헤론의 공식 계산기

반둘레 s = (a + b + c) ÷ 2 넓이 = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) 둘레 = a + b + c

a

삼각형의 첫 번째 변이며 단위는 센티미터입니다. 세 변 가운데 어느 것을 a로 놓아도 답은 같습니다. 공식이 세 변을 똑같이 취급하기 때문이고, 그래서 순서를 바꿔 넣어도 결과가 달라지지 않습니다

b

두 번째 변이며 단위는 센티미터입니다. 세 변을 넣을 때 어느 둘을 더한 값이 나머지 하나보다 커야 한다는 규칙이 걸립니다. 이 규칙을 어기면 삼각형이 아예 만들어지지 않으므로 계산이 거부됩니다

c

세 번째 변이며 단위는 센티미터입니다. 셋 중 가장 긴 변이라고 정해진 것은 아닙니다. 계산기는 어느 것이 가장 긴지 스스로 찾아내므로 사용자가 순서를 맞출 필요가 없습니다

s

반둘레입니다. 세 변을 더한 둘레의 절반이고 단위는 센티미터입니다. 넓이를 구하는 식에 네 번 나오는 값이라 따로 이름이 붙었습니다. 반둘레 자체도 출력에 들어 있어서, 넓이가 어떻게 나왔는지 되짚을 때 씁니다

넓이

삼각형 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 반둘레에서 각 변을 뺀 세 수를 모두 곱한 값의 제곱근입니다. 세 수 가운데 하나라도 0 이하이면 곱이 0 이하가 되어 넓이가 0이 되는데, 그것이 삼각형이 납작해진 경우입니다

둘레

세 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 세 변을 그냥 더한 값이라 언제나 정확하게 나옵니다. 넓이가 이상해 보일 때 이 값부터 확인하면 입력이 제대로 들어갔는지 알 수 있습니다

√

제곱근입니다. 헤론의 공식이 마지막에 제곱근을 씌우는 것은 앞에서 곱한 네 수가 길이의 네제곱이기 때문입니다. 넓이는 길이의 제곱이어야 하므로 제곱근 두 번, 즉 네제곱근만큼을 되돌려 놓는 셈입니다. 이 제곱근 때문에 답이 유한한 소수로 딱 떨어지지 않는 경우가 많습니다

삼각형 부등식

세 변이 삼각형을 이룰 수 있는지 판정하는 규칙입니다. 가장 긴 변이 나머지 두 변을 더한 값보다 작아야 하고, 같으면 넓이가 0인 납작한 삼각형이 되며, 크면 삼각형이 만들어지지 않습니다. 이 계산기는 앞의 둘은 받아들이고 마지막 하나만 거부합니다

이 페이지는 삼각형의 세 변을 알고 있지만 높이를 모를 때 씁니다. 가장 흔한 경우가 땅이나 바닥처럼 높이를 잴 수 없는 곳입니다. 토지의 삼각형 구획, 경사진 지붕의 삼각 면, 세 변만 줄자로 잴 수 있는 현장이 여기에 해당합니다. 도면을 보고 계산할 때도 마찬가지입니다. 도면에는 변의 길이가 적혀 있지만 수직 높이는 적혀 있지 않은 경우가 많고, 그 높이를 삼각함수로 따로 구하는 것보다 세 변을 그대로 넣는 편이 빠릅니다. 이미 만들어진 물건을 검사할 때도 쓸모가 있습니다. 세 변을 재서 넓이를 구하고 도면값과 견주면, 모서리가 정확한지까지는 몰라도 전체 크기가 어긋났는지는 잡힙니다. 세 변이 모두 같은 삼각형이나 두 변만 같은 삼각형에도 그대로 통합니다. 정삼각형은 변을 세 번 같은 수로 넣으면 되고, 이등변삼각형은 같은 두 변과 나머지 하나를 넣으면 됩니다. 별도의 공식을 쓸 필요가 없습니다. 직각삼각형도 마찬가지입니다. 두 직각변과 빗변을 알면 세 변을 넣는 것만으로 넓이가 나오고, 밑변과 높이를 고르는 수고를 덜 수 있습니다. 다만 세 변을 넣기 전에 하나만 확인하면 좋습니다. 가장 긴 변이 나머지 둘의 합보다 작은지입니다. 이 조건이 깨지면 계산기가 답을 주는 대신 거부하고, 어느 변이 문제인지 알려 줍니다. 실제로 측정한 값이라면 자로 읽는 과정에서 몇 밀리미터가 어긋나 이 경계에 걸리는 일이 드물지 않은데, 그때는 값이 틀린 것이 아니라 잰 값이 삼각형을 이루지 못한다는 뜻입니다.

1. 3-4-5 직각삼각형

   1. 둘레: 3 + 4 + 5 = 12
   2. 반둘레: 12 ÷ 2 = 6
   3. 반둘레에서 각 변을 뺀 값: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. 네 수를 모두 곱함: 6 × 3 × 2 × 1 = 36
   5. 제곱근: √36 = 6
   6. 넓이: 6 제곱센티미터

   가장 유명한 삼각형이고 검산이 쉬운 이유는 직각삼각형이라 밑변과 높이로도 답이 나오기 때문입니다. 3 × 4 ÷ 2 = 6으로 헤론의 공식과 같은 값입니다. 두 방법이 일치하는 것은 우연이 아니라 직각삼각형에서 두 직각변이 곧 밑변과 높이가 되기 때문이고, 그래서 이 예는 공식을 시험하는 기준으로 자주 쓰입니다. 마지막 곱셈이 36으로 딱 떨어져서 제곱근도 정수로 나옵니다. 세 변이 모두 정수이면서 넓이도 정수인 경우는 드물지 않지만 흔하지도 않은데, 3-4-5와 5-12-13과 9-10-17이 그런 예이고 셋 다 아래 참고표에 있습니다.

2. 5-5-6 이등변삼각형

   1. 둘레: 5 + 5 + 6 = 16
   2. 반둘레: 16 ÷ 2 = 8
   3. 반둘레에서 각 변을 뺀 값: 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3, 8 − 6 = 2
   4. 네 수를 모두 곱함: 8 × 3 × 3 × 2 = 144
   5. 제곱근: √144 = 12
   6. 넓이: 12 제곱센티미터

   두 변이 같으면 반둘레에서 그 두 변을 뺀 값도 서로 같아집니다. 여기서는 3과 3이고, 그래서 곱셈에 같은 수가 두 번 들어갑니다. 이 구조 덕분에 이등변삼각형의 넓이는 밑변의 절반과 높이로도 구할 수 있고, 여기서는 밑변이 6이라 절반이 3, 높이가 4인 셈입니다. 3-4-5 직각삼각형이 삼각형 안에 두 개 들어 있다고 보면 됩니다. 실제로 이등변삼각형을 다룰 때는 이 경로가 더 빠르지만, 세 변만 재고 각도는 모르는 현장에서는 헤론의 공식이 그 높이를 대신 구해 줍니다. 변이 같은 두 개를 서로 바꿔 넣어도 답이 같은지 한 번 확인해 볼 만합니다. 세 변을 똑같이 취급하기 때문에 넓이도 둘레도 반둘레도 움직이지 않아야 합니다.

3. 7-8-9 부등변삼각형

   1. 둘레: 7 + 8 + 9 = 24
   2. 반둘레: 24 ÷ 2 = 12
   3. 반둘레에서 각 변을 뺀 값: 12 − 7 = 5, 12 − 8 = 4, 12 − 9 = 3
   4. 네 수를 모두 곱함: 12 × 5 × 4 × 3 = 720
   5. 제곱근: √720 = 26.832815…
   6. 넓이: 반올림하면 26.8328 제곱센티미터

   세 변이 모두 다르고 답이 딱 떨어지지 않는 전형적인 경우입니다. 곱한 값이 720인데 720은 완전제곱수가 아니어서 제곱근이 끝나지 않고, 화면에는 네 자리까지 인쇄됩니다. 반둘레에서 각 변을 뺀 세 수가 5, 4, 3으로 연달아 나오는 것이 눈에 띄는데, 이것은 세 변이 7, 8, 9처럼 연속한 정수일 때 생기는 규칙입니다. 이 삼각형은 세 변이 서로 가까워서 모양이 정삼각형에 가깝고, 넓이 26.8328은 같은 둘레 24를 가진 정삼각형의 넓이 27.7128보다 조금 작습니다. 둘레가 같을 때 정삼각형이 가장 넓다는 성질이 여기서도 그대로 나옵니다.

4. 1-1-2 납작하게 주저앉은 삼각형

   1. 둘레: 1 + 1 + 2 = 4
   2. 반둘레: 4 ÷ 2 = 2
   3. 반둘레에서 각 변을 뺀 값: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. 네 수를 모두 곱함: 2 × 1 × 1 × 0 = 0
   5. 제곱근: √0 = 0
   6. 넓이: 0 제곱센티미터

   가장 긴 변 2가 나머지 두 변의 합 1 + 1과 정확히 같은 경우입니다. 세 수 가운데 하나가 0이 되어 넓이도 0이 나오는데, 이것은 계산이 실패한 것이 아니라 길이 2짜리 선분 위에 나머지 두 변이 겹쳐 놓인 상태를 정확히 나타낸 값입니다. 삼각형이 넓이를 가지려면 세 꼭짓점이 한 직선 위에 있지 않아야 하고, 여기서는 셋이 나란히 놓여 있습니다. 계산기가 이 입력을 거부하지 않는 것은 경계를 그렇게 그었기 때문입니다. 가장 긴 변이 나머지 둘의 합보다 크면 거부하지만, 정확히 같으면 받아들여서 0을 돌려줍니다. 0이 나오는 답을 오류로 오해하기 쉬운 자리라 참고표의 여섯째 줄에도 같은 예를 넣어 두었습니다.

5. 9-10-17 넓이와 둘레가 같은 삼각형

   1. 둘레: 9 + 10 + 17 = 36
   2. 반둘레: 36 ÷ 2 = 18
   3. 반둘레에서 각 변을 뺀 값: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. 네 수를 모두 곱함: 18 × 9 × 8 × 1 = 1296
   5. 제곱근: √1296 = 36
   6. 넓이: 36 제곱센티미터

   넓이와 둘레가 둘 다 36으로 같아서 눈에 띄는 삼각형입니다. 다만 두 값이 같다는 것은 단위가 서로 다르기 때문에 우연히 숫자만 겹친 것이고, 길이의 단위를 센티미터에서 밀리미터로 바꾸면 둘레는 360, 넓이는 3600이 되어 깨집니다. 이 삼각형의 성질로 기억할 것은 다른 쪽입니다. 가장 긴 변 17이 나머지 둘의 합 19에 가까워서 세 변이 만드는 삼각형이 꽤 납작합니다. 그래서 넓이가 같은 둘레의 정삼각형보다 훨씬 작은데, 둘레 36인 정삼각형의 넓이는 약 62.35이고 이 삼각형은 36입니다. 반둘레에서 각 변을 뺀 네 수 가운데 하나가 1이라 곱셈 결과가 많이 줄어든 것이 그 이유입니다.

이 페이지는 삼각형의 세 변을 받습니다. 넓이나 높이를 직접 넣는 칸은 없고, 각도도 받지 않습니다. 삼각형이 아닌 도형은 다루지 않습니다. 사각형은 대각선으로 나누지 않는 한 세 변만으로 넓이가 정해지지 않고, 원이나 타원도 마찬가지입니다. 세 변이 삼각형을 이루지 못하면 계산을 거부하지만, 경계는 정확히 같을 때와 클 때를 갈라 놓았습니다. 가장 긴 변이 나머지 둘의 합과 정확히 같으면 거부하지 않고 넓이 0을 돌려줍니다. 이 경우를 오류로 보고 싶다면 그 판단은 사용자의 몫이고, 이 페이지는 0이라는 사실을 그대로 알려 줍니다. 계산이 거부될 때 어느 변이 문제인지는 알려 주지만, 잰 값이 몇 밀리미터 어긋나서 걸린 것인지까지는 판단하지 않습니다. 실제 측정에서는 이 경계 근처에 걸리는 일이 드물지 않은데, 그때 값을 조금 고쳐 통과시키는 것은 삼각형을 만드는 것이 아니라 다른 도형을 만드는 일입니다. 출력은 넓이와 둘레, 반둘레 셋뿐입니다. 각도도 높이도 없는데, 그것들은 세 변에서 따로 구해야 하는 값이고 이 페이지의 계산 경로에 들어 있지 않습니다. 헤론의 공식은 세 변이 정해진 삼각형의 넓이를 하나로 정해 주지만, 그 삼각형이 어떤 모양인지는 말해 주지 않습니다. 변의 순서를 바꿔 넣어도 결과는 같으므로 어느 변을 어디에 넣을지 고민할 필요는 없습니다. 소수점 네 자리는 표시 폭이지 정밀도의 주장이 아니고, 줄자로 잰 변에 대해서는 과합니다. 세 변 가운데 하나가 어긋나면 넓이는 그보다 더 크게 흔들리므로, 실제로 잰 값이라면 답의 마지막 자리는 뜻이 없다고 보는 편이 맞습니다.

왜 변 셋을 더한 값이 아니라 반둘레를 쓰나요?

식이 짧아지고 경계가 드러나기 때문입니다. 반둘레에서 각 변을 뺀 세 수 가운데 하나가 0이 되는 순간이 곧 삼각형이 납작해지는 순간이라서, 넓이가 언제 0이 되는지가 식 안에 그대로 보입니다. 둘레를 그대로 썼다면 그 지점이 눈에 띄지 않습니다. 출력에도 반둘레를 넣어 둔 것은 넓이가 어떻게 나왔는지 되짚어 볼 수 있게 하기 위해서입니다.

세 변의 순서를 바꿔 넣어도 되나요?

됩니다. 공식이 세 변을 똑같이 취급하므로 어느 것을 a로 놓든 넓이도 둘레도 반둘레도 달라지지 않습니다. 다만 세 변 가운데 어느 둘을 더해도 나머지 하나보다 커야 한다는 규칙은 순서와 무관하게 걸립니다. 가장 긴 변이 무엇인지는 계산기가 스스로 찾습니다.

삼각형이 만들어지지 않는 값은 어떻게 되나요?

계산이 거부됩니다. 가장 긴 변이 나머지 두 변을 더한 값보다 크면 세 변이 서로 만나 삼각형을 이루지 못하기 때문입니다. 다만 정확히 같을 때는 거부하지 않고 넓이 0을 돌려줍니다. 세 점이 한 직선 위에 놓인 상태이고, 그 세 변은 실제로 잴 수 있는 길이이기 때문입니다.

직각삼각형에도 쓸 수 있나요?

됩니다. 두 직각변과 빗변을 그대로 넣으면 넓이가 나오고, 값은 밑변 곱하기 높이 나누기 2와 같습니다. 3-4-5 삼각형이 그 예이고 두 방법이 모두 6을 줍니다. 세 변을 알면 직각인지 아닌지를 따질 필요가 없어서, 직각인지 확실하지 않은 현장에서 특히 편합니다.

같은 둘레를 가진 삼각형 중에서 가장 넓은 것은 무엇인가요?

정삼각형입니다. 둘레 24인 정삼각형의 넓이가 약 27.71인데, 같은 둘레의 7-8-9 삼각형은 26.83입니다. 세 변이 서로 가까울수록 넓이가 커지고 한 변이 길어질수록 줄어들며, 납작하게 주저앉는 극단에서는 0이 됩니다. 참고표에서 여러 행을 견주면 이 흐름을 확인할 수 있습니다.

넓이가 정수로 딱 떨어지지 않는 이유는 무엇인가요?

마지막에 제곱근을 씌우기 때문입니다. 앞에서 곱한 네 수는 길이의 네제곱이라서, 넓이라는 길이의 제곱으로 되돌리려면 제곱근이 필요합니다. 그 곱이 완전제곱수일 때만 답이 정수로 떨어지고, 그렇지 않으면 끝나지 않는 소수가 됩니다. 3-4-5는 36이라 정수 6이 나오지만 7-8-9는 720이라 26.8328로 인쇄됩니다.

• Heron's Formula — 세 변만으로 삼각형의 넓이를 구하는 공식. 이 페이지가 그대로 계산하는 식이고, 반둘레 s가 왜 등장하는지도 여기서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — 둘레의 절반. 헤론의 공식이 네 번 쓰는 중간값이고, 넓이가 0이 되는 경계가 이 값에서 드러난다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle Inequality — 세 길이가 삼각형을 이룰 수 있는 조건. 이 계산기가 계산을 거부하는지 여부를 정하는 규칙이고, 등호일 때 넓이가 0이 되는 근거다 — Wolfram MathWorld (United States)