 차이이며 기울기의 분모입니다. 두 점 사이의 가로 거리이고, 기울기나 경사각과 달리 실제로는 음수가 되지 않지만 페이지는 뺄셈이 준 부호를 그대로 둡니다. 0이어서는 안 됩니다. 수평 거리가 0이면 수직선이고 기울기가 없으므로, 페이지는 0으로 나누지 않고 멈춥니다. 여기서 짝이 중요합니다. x₁은 y₁과, x₂는 y₂와 짝이며, 네 수를 재어 둔 것과 다른 점으로 묶으면 다른 직선의 기울기가 나옵니다

θ = arctan(m)

직선이 수평선과 이루는 경사각을 도로 적은 값이며 소수점 둘째 자리까지 인쇄됩니다. 기울기에 아크탄젠트를 취한 값이라 항상 -90도와 90도 사이에 있고 180도마다 되풀이됩니다. 두 점을 지나는 직선은 양쪽으로 뻗어 있고, 이 각도는 특정한 선분이 아니라 그 직선의 방향을 나타내기 때문입니다. 기울기 0.5는 26.57도, 기울기 1은 45도, 가파른 기울기 10은 84.29도입니다. 수직선에 가까워질수록 각도는 90도로 몰리지만 끝내 닿지는 않습니다

경사 % = m × 100

같은 기울기를 퍼센트 경사로 적은 값이며 소수점 둘째 자리까지 인쇄됩니다. 상승 폭을 수평 거리에 대한 백분율로 나타낸 것입니다. 기울기 0.5는 50%, 기울기 1은 100%, 완만한 1:12는 8.33%입니다. 퍼센트와 각도는 서로 다른 값이고 헷갈리기 쉽습니다. 퍼센트 경사 100%는 45도에 지나지 않습니다. 퍼센트 경사는 수평 거리에 대한 상승 폭을 재고, 각도는 빗변에 대한 상승 폭을 재기 때문입니다

두 점이 손에 있을 때 쓰십시오. 실제로는 측정값이 아니라 좌표인 경우가 많습니다. 현황도 위에 측량해 둔 두 위치, 그래프에서 읽은 두 값, 도면에서 집어 낸 두 모서리, x와 y 값이 적힌 표의 두 표본이 그렇습니다. 이 페이지는 두 점 사이의 거리를 구한 바로 다음 질문에 답하고, 수학에서 직선을 서술하는 형태로 답합니다. 그 기울기에서 직선의 방정식이 곧바로 따라 나옵니다. 내려가는 직선에도 정직한 페이지입니다. 기울기의 부호를 떼어 내지 않고 그대로 인쇄하기 때문입니다. 상승 폭과 수평 거리가 이미 각각의 거리로 재어져 있고 현장에 적히는 형태의 질문, 곧 1피트당 1인치의 낙차나 1미터당 2센티미터의 상승을 묻는다면 경사도 계산기를 쓰십시오. 그 페이지는 좌표의 뺄셈을 건너뛰고 그 두 수를 곧바로 받습니다. 두 점 사이의 길이가 필요할 때는 거리 계산기, 선분의 한가운데 점이 필요할 때는 중점 계산기, 중점과 한쪽 끝을 알고 반대쪽 끝을 구할 때는 끝점 계산기를 쓰십시오. 넷을 합치면 같은 선분의 길이와 위치와 방향과 끝을 함께 서술합니다.

1. 점 (0, 0)과 (4, 2)

   1. 상승 폭: 2 - 0 = 2
   2. 수평 거리: 4 - 0 = 4
   3. 기울기: 2 ÷ 4 = 0.5
   4. 경사각: arctan(0.5) = 26.565…도, 반올림하면 26.57
   5. 퍼센트 경사: 0.5 × 100 = 50%

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 값이고 손으로 확인하기 가장 쉬운 예입니다. 원점에서 출발하면 상승 폭이 둘째 점의 y, 수평 거리가 그 x가 되기 때문입니다. 기울기 0.5는 한 칸 갈 때 반 칸 오르는 정도라 걸어 다닐 때 알아채지 못할 만큼 완만합니다. 경사로의 기준인 1:12가 이 값의 6분의 1입니다. 세 읽기가 서로 맞아떨어지는 방식도 이 페이지가 의도한 그대로입니다. 0.5와 26.57도와 50%는 같은 기울기를 세 가지로 적은 것이고, 그 가운데 줄자로 잴 수 있는 것은 수평 거리 4뿐입니다.

2. 점 (1, 2)와 (5, 8)

   1. 상승 폭: 8 - 2 = 6
   2. 수평 거리: 5 - 1 = 4
   3. 기울기: 6 ÷ 4 = 1.5
   4. 경사각: arctan(1.5) = 56.309…도, 반올림하면 56.31
   5. 퍼센트 경사: 1.5 × 100 = 150%

   어느 점도 원점에 있지 않은 보통의 경우이고, 이 페이지가 좌표를 그대로 읽지 않고 빼는 까닭을 보여 줍니다. 두 점 모두 원점의 오른쪽 위에 있고, 어느 좌표 하나도 그 자체로 상승 폭이나 수평 거리가 아닙니다. 사람을 놀라게 하는 읽기는 퍼센트 경사 150%입니다. 100을 넘는 퍼센트는 불가능해 보이지만 그렇지 않고, 가로로 간 것보다 세로로 더 올라갔다는 뜻일 뿐입니다. 경사각 56.31도가 검산입니다. 기울기 1보다 큰 것은 모두 45도보다 가파르고, 작은 것은 모두 완만합니다.

3. 점 (0, 0)과 (12, 1)

   1. 상승 폭: 1 - 0 = 1
   2. 수평 거리: 12 - 0 = 12
   3. 기울기: 1 ÷ 12 = 0.08333…, 반올림하면 0.0833
   4. 경사각: arctan(0.08333…) = 4.763…도, 반올림하면 4.76
   5. 퍼센트 경사: 0.08333… × 100 = 8.33%

   완만한 기울기이고, 경사도 계산기와 같은 수에서 만나는 행입니다. 여기서는 수평 거리 12에 상승 1이 8.33%이고, 그 페이지에서는 수평 거리 1피트에 상승 1인치가 8.33%입니다. 같은 비율을 두 가지로 적은 것이고, 한 번은 두 점에서 한 번은 재어 둔 두 거리에서 왔습니다. 이 비율은 여러 건축 기준에서 경사로의 표준 최대치이고, 그것을 기울기 0.0833이나 경사각 4.76도로 읽는 것이 이 페이지가 더하는 몫입니다. 각도가 작다는 것이 바로 퍼센트로 적는 이유입니다. 4.76도는 겨냥하기 어렵고 1:12는 재기 쉽습니다.

4. 점 (2, 5)와 (7, 1)

   1. 상승 폭: 1 - 5 = -4
   2. 수평 거리: 7 - 2 = 5
   3. 기울기: -4 ÷ 5 = -0.8
   4. 경사각: arctan(-0.8) = -38.659…도, 반올림하면 -38.66
   5. 퍼센트 경사: -0.8 × 100 = -80%

   내리막 직선이고, 이 페이지가 비율만이 아니라 상승 폭도 함께 인쇄하는 이유입니다. 빼기 부호가 상승 폭에서 왔으므로 -0.8만 본 독자는 수평 거리를 반대 방향으로 잰 것인지 알 수 없습니다. 수평 거리는 오른쪽으로 간 거리라서 양수 5로 남고, 부호를 지는 것은 세로 방향뿐입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으면 이 직선은 1미터 앞으로 갈 때마다 80센티미터 내려갑니다. 배수 낙차나 계단 옆판이 규정되는 방식의 수치이고, 부호를 떼면 적극적으로 오해를 부르는 값이 됩니다.

이 페이지는 두 점에서 직선의 기울기를 구하고 그 밖의 일은 하지 않습니다. 점이 둘보다 많을 때 직선을 맞추지 않고, 직선이 어느 축과 만나는지도 알려 주지 않으며, 직선의 방정식도 내놓지 않습니다. 다만 인쇄되는 기울기는 그 방정식의 앞 절반입니다. 반대 방향도 풀지 않습니다. 기울기 하나는 직선이 아니라 방향을 서술하고, 기울기가 0.5인 직선은 무한히 많습니다. 점이 하나 더 필요하고, 그것이 이 페이지가 내놓는 것과 같은 수를 쓰는 점-기울기 꼴입니다. 네 좌표는 순수한 수라 단위가 없으므로 바꿀 것도 고를 것도 없습니다. 좌표가 미터라면 기울기는 미터 나누기 미터이고 수평 거리는 미터이지만, 페이지는 어느 쪽에도 이름표를 붙이지 않습니다. 그래서 단위를 섞어 넣은 것을 경고하지도 못합니다. x를 미터로, y를 센티미터로 넣어도 그냥 나누어 버리므로 기울기가 백 배 큰 값으로 나오고, 잘못되었다는 표시는 어디에도 없습니다. 수직선은 답을 주지 않고 거부합니다. 수직선의 기울기는 존재하지 않기 때문입니다. 두 점의 x가 같다면 정말로 다른 두 점인지 먼저 확인하십시오. 같은 점을 두 번 넣어도 같은 거부가 나옵니다. 수평선은 답을 줍니다. 기울기도 경사각도 0입니다. 두 점을 서로 바꾸면 기울기와 경사각은 그대로입니다. 두 차이가 함께 부호를 바꾸기 때문입니다. 그러나 좌표를 잘못된 점으로 묶는 것, 곧 x₁을 y₂와 짝지으면 조용히 다른 직선을 서술하게 되고, 어떤 네 수든 어떤 직선의 좌표라서 이 페이지의 어떤 검사도 그것을 잡아내지 못합니다. 여기에는 등급이 없습니다. 완만함과 가파름은 상대적인 판단이고 페이지는 어느 쪽도 내리지 않습니다. 기울기는 소수점 넷째 자리까지, 경사각과 퍼센트 경사는 둘째 자리까지 인쇄되는데, 이는 정밀도에 대한 주장이 아니라 이 하위 분류가 함께 쓰는 표시 폭입니다. 기울기 0.0833은 1:12를 반올림한 값이고, 수평 거리 1미터에서 센티미터까지 정확한 측량도 마지막 자리까지는 정당화하지 못합니다.

두 점에서 기울기는 어떻게 구하나요?

y 값끼리 빼서 상승 폭을, x 값끼리 빼서 수평 거리를 구한 뒤 나누면 됩니다. 기울기는 (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁)입니다. 점 (0, 0)과 (4, 2)는 상승 폭이 2, 수평 거리가 4이므로 기울기가 0.5입니다. 어느 점을 먼저 부르든 상관없습니다. 두 점을 바꾸면 두 차이가 함께 부호를 바꾸고 음수 둘은 약분되기 때문입니다. 다만 x₁은 반드시 y₁과 짝이어야 합니다.

기울기를 도로 바꾸려면 어떻게 하나요?

기울기에 아크탄젠트를 취하면 됩니다. 기울기 0.5는 26.57도, 기울기 1은 45도, 기울기 10은 84.29도입니다. 각도는 항상 -90도와 90도 사이에 놓입니다. 아크탄젠트가 직선의 두 방향을 구분하지 않기 때문입니다. 두 점을 지나는 직선은 양쪽으로 뻗어 있고, 이 각도는 어느 쪽을 향하는지가 아니라 얼마나 가파른지를 서술합니다.

기울기가 음수라는 것은 무슨 뜻인가요?

왼쪽에서 오른쪽으로 읽을 때 직선이 내려간다는 뜻입니다. 점 (2, 5)와 (7, 1)은 수평 거리 5에서 4만큼 내려가므로 기울기가 -0.8이고 경사각이 -38.66도입니다. 이 빼기 부호는 오류가 아니고 페이지도 절댓값을 취하지 않습니다. 올라가는 경사로와 멀어지는 배수 낙차는 같은 수로 지어지는 정반대의 시공 상세이기 때문입니다. 수평 거리는 양수로 남고 부호를 지는 것은 상승 폭뿐입니다.

퍼센트 경사 100%는 90도인가요?

아닙니다. 이것이 퍼센트 경사에서 가장 흔한 혼동입니다. 퍼센트 경사 100%는 상승 폭과 수평 거리가 같다는 뜻이고, 곧 기울기 1이므로 45도이지 90도가 아닙니다. 퍼센트 경사는 수평 거리에 대한 상승 폭을 재고, 각도는 경사진 거리 자체에 대한 상승 폭을 잽니다. 100%보다 가파른 것도 얼마든지 가능합니다. 기울기 1.5는 퍼센트 경사 150%이고 56.31도에 지나지 않으며, 각도는 퍼센트 경사가 무한히 커질 때에야 90도로 다가갑니다.

두 점의 x가 같으면 어떻게 되나요?

그때는 직선이 수직이고 기울기가 없습니다. 수평 거리가 0이라 나눗셈이 정의되지 않으므로, 페이지는 무한대를 인쇄하는 대신 그렇게 말해 줍니다. 수직선의 기울기는 아주 큰 수가 아니라 없는 것이기 때문입니다. 서로 다른 두 점을 뜻한 것이었다면 x 값을 확인하십시오. 직선이 정말 수직이라면 거리 계산기가 두 점 사이의 길이를 알려 줍니다. 수직선이 실제로 가진 것은 그 하나뿐입니다.

경사도 계산기와 무엇이 다른가요?

같은 수를 다른 입력에서 계산합니다. 이 페이지는 두 점을 받아 좌표의 뺄셈을 스스로 하고, 경사도 계산기는 이미 재어 둔 두 거리, 곧 상승 폭과 수평 거리를 받습니다. 현장에서 경사를 적는 방식이 후자입니다. 1피트당 1인치의 낙차, 1미터당 2센티미터의 상승이 그렇습니다. 여기서 점 (0, 0)과 (12, 1)이 내놓는 8.33%는 그 페이지가 수평 거리 1피트에 상승 1인치로 내놓는 값과 같습니다. 다만 그 페이지의 두 칸은 단위를 공유하지 않습니다. 상승 폭은 인치로, 수평 거리는 피트로 읽으므로 같은 비율을 1과 1로 넣지 1과 12로 넣지 않습니다.

• Slope — 직선이 얼마나 가파른지를 세는 비율, 내려가는 직선의 부호 규약, 그리고 기울기와 경사각과 퍼센트 경사 사이의 관계 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 두 점을 지나는 직선, 그 방향이 이 페이지가 계산하는 기울기이고 나머지 성질이 여기서 따라 나오는 도형 — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — 두 점에서 얻은 기울기가 다음에 쓰이는 자리, 곧 기울기와 한 점으로 직선의 방정식을 세우는 꼴 — Wolfram MathWorld (United States)