삼각형 높이 계산기
계산 결과
높이
삼각형 높이 계산기는 삼각형의 넓이와 그 넓이를 잰 밑변을 받아, 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지의 수직 거리를 센티미터로 돌려줍니다. 넓이 공식을 거꾸로 읽는 역산입니다. 넓이 페이지는 밑변과 높이를 곱해 반으로 나누고, 이 페이지는 넓이를 두 배로 만든 뒤 밑변으로 나눕니다. 같은 관계에서 모르는 값을 반대편으로 옮긴 것뿐입니다. 삼각형 자체에 대해 알아야 할 것은 없습니다. 각도도, 나머지 두 변도, 둘레도 필요하지 않습니다. 넓이와 밑변 두 가지가 높이를 한 값으로 못 박아 두기 때문입니다. 여기서 잠깐 짚고 갈 만한데, 사람들이 가장 놀라는 자리이기 때문입니다. 넓이가 30제곱센티미터이고 밑변이 10센티미터인 삼각형의 높이는 6이고, 도형이 아무리 비뚤어져 있어도 그 값밖에 될 수 없습니다. 삼각형에 남아 있는 자유는 꼭짓점이 밑변 위 어디에 앉는지에 있지, 얼마나 높이 솟는지에 있지 않습니다. 조심할 것은 넓이 페이지가 경고하는 바로 그 하나를 반대쪽에서 만난 것입니다. 여기서 밑변은 높이를 재는 기준이 되는 변이고, 높이는 그 변에 수직이어야 합니다. 비스듬한 변을 밑변 자리에 넣으면 조금 작은 높이가 나오는데, 페이지 어디에도 잘못됐다고 알려 주는 표시가 없습니다. 지금 가진 측정값이 어느 쪽인지 확실하지 않다면, 그 짝을 분명히 물어보는 넓이 페이지에서 먼저 정리하고 오는 편이 좋습니다.
넓이와 밑변으로 구한 삼각형의 수직 높이
| 넓이 (cm²) | 밑변 (cm) | 높이 (cm) |
|---|---|---|
| 30 | 10 | 6 |
| 20 | 5 | 8 |
| 7.5 | 6 | 2.5 |
| 12 | 8 | 3 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 9 | 2 |
| 21 | 7 | 6 |
| 0 | 5 | 0 |
여덟 개의 삼각형과 세 개의 열입니다. 이 페이지에는 식이 하나, 답이 하나뿐이기 때문입니다. 처음 세 줄은 넓이 페이지와 일부러 공유한 값이고, 같은 수를 반대 방향에서 읽은 것입니다. 넓이 30에 밑변 10이면 6, 넓이 20에 밑변 5면 8, 넓이 7.5에 밑변 6이면 2.5입니다. 넓이 페이지에 그 밑변과 높이를 넣으면 같은 세 삼각형에 대해 30과 20과 7.5를 인쇄합니다. 두 표를 나란히 읽는 것이, 둘이 하나의 식이지 둘이 아니라는 것을 확인하는 가장 빠른 길입니다. 다섯째 줄은 직각이등변삼각형으로, 넓이 8에 밑변 4를 넣으면 높이 4가 나옵니다. 여기서 밑변은 한 변이고 높이는 다른 한 변이므로 둘이 같아집니다. 이것은 빗변에 내린 높이와는 다른 선입니다. 빗변에 내린 높이는 4 ÷ √2 = 2.8284이고 빗변 가운데에 떨어집니다. 여섯째 줄은 스스로를 검산하는 줄입니다. 넓이 9에 밑변 9를 넣으면 어떤 수든 언제나 2가 나옵니다. 두 배로 만든 뒤 자기 자신으로 나누면 2밖에 될 수 없기 때문입니다. 일곱째 줄은 홀수 밑변인데도 정확히 6으로 돌아오는데, 이것이 나누기 전에 넓이를 두 배로 만드는 이유입니다. 나눗셈이 마지막 단계가 되어 반올림이 한 번만, 출구에서 일어납니다. 마지막 줄은 넓이가 0인 경우로, 삼각형이 밑변 위로 접혀 높이가 0입니다. 빠진 답이 아니라 진짜 답입니다. 여기 있는 모든 값은 페이지를 만들 때 두 입력에서 다시 계산되며, 단위는 센티미터이고 소수점 네 자리는 결과 패널과 같은 네 자리입니다.
공식
h = 2 × A ÷ b
- 넓이
- 삼각형이 덮는 면의 크기입니다. 넓이 페이지가 내놓은 수를 여기서 출발점으로 다시 받는 셈입니다
- 밑변
- 높이를 재는 기준이 되는 변입니다. 세 변 가운데 아무거나 좋지만, 구하려는 높이가 그 변에 수직인 높이여야 합니다
- 높이
- 이 페이지가 구하는 값입니다. 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지를 밑변에 직각으로 잰 거리이고, 비스듬한 변의 길이가 아닙니다
- 2
- 두 배가 어디서 오는지입니다. 넓이 공식이 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누므로, 그 절반을 되돌리려면 밑변으로 나누기 전에 넓이를 두 배로 만들어야 합니다
- 2A ÷ b
- 계산 전체입니다. 밑변을 반으로 줄이는 대신 넓이를 먼저 두 배로 만드는 것이, 수가 딱 떨어지지 않을 때 마지막 자리를 지켜 줍니다
- 소수점 네 자리
- 결과를 적는 폭입니다. 높이는 실제로 분수가 될 수 있습니다. 넓이 7.5에 밑변 6이면 정확히 2.5가 나오고, 넓이 1에 밑변 3이면 3분의 2가 나옵니다
- 센티미터
- 단위 선택과 무관하게 답이 적히는 단위입니다. 길이이므로 넓이 페이지와 달리 환산이 제곱이 아닙니다. 인치로 넣은 밑변도 센티미터 높이를 돌려주고, 인치로 읽으려면 2.54로 나누면 됩니다
가장 뻔한 쓰임은 넓이는 이미 아는데 치수가 필요한 경우입니다. 땅이 전형적인 예입니다. 넓이는 등기부나 측량 성과표에 적혀 있고, 밑변은 도로나 울타리 선을 따라 있고, 알고 싶은 것은 그 땅이 가장 깊은 곳에서 안쪽으로 얼마나 들어가는지입니다. 정확히 이 계산이고, 두 공식이 존재한 이래로 나란히 가르쳐져 온 이유입니다. 지붕과 목공은 두 번째 갈래를 엽니다. 값 매기기 위해 삼각형의 넓이가 이미 나와 있고, 이번에는 재단이나 먹매김을 위한 치수로 높이가 필요할 때입니다. 지붕 폭에서 나오는 박공의 솟은 높이, 폭이 좁아지는 판의 깊이, 현에서 활의 반대편까지의 거리가 모두 여기 해당합니다. 제도와 CAD는 세 번째입니다. 도면 위의 삼각형에 넓이가 적혀 있고, 빠진 높이를 되찾아야 하는 경우입니다. 교실에서 하는 버전도 있는데, 관계가 손에 잡히는 것은 이쪽입니다. 넓이와 밑변을 아는 삼각형 하나를 골라 높이를 구한 다음 도형과 견주어 보면, 나온 수가 그림이 보여 주는 그 수입니다. 이 페이지와 넓이 페이지를 짝지어 둔 이유가 그것입니다. 같은 식의 양방향을 한 번씩이라도 눈앞에 두고 써 보는 것이 좋습니다. 거꾸로 한 번 돌려 본 식은 훨씬 잊히지 않습니다.
계산 예시
넓이 30, 밑변 10
- 넓이를 두 배로 만듭니다: 2 × 30 = 60
- 밑변으로 나눕니다: 60 ÷ 10 = 6
이 페이지가 처음 열릴 때 채워지는 짝이고, 넓이 페이지와 이어 주는 줄입니다. 밑변 10에 높이 6은 저쪽에서 정확히 넓이 30을 만들어 내는 조합입니다. 두 페이지를 짝에 맞는 수로 차례로 돌려 보면 출발한 자리로 되돌아오는데, 식을 이해했는지 확인하는 가장 싼 방법입니다.
넓이 20, 밑변 5
- 넓이를 두 배로 만듭니다: 2 × 20 = 40
- 밑변으로 나눕니다: 40 ÷ 5 = 8
넓이 페이지가 사다리꼴 이야기를 꺼낼 때 쓰는 바로 그 삼각형입니다. 밑변 5에 높이 8이면 20이고, 윗변 0에 아랫변 10, 높이 4인 사다리꼴도 20입니다. 여기서 특별한 것은 없습니다. 짝이 고르지 않은 입력에 정수로 떨어지는 답입니다.
넓이 7.5, 밑변 6
- 넓이를 두 배로 만듭니다: 2 × 7.5 = 15
- 밑변으로 나눕니다: 15 ÷ 6 = 2.5
절반으로 나눈 곱에서 흔히 나오는, 0.5가 붙은 넓이에 짝수 밑변입니다. 두 배를 먼저 하면 나눗셈이 일어나기 전에 0.5가 정수로 바뀌므로, 답은 반올림해서 2.5처럼 보이는 값이 아니라 정확히 2.5입니다.
넓이 0, 밑변 5
- 넓이를 두 배로 만듭니다: 2 × 0 = 0
- 밑변으로 나눕니다: 0 ÷ 5 = 0
넓이가 0이라는 것은 삼각형이 자기 밑변 위로 접혀 남은 높이가 없다는 뜻입니다. 0은 빈 상자가 아니라 실제 입력이므로 이것도 실제 답입니다. 그리고 밑변이 0인 경우와는 확실히 다릅니다. 그쪽은 나눌 것이 없어서 페이지가 거절합니다.
한계
이 페이지는 넓이와 밑변만 받고 그 밖에는 받지 않습니다. 세 변의 길이로는 계산하지 않는데, 그것은 같은 높이에 이르는 다른 길이고 넓이를 먼저 구해야 합니다. 각도도 변의 길이도 내놓지 않으며, 여기서 밑변은 높이를 재는 기준이 되는 변이지 나머지 두 변이 아닙니다. 비스듬한 변을 넣으면 높이가 조금 작게 나오는데, 페이지에는 그것을 알려 주는 표시가 없습니다. 밑변은 0보다 커야 합니다. 넓이 0은 받아들여져 높이 0이 되지만, 밑변 0은 무한대가 아니라 아예 답이 없고, 페이지는 큰 수를 인쇄하는 대신 그렇다고 말합니다. 답은 단위 선택과 무관하게 언제나 센티미터이고, 높이는 길이이므로 환산이 일차입니다. 인치로 넣은 밑변은 센티미터를 돌려주고, 6.4516이 아니라 2.54로 나누면 됩니다. 소수점 네 자리는 정밀도에 대한 주장이 아니라 표시 폭이고, 높이는 실제로 분수가 될 수 있습니다. 넓이 1에 밑변 3을 넣으면 3분의 2가 나오고, 그것을 네 자리로 적습니다. 곡선으로 된 변, 구면 위에 그린 삼각형, 밑변과 다른 평면에서 넓이를 잰 도형은 다루지 않습니다.
자주 묻는 질문
- 여기서 밑변은 어느 변인가요?
- 높이가 수직으로 내려앉는 그 변입니다. 높이의 목표를 정하는 것이 바로 당신이므로, 넓이를 잴 때 기준으로 삼았던 변입니다. 넓이가 측량 성과표나 도면에서 왔다면 밑변은 그 문서가 넓이를 잰 변입니다. 짝을 잘못 맞추는 것이, 이 페이지에서 겉보기에는 멀쩡한데 틀린 답을 얻는 유일한 길입니다.
- 밑변을 반으로 줄이지 않고 넓이를 두 배로 하는 이유는 무엇인가요?
- 둘 다 같은 답을 내고, 컴퓨터에서는 둘 다 똑같이 정확합니다. 수를 두 배로 만드는 것도 반으로 만드는 것도 정확한 연산이므로, 어느 길로 가든 나눗셈을 한 번 하고 마지막에 한 번 반올림합니다. 이 페이지가 두 배를 택한 것은 그것이 공식의 모양이기 때문입니다. 넓이 공식이 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누고, 그 절반을 되돌리는 일이 넓이를 두 배로 만드는 일입니다. 덕분에 나눗셈이 마지막 단계로 남아, 반올림된 값이 어디에도 다시 쓰이지 않습니다.
- 높이가 밑변보다 길게 나올 수도 있나요?
- 그럴 수 있고, 잘못된 것이 없습니다. 폭이 좁고 높이 솟은 삼각형은 넓이를 두 배로 만든 뒤 짧은 밑변으로 나누면 큰 높이가 나옵니다. 높이와 밑변은 서로 다른 두 방향이고 어느 쪽도 다른 쪽을 제약하지 않습니다. 둘을 묶는 것은 넓이뿐이고, 식은 주어진 그대로입니다.
- 밑변이 0이면 어떻게 되나요?
- 답을 내놓는 대신 거절합니다. 밑변이 0이라는 것은 0으로 나누는 일이고, 그 결과를 정직하게 설명하면 높이가 아주 큰 것이 아니라 높이가 없는 것입니다. 넓이 0은 다른 문제이고 받아들여집니다. 넓이가 없는 삼각형은 밑변 위로 접힌 것이고, 높이는 실제로 0입니다.
- 세 변으로 높이를 구하는 방법은 어디 있나요?
- 별도 페이지에 있습니다. 세 변의 길이로 삼각형의 넓이를 구하는 데는 다른 공식과 제곱근이 필요하고, 넓이를 얻은 다음에는 세 변 가운데 아무거나 밑변으로 삼아 여기로 돌아오면 됩니다. 두 페이지는 그 순서로 쓰도록 만들어져 있고, 높이 페이지는 넓이 페이지의 일을 대신하려 들지 않습니다.
- 단위는 어떻게 되나요?
- 단위 선택은 입력하는 값을 바꿀 뿐 나오는 값을 바꾸지 않습니다. 결과는 언제나 센티미터로 적힙니다. 높이는 길이이므로 넓이 페이지와 달리 환산이 제곱이 아닙니다. 센티미터 답을 인치로 읽으려면 2.54로 나누면 됩니다. 밑변을 인치로 넣고 답을 인치로 읽는 것이 가장 흔한 착각입니다.
참고 문헌
- Triangle Area — 이 페이지가 거꾸로 돌리는 공식, 그리고 2라는 계수가 애초에 왜 붙는지 보여 주는 평행사변형 논증 — Wolfram MathWorld (United States)
- Altitude — 꼭짓점에서 마주 보는 변으로 내린 수선, 곧 이 페이지가 돌려주는 값이며 삼각형에 그것이 셋 있는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — 삼각형이란 무엇이고 밑변과 높이라는 어휘가 어떻게 쓰이며, 넓이와 높이에 이르는 길이 몇 가지나 되는지 — Wolfram MathWorld (United States)