이등변삼각형 계산기

높이 = √(leg² − (base ÷ 2)²) 넓이 = base × 높이 ÷ 2 둘레 = base + 2 × leg 꼭지각 = 2 × asin((base ÷ 2) ÷ leg) 밑각 = (180° − 꼭지각) ÷ 2

base

밑변의 길이이며 단위는 센티미터입니다. 같은 두 변이 만나는 꼭짓점의 반대쪽에 있는 변이고, 이등변삼각형에서 유일하게 길이가 다른 변입니다. 정삼각형처럼 세 변이 모두 같을 때는 어느 변을 밑변으로 잡아도 결과가 같습니다

leg

길이가 같은 두 변 가운데 하나이며 단위는 센티미터입니다. 화면의 라벨은 직각변으로 되어 있는데, 이 도형에서 그 변은 밑변과 직각으로 만나지 않습니다. 같은 두 변을 가리키는 이름이라고 읽으면 됩니다. 두 변의 길이가 같으므로 한 번만 입력합니다

높이

밑변의 한가운데에서 꼭짓점까지 곧게 올라간 거리이며 단위는 센티미터입니다. 도형의 대칭축이기도 하고, 넓이를 구하는 데 쓰입니다. 밑변의 절반과 같은 변 하나가 만드는 직각삼각형에서 나머지 한 변으로 나옵니다. 밑변이 같은 변의 두 배가 되면 0이 되는데, 그때는 도형이 주저앉아 삼각형이 되지 못합니다

넓이

삼각형 안쪽이 차지하는 공간이며 단위는 제곱센티미터입니다. 밑변에 높이를 곱하고 반으로 나눈 값입니다. 꼭지각이 커질수록 밑변이 넓어지고 높이는 낮아지므로, 넓이만 보고 도형의 생김새를 짐작하면 안 됩니다. 밑변과 같은 변의 길이가 같아지는 순간에 넓이가 가장 큽니다

둘레

세 변을 한 바퀴 돈 길이이며 단위는 센티미터입니다. 밑변에 같은 변의 두 배를 더한 값이고 각도와는 무관합니다. 두 변이 같으므로 같은 변을 두 번 더한다는 점만 주의하면 됩니다

꼭지각

길이가 같은 두 변이 만나는 꼭짓점의 각이며 단위는 도입니다. 밑변을 마주 보는 각이기도 합니다. 밑변에 비해 두 변이 길면 작아지고, 밑변이 길어지면 커집니다. 세 변이 모두 같을 때 정확히 60도가 되고, 밑변이 같은 변의 두 배가 되면 180도가 됩니다

밑각

밑변의 양 끝에 있는 두 각이며 단위는 도입니다. 이등변삼각형에서 두 밑각은 언제나 서로 같으므로 한 값만 알려 줍니다. 밑각과 꼭지각을 더하면 180도가 되고, 그래서 밑각은 90도보다 클 수 없습니다. 꼭지각이 0도에 가까워지면 밑각은 90도에 가까워집니다

√

제곱근입니다. 높이를 구할 때 같은 변의 제곱에서 밑변 절반의 제곱을 빼고 씌웁니다. 직각삼각형에서 빗변과 한 직각변을 알 때 나머지 직각변을 구하는 식과 같은 모양입니다

이 페이지는 이등변삼각형을 다룰 때 씁니다. 지붕의 박공면, 이등변삼각형 모양의 판재, 다리 구조의 삼각 보강재처럼 두 변의 길이가 같고 밑변만 다른 자리가 여기에 해당합니다. 이런 도형은 현장에서 재는 방법이 자연스럽게 정해집니다. 같은 두 변은 길이가 같으므로 한 번만 재면 되고, 밑변과 함께 두 수만 적으면 됩니다. 도형이 좌우대칭이라 높이를 재지 않아도 되는데, 밑변의 한가운데가 꼭짓점의 바로 아래라는 사실을 알기 때문입니다. 지붕의 경사각을 알고 싶을 때도 이 페이지가 맞습니다. 밑각이 곧 지붕면이 수평과 이루는 각이고, 꼭지각은 두 지붕면이 만나는 각입니다. 목재를 자를 때 필요한 각도가 이 둘에서 나옵니다. 다만 꼭지각이 180도에 가까워지면 도형이 아주 뾰족해지고 밑각이 0에 가까워지므로, 도면에 적힌 각도와 실제로 만든 각도가 몇 도씩 어긋나기 쉽습니다. 밑변이 같은 변의 두 배에 가까워지는 반대쪽 극단에서는 높이가 0에 가까워져서, 조금만 잘못 재도 도형이 만들어지지 않습니다. 참고표의 마지막 두 줄이 그 두 극단이고, 두 경우 모두 계산이 거부되지 않고 0이나 180 같은 값을 돌려줍니다. 마지막으로 이 페이지는 밑변과 같은 변 두 개를 받습니다. 세 변이 모두 같아도 그대로 넣으면 되고, 두 변이 같은 삼각형이 아닌 경우에는 이 페이지의 대상이 아닙니다.

1. 밑변 6, 같은 변 5일 때

   1. 밑변의 절반: 6 ÷ 2 = 3
   2. 높이: √(25 − 9) = √16 = 4
   3. 넓이: 6 × 4 ÷ 2 = 12
   4. 둘레: 6 + 5 + 5 = 16
   5. 꼭지각: 2 × asin(3 ÷ 5) = 2 × 36.8699° = 73.7398°, 반올림하면 73.74
   6. 밑각: (180 − 73.7398) ÷ 2 = 53.1301°, 반올림하면 53.13

   페이지가 처음 열릴 때 쓰는 입력입니다. 높이가 √16으로 딱 떨어지는 것은 밑변의 절반 3과 같은 변 5가 3-4-5 직각삼각형을 이루기 때문입니다. 이 도형 안에는 그 삼각형이 좌우로 두 개 들어 있고, 넓이 12는 그 둘을 합친 값입니다. 두 각을 견주면 밑각이 꼭지각의 절반보다 조금 큽니다. 밑각 둘을 더하면 106.26이고 꼭지각 73.74를 더하면 정확히 180도가 되는데, 이 합이 삼각형이라면 언제나 성립합니다. 검산할 때 쓸 만한 관계입니다.

2. 밑변 6, 같은 변 6일 때

   1. 밑변의 절반: 6 ÷ 2 = 3
   2. 높이: √(36 − 9) = √27 = 5.196152…, 반올림하면 5.1962
   3. 넓이: 6 × 5.1962 ÷ 2 = 15.5885
   4. 둘레: 6 + 6 + 6 = 18
   5. 꼭지각: 2 × asin(3 ÷ 6) = 2 × 30° = 60°
   6. 밑각: (180 − 60) ÷ 2 = 60°

   세 변이 모두 같아서 정삼각형이 된 경우입니다. 꼭지각과 밑각이 60도로 같아지는데, 이등변삼각형이면서 정삼각형인 도형은 이렇게 세 각이 모두 같아집니다. 이등변삼각형이 가질 수 있는 가장 넓은 모양이기도 합니다. 밑변과 같은 변의 길이가 6으로 같아진 순간이고, 밑변을 이보다 길게 잡으면 도형이 납작해지면서 넓이가 줄어듭니다. 높이 5.1962는 3√3이라서 끝나지 않는 소수이고, 그래서 넓이도 15.5885로 인쇄됩니다.

3. 밑변 10, 같은 변 13일 때

   1. 밑변의 절반: 10 ÷ 2 = 5
   2. 높이: √(169 − 25) = √144 = 12
   3. 넓이: 10 × 12 ÷ 2 = 60
   4. 둘레: 10 + 13 + 13 = 36
   5. 꼭지각: 2 × asin(5 ÷ 13) = 2 × 22.6199° = 45.2398°, 반올림하면 45.24
   6. 밑각: (180 − 45.2398) ÷ 2 = 67.3801°, 반올림하면 67.38

   밑변의 절반 5와 같은 변 13이 5-12-13 직각삼각형을 이루어서 높이가 12로 딱 떨어집니다. 앞의 두 예와 견주면 밑변이 길어질수록 꼭지각이 작아지고 밑각이 커지는 흐름이 보입니다. 밑변 6에서는 꼭지각이 73.74도였는데 밑변이 10으로 늘어나자 45.24도로 줄었고, 밑각은 53.13도에서 67.38도로 올라갔습니다. 밑각이 90도에 가까워진다는 것은 두 변이 밑변 위에 거의 눕는다는 뜻입니다.

4. 밑변이 0, 같은 변이 5일 때

   1. 밑변의 절반: 0 ÷ 2 = 0
   2. 높이: √(25 − 0) = 5
   3. 넓이: 0 × 5 ÷ 2 = 0
   4. 둘레: 0 + 5 + 5 = 10
   5. 꼭지각: 2 × asin(0 ÷ 5) = 0°
   6. 밑각: (180 − 0) ÷ 2 = 90°

   밑변이 0이라서 두 변이 완전히 겹친 경우입니다. 도형은 폭이 없는 선분이 되고 넓이는 0, 꼭지각은 0도입니다. 그런데 높이는 5로 남아 있는데, 그것은 꼭짓점에서 밑변의 한가운데까지의 거리를 잰 값이기 때문입니다. 밑변이 한 점으로 줄어도 꼭짓점은 그 점에서 5센티미터 떨어져 있습니다. 밑각이 90도가 되는 것도 같은 이유이고, 두 변이 밑변과 완전히 수직으로 겹쳐진 상태를 나타냅니다. 계산이 거부되지 않고 0과 5와 90을 그대로 돌려주는 것은 이 상태가 오류가 아니라 실제로 만들 수 있는 상태이기 때문입니다.

5. 밑변 6, 같은 변 3일 때

   1. 밑변의 절반: 6 ÷ 2 = 3
   2. 높이: √(9 − 9) = 0
   3. 넓이: 6 × 0 ÷ 2 = 0
   4. 둘레: 6 + 3 + 3 = 12
   5. 꼭지각: 2 × asin(3 ÷ 3) = 2 × 90° = 180°
   6. 밑각: (180 − 180) ÷ 2 = 0°

   같은 두 변을 더한 값이 밑변과 정확히 같은 경우입니다. 두 변이 밑변 위에 그대로 포개져서 높이가 0이 되고, 꼭짓각은 펼쳐진 180도가 됩니다. 이보다 밑변이 길었다면 삼각형이 만들어지지 않았겠지만 딱 같은 값이라서 계산이 거부되지 않았습니다. 위의 밑변 0짜리 예와 결과가 0으로 같아 보이지만 이유는 정반대입니다. 그쪽은 꼭짓점까지의 거리가 남아 있었고 이쪽은 그 거리가 사라졌습니다. 표의 마지막 두 줄이 이 두 극단을 나란히 보여 줍니다.

이 페이지는 이등변삼각형만 다룹니다. 두 변의 길이가 같은 삼각형이고, 세 변이 모두 다른 삼각형은 밑변과 같은 변이라는 두 수로 정해지지 않으므로 이 페이지의 대상이 아닙니다. 정삼각형은 세 변이 모두 같아서 여기에도 들어오고, 어느 변을 밑변으로 잡아도 같은 답이 나옵니다. 화면의 두 번째 입력 라벨은 직각변으로 되어 있지만, 이 도형에서 그 변은 밑변과 직각으로 만나지 않습니다. 라벨의 이름보다 도형에서의 역할로 읽어야 합니다. 밑변은 같은 변의 두 배보다 작아야 하고, 두 배가 되면 높이가 0인 납작한 상태가 됩니다. 계산기는 그 상태를 거부하지 않고 넓이 0과 꼭지각 180도를 돌려주는데, 이것도 하나의 답으로 취급하기 때문입니다. 밑변이 음수이거나 같은 변이 음수이면 계산이 거부됩니다. 출력의 단위는 드롭다운이 무엇으로 되어 있든 센티미터와 제곱센티미터, 도입니다. 인치로 넣은 값은 센티미터로 돌아오므로 직접 환산해야 합니다. 넓이와 둘레와 높이는 소수점 네 자리까지 인쇄되지만 두 각은 둘째 자리까지만 인쇄됩니다. 각도가 그만큼 정밀하게 쓰이는 값이 아니기 때문이고, 인쇄된 각도를 다시 넣어 계산하면 넓이가 조금 다르게 나올 수 있습니다. 꼭지각과 밑각은 서로를 보완하는 값이라 둘 중 하나만 알아도 다른 하나가 나오지만, 높이나 넓이에서 각도를 거꾸로 구하는 계산은 이 페이지에 없습니다. 넓이와 밑변을 알고 높이를 구하는 것은 나누기 한 번이면 되지만 그 칸도 따로 마련되어 있지 않습니다.

같은 두 변의 길이는 왜 한 번만 넣나요?

두 변의 길이가 같기 때문입니다. 이등변삼각형은 그 한 가지 성질로 도형 전체가 정해지므로, 같은 변을 두 번 입력할 이유가 없습니다. 밑변과 같은 변 하나, 이렇게 두 수면 도형이 완전히 결정되고 넓이와 둘레와 높이와 두 각이 모두 나옵니다. 화면의 두 번째 라벨은 직각변으로 되어 있지만 밑변과 직각으로 만나는 변이 아니라 길이가 같은 두 변을 뜻합니다.

높이는 어떻게 구하나요?

밑변의 한가운데에서 꼭짓점까지의 거리이고, 도형의 대칭축입니다. 밑변의 절반과 같은 변 하나가 직각삼각형을 이루므로, 같은 변의 제곱에서 밑변 절반의 제곱을 빼고 제곱근을 씌우면 나옵니다. 밑변 6에 같은 변 5라면 3과 5가 직각삼각형을 이루어 높이가 4가 됩니다.

꼭지각과 밑각은 어떤 관계인가요?

둘을 더하면 180도가 됩니다. 밑각이 두 개이고 서로 같으므로 꼭지각에 밑각의 두 배를 더한 값이 180도입니다. 그래서 밑각은 90도보다 클 수 없고, 꼭지각이 0도에 가까워지면 밑각이 90도에 가까워집니다. 하나만 알아도 다른 하나가 나오는 관계입니다.

세 변이 모두 같아지면 어떻게 되나요?

정삼각형이 되고 세 각이 모두 60도로 같아집니다. 꼭지각과 밑각이 같은 값이 되는 유일한 순간이고, 이등변삼각형이 가질 수 있는 가장 넓은 모양이기도 합니다. 밑변과 같은 변의 길이가 같아진 상태이고, 밑변을 그보다 더 길게 잡으면 도형이 납작해지면서 넓이가 줄어듭니다.

밑변을 아무리 길게 잡아도 되나요?

같은 두 변을 더한 값보다 짧아야 합니다. 두 변의 길이가 같으므로 밑변은 같은 변의 두 배보다 작아야 하고, 딱 두 배가 되면 두 변이 밑변 위에 포개져서 높이가 0이 됩니다. 계산기는 이 상태를 거부하지 않고 넓이 0과 꼭지각 180도를 돌려줍니다. 삼각형이 아니라 선분이지만 그 세 변은 실제로 잴 수 있는 길이이기 때문입니다.

각도는 왜 소수점 둘째 자리까지만 나오나요?

각도가 길이만큼 정밀하게 쓰이는 값이 아니기 때문입니다. 넓이와 높이는 소수점 네 자리까지 인쇄되지만 두 각은 둘째 자리까지입니다. 인쇄된 각도를 그대로 다시 넣어 계산하면 넓이가 조금 다르게 나올 수 있는데, 그 차이는 반올림 때문이지 식이 틀린 것이 아닙니다.

지붕의 경사각을 구할 때도 쓸 수 있나요?

쓸 수 있습니다. 지붕의 박공면은 밑변이 건물의 폭이고 같은 두 변이 지붕면의 길이인 이등변삼각형입니다. 밑각이 지붕면이 수평과 이루는 각이고 꼭지각이 두 지붕면이 만나는 각이라서, 목재를 자를 때 필요한 각도가 여기서 나옵니다. 다만 꼭지각이 180도에 가까운 뾰족한 지붕은 각도가 조금만 어긋나도 눈에 띄므로 여유를 두고 재는 편이 좋습니다.

• Isosceles Triangle — 두 변이 같은 삼각형. 밑변의 수직 이등분선이 대칭축이 되고 두 밑각이 같아진다는 성질이 이 페이지의 식을 만든다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 삼각형의 세 각을 더하면 180도가 된다는 성질. 꼭지각과 두 밑각의 관계가 여기서 나온다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — 직각삼각형의 세 변 관계. 밑변의 절반과 같은 변으로 높이를 구하는 자리에서 쓰인다 — Wolfram MathWorld (United States)