삼각형 넓이 계산기
계산 결과
넓이
삼각형 넓이 계산기는 밑변과 그 밑변에 수직인 높이를 받아, 삼각형이 차지하는 면이 몇 제곱센티미터인지를 돌려줍니다. 식은 수학에서 가장 짧은 축에 드는 밑변 곱하기 높이 나누기 2이고, 이 가운데 이해할 값이 있는 자리는 나누기 2입니다. 이 페이지의 나머지 이야기가 전부 그 한 조각에서 나오기 때문입니다. 아무 삼각형이나 하나 골라 그것과 똑같은 것을 하나 더 복사하고, 복사본을 반 바퀴 돌려 같은 변끼리 맞붙이면 평행사변형이 하나 나옵니다. 밑변은 그대로, 높이도 그대로인데 넓이만 정확히 두 배가 됩니다. 삼각형의 몫이 절반인 이유가 이것이고, 이 논증은 반듯한 삼각형에서만이 아니라 모든 삼각형에서 성립합니다. 직각삼각형이 눈으로 확인하기에는 가장 쉬운 경우입니다. 복사본이 그대로 미끄러져 붙어 평행사변형이 직사각형이 되기 때문입니다. 다만 이 논증은 도형 어딘가에 직각이 있어야만 성립하는 것이 아니고, 식도 마찬가지입니다. 조심해야 할 낱말은 높이입니다. 높이는 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지를 밑변에 직각으로 잰 거리이고, 비스듬한 변의 길이가 아닙니다. 이 둘은 삼각형이 직각삼각형일 때만 우연히 같아집니다. 비스듬한 변을 높이 자리에 넣는 것이, 그럴듯해 보이는 답을 얻고도 틀리는 가장 흔한 경로입니다. 수직 높이를 묻는 계산기는 그 측정을 먼저 하고 나서 입력하라고 요구하는 셈이니, 지금 손에 있는 수가 어느 쪽인지 확인하고 시작하는 편이 좋습니다.
밑변과 수직 높이로 구한 삼각형의 넓이
| 밑변 (cm) | 높이 (cm) | 넓이 (cm²) |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
여덟 개의 삼각형과 세 개의 열입니다. 이 페이지에는 식이 하나, 답이 하나뿐이기 때문입니다. 첫 줄은 페이지가 처음 열릴 때 채워지는 짝이자 식을 설명하는 줄이기도 합니다. 평행사변형 페이지와 견주어 보십시오. 밑변 10에 높이 6이면 그쪽은 30이 아니라 60을 냅니다. 언제나 정확히 두 배이고, 절반이라는 규칙이 그것으로 설명됩니다. 셋째 줄은 사다리꼴 페이지와 견줄 줄입니다. 밑변 5에 높이 8이면 20이고, 윗변이 0이고 아랫변이 10이며 높이가 4인 사다리꼴도 20입니다. 그 사다리꼴이 삼각형이기 때문입니다. 다섯째 줄은 직각이등변삼각형으로, 밑변과 높이가 같은 수가 되어 넓이가 그 정사각형의 절반이 됩니다. 4와 4는 8입니다. 여섯째 줄은 높이에 소수가 들어간 경우로, 15의 절반이 정확히 7.5가 되어 반올림으로 잃는 것이 없습니다. 일곱째 줄은 밑변 1에 높이 1인 단위 삼각형이고 넓이가 0.5입니다. 나올 수 있는 가장 작은 답으로 기억해 둘 만합니다. 마지막 줄은 높이가 0인 경우로, 삼각형이 밑변 위로 접혀 아무것도 덮지 않습니다. 빠진 답이 아니라 진짜 답입니다. 여기 있는 모든 값은 페이지를 만들 때 두 입력에서 다시 계산되며, 단위는 센티미터이고 소수점 네 자리는 결과 패널과 같은 네 자리입니다.
공식
A = b × h ÷ 2
- 밑변
- 삼각형의 세 변 가운데 아무거나 하나를 고른 길이입니다. 어느 변을 골라도 상관없지만, 높이는 반드시 그 고른 변을 기준으로 재야 합니다
- 높이
- 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지를 밑변에 직각으로 잰 거리입니다. 비스듬한 변을 따라 잰 길이가 아니고, 그래서 눈금자를 밑변에 수직으로 세워야 나오는 수입니다
- 넓이
- 삼각형이 감싸는 면의 크기입니다. 같은 밑변과 같은 높이를 가진 평행사변형이 덮는 면의 절반입니다
- 2
- 나누는 수이며, 식이 그냥 밑변 곱하기 높이가 아닌 이유 전부입니다. 삼각형은 자기 자신을 반 바퀴 돌려 붙여 만든 평행사변형의 절반입니다
- b × h
- 그 평행사변형의 넓이입니다. 곱셈을 먼저 하고 나눗셈을 나중에 하라는 순서가, 수가 딱 떨어지지 않을 때 마지막 자리를 지켜 줍니다
- 소수점 네 자리
- 결과를 적는 폭입니다. 딱 떨어지는 곱을 반으로 나누어도 분수가 남을 수 있습니다. 밑변 7에 높이 5면 17.5가 나오고, 0.5센티미터짜리 밑변이면 4분의 1이 남습니다
- 제곱센티미터
- 단위 선택과 무관하게 답이 적히는 단위입니다. 넓이는 언제나 제곱 단위이므로, 인치로 잰 밑변과 높이는 제곱센티미터로 돌아오고 제곱인치로 읽으려면 6.4516으로 나누어야 합니다
이 페이지는 삼각형이기만 하면 어떤 도형의 넓이든, 무엇으로 만들어졌든 어떻게 그려졌든 답합니다. 가장 오래된 쓰임은 땅입니다. 한쪽으로 뾰족해진 땅은 삼각형이고, 네 귀가 있는 땅은 삼각형 둘이며, 측량이 이 방식으로 이루어진 역사는 토지대장의 역사만큼 깁니다. 지붕과 외장과 유리는 오늘날의 쓰임이고, 셋 다 견적서를 데리고 옵니다. 박공면, 삼각형 유리창, 쇠판 한 조각이 모두 제곱미터 단위로 값이 매겨지므로 주문을 넣기 전에 넓이가 맞아야 합니다. 대각선으로 잘라 낸 천과 종이도 단위만 다를 뿐 같은 계산이고, 돛이나 피라미드의 삼각형 면도 마찬가지입니다. 이 식은 또 수많은 다른 작업의 후반부이기도 합니다. 어떤 다각형이든 삼각형으로 쪼갤 수 있고, 하나를 할 수 있으면 나머지는 산수입니다. 사각형과 각기둥과 지붕 계산기 안에서 이 공식이 다시 나오는 이유이고, 그래서 이것만은 확실히 해 두고 넘어갈 값어치가 있습니다. 교실에서 하는 확인도 있습니다. 모눈종이에 그린 직각삼각형과 이등변삼각형은 칸을 세어 답을 직접 검산할 수 있습니다. 한 번쯤 해 볼 만한 확인인데, 센 칸 수와 식이 낸 수가 같아지는 것을 보면 절반이라는 규칙이 외울 것으로 남지 않기 때문입니다.
계산 예시
밑변 10, 높이 6
- 밑변과 높이를 곱합니다: 10 × 6 = 60
- 반으로 나눕니다: 60 ÷ 2 = 30
이 페이지가 처음 열릴 때 채워져 있는 짝이고, 평행사변형과의 관계를 보여 주는 줄입니다. 같은 밑변과 높이를 평행사변형 계산기에 넣으면 60이 나오는데, 그것이 정확히 이 값의 두 배입니다. 이 페이지에서 수 하나만 외운다면 이 수를 외우십시오. 누가 준 삼각형 넓이가 그럴듯한지 판단하는 가장 빠른 길입니다.
밑변 7, 높이 4
- 밑변과 높이를 곱합니다: 7 × 4 = 28
- 반으로 나눕니다: 28 ÷ 2 = 14
평범한 경우입니다. 홀수 밑변에 짝수 높이, 그리고 정수로 떨어지는 답. 특별할 것 없는 도형이고 편한 각도로 잰 것도 없습니다. 실제 삼각형은 대개 이렇게 생겼습니다. 울퉁불퉁한 땅, 박공면, 비스듬히 잘린 종이 조각 같은 것이고, 식은 변이 고르지 않다는 사실에 개의치 않습니다.
밑변 5, 높이 8
- 밑변과 높이를 곱합니다: 5 × 8 = 40
- 반으로 나눕니다: 40 ÷ 2 = 20
사다리꼴 페이지와 견주어 볼 줄입니다. 사다리꼴에 윗변 0, 아랫변 10, 높이 4를 넣으면 20이 나옵니다. 한 변이 0인 사다리꼴은 삼각형이기 때문입니다. 같은 도형에 대해 두 페이지가 같은 수를 인쇄하는 것이 두 페이지를 함께 두는 이유입니다.
밑변 12.5, 높이 8
- 밑변과 높이를 곱합니다: 12.5 × 8 = 100
- 반으로 나눕니다: 100 ÷ 2 = 50
소수점이 들어간 측정값이고, 줄자로 재면 대개 이렇게 나옵니다. 곱셈을 먼저 하고 나눗셈을 나중에 하며 나눗셈이 딱 떨어지므로 반올림 오차가 전혀 끼지 않습니다. 답은 50에 가까운 값이 아니라 정확히 50입니다.
밑변 20, 높이 0
- 밑변과 높이를 곱합니다: 20 × 0 = 0
- 반으로 나눕니다: 0 ÷ 2 = 0
높이가 0이라는 것은 삼각형이 자기 밑변 위로 납작하게 눌려 선분이 되었다는 뜻입니다. 0도 정당한 입력이므로 이것은 빠진 답이 아니라 진짜 답입니다. 상자를 비워 둔 것과는 다릅니다. 비워 두면 계산할 거리가 없어 결과가 아예 나오지 않습니다.
한계
이 페이지는 밑변과 수직 높이만 받고 그 밖에는 받지 않습니다. 세 변의 길이로는 계산하지 않는데, 그것은 다른 공식을 쓰는 다른 계산이고 자기 페이지가 따로 있습니다. 둘레도 각도도 변의 길이도 내놓지 않으며, 높이는 비스듬한 변이 아닙니다. 손에 있는 측정값이 삼각형의 변을 따라 잰 것 하나뿐이라면, 그 값을 이 페이지에 쓰기 전에 밑변에 수직인 높이로 바꾸어야 합니다. 답은 단위 선택과 무관하게 언제나 제곱센티미터이고, 넓이이므로 환산도 제곱으로 합니다. 인치로 넣은 밑변과 높이는 제곱센티미터로 돌아오고, 그것을 제곱인치로 읽으려면 2.54가 아니라 6.4516으로 나누어야 합니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭이고, 딱 떨어지는 곱의 절반은 실제로 분수가 될 수 있습니다. 밑변 7에 높이 5를 넣으면 17.5가 나옵니다. 두 입력 모두 0을 받아들이고 답은 0이 되는데, 퇴화한 삼각형에 대해서는 맞는 답이며 상자를 비워 둔 것과는 다릅니다. 곡선으로 된 변, 구면 위에 그린 삼각형, 재료의 두께 같은 것은 다루지 않습니다. 평면 위의 이차원 도형만 다룹니다.
자주 묻는 질문
- 어느 변을 밑변으로 잡아야 하나요?
- 세 변 가운데 아무거나 잡아도 됩니다. 다만 높이는 고른 그 변을 기준으로 재야 합니다. 삼각형에는 밑변과 높이의 짝이 셋 있고 셋 다 같은 넓이를 내놓는데, 한 번쯤 해 볼 만한 검산입니다. 삼각형 하나를 놓고 꼭짓점을 바꿔 가며 넓이를 구해 보면 세 답이 서로 맞아떨어집니다. 이 페이지는 어느 짝을 쓰든 상관하지 않습니다.
- 왜 밑변 곱하기 높이의 절반인가요?
- 삼각형 두 개를 붙이면 평행사변형이 되기 때문입니다. 삼각형을 하나 복사해 반 바퀴 돌린 뒤 같은 변끼리 맞붙이면, 밑변도 높이도 그대로인데 넓이만 정확히 두 배인 도형이 나옵니다. 삼각형은 그 도형의 절반입니다. 넓이 공식에 절반이 붙는 이유가 이것뿐이고, 반듯한 삼각형에서만이 아니라 모든 삼각형에서 성립합니다.
- 비스듬한 변을 높이로 써도 되나요?
- 안 됩니다. 그리고 이것이 이 페이지가 막으려는 실수입니다. 높이는 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지를 밑변에 직각으로 잰 거리입니다. 삼각형이 기울어져 있으면 비스듬한 변은 그 거리보다 항상 길기 때문에, 대신 넣으면 넓이가 부풀어 오릅니다. 두 수가 같아지는 것은 한 변이 이미 밑변과 직각을 이루고 있는 직각삼각형뿐입니다.
- 세 변의 길이로 넓이를 구하는 방법은 어디 있나요?
- 별도 페이지에 있습니다. 세 변으로 삼각형의 넓이를 구하는 데는 절반으로 나누는 대신 제곱근이 들어가는 다른 공식을 쓰고, 그것은 따로 만들어진 도구입니다. 이 페이지는 한 가지 일만 합니다. 원과 구 페이지가 같은 선택을 한 것과 같습니다. 한 가지 질문에 답하는 페이지가, 여러 질문 가운데 무엇을 뜻했는지 되묻는 페이지보다 쓰기 쉽습니다.
- 단위는 어떻게 되나요?
- 단위 선택은 입력하는 값을 바꿀 뿐 나오는 값을 바꾸지 않습니다. 결과는 언제나 제곱센티미터로 적히고, 넓이이므로 환산이 제곱으로 이루어집니다. 인치로 잰 삼각형은 제곱센티미터 수치로 돌아오고, 그 값을 제곱인치로 읽으려면 6.4516으로 나누면 됩니다. 피트로 넣고 제곱피트로 읽는 것이 가장 흔한 착각입니다.
- 입력 가운데 하나가 0이면 어떻게 되나요?
- 답은 0이고 그것이 맞습니다. 높이가 없는 삼각형은 밑변 위에 눌려 아무것도 덮지 않습니다. 0은 빈 상자가 아니라 실제 값으로 취급되므로 페이지가 결과를 인쇄합니다. 상자를 비워 둔 것과는 다릅니다. 비워 두면 계산할 거리가 없어 결과가 아예 나오지 않습니다.
참고 문헌
- Triangle Area — 이 페이지가 계산하는 밑변 곱하기 높이의 절반 공식과, 절반이 붙는 이유를 보여 주는 평행사변형 논증 — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — 삼각형이란 무엇이고 밑변과 높이라는 어휘가 어떻게 쓰이며, 넓이에 이르는 길이 몇 가지나 되는지 — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — 삼각형 두 개를 붙이면 되는 도형, 넓이가 정확히 두 배인 까닭, 그리고 식에서 나누는 수가 2인 이유 — Wolfram MathWorld (United States)