삼각함수 계산기

sin θ = 대변 ÷ 빗변 cos θ = 인접변 ÷ 빗변 tan θ = sin θ ÷ cos θ

θ

각도이며 도나 라디안으로 넣습니다. 음수일 수 있고 한 바퀴보다 클 수도 있으며, 원 위 어디에 놓이는지만 중요합니다

대변 / 인접변

각도 θ를 품은 직각삼각형의 두 변입니다. θ 건너편에 있는 변과 θ에 붙어 있는 변이고, 빗변을 1로 두면 사인과 코사인이 읽어 내는 두 좌표가 됩니다

빗변

직각삼각형에서 가장 긴 변이고 직각 건너편에 있습니다. 이 값으로 나누는 것이 사인과 코사인을 -1과 1 사이에 묶어 두는 이유입니다

각도를 이미 알고 그 사인과 코사인, 탄젠트를 원할 때 이 페이지를 씁니다. 도로 아는 지붕의 기울기, 라디안으로 아는 위상, 성분으로 나누려는 방향이 모두 여기로 들어오고, 세 삼각비를 하나씩이 아니라 함께 얻습니다. 열두 각도의 삼각함수 표가 함께 있는 것도 같은 이유입니다. 실제로 마주치는 각은 대개 그 열두 개 가운데 하나이고, 세 함수를 나란히 두면 30도의 사인과 60도의 코사인이 같은 수라는 사실이 보입니다. 호도법으로 적힌 값을 다룰 때도 이 표가 같은 수를 줍니다. 원 위의 점 자체를 그리고 싶으면 단위원 페이지로, 알고 있는 것이 각이 아니라 두 변이면 직각삼각형 페이지로 가십시오. 비율은 있는데 각도를 되찾고 싶으면 그것은 역방향이고, 각도의 사인과 코사인과 탄젠트는 각도를 알려 주지 않습니다. 그 일은 역삼각함수 페이지가 합니다.

1. 각도 30도

   1. 각이 제1사분면에 있으므로 세 값이 모두 양수입니다
   2. 반지름 1인 원에서 30도에 놓이는 점은 (√3/2, 1/2)입니다
   3. 그러므로 코사인이 √3/2이고 사인이 1/2이며, 탄젠트는 둘의 비인 √3/3입니다

   페이지가 열릴 때의 각도이고 아래 표의 둘째 행입니다. 정확한 값은 2분의 1과 2분의 √3과 3분의 √3이고, 보이는 소수는 그 셋을 넷째 자리로 반올림한 값입니다. 0.5774를 눈여겨보십시오. 순환소수가 아니라 근의 3분의 1입니다.

2. 각도 45도

   1. 45도에서는 점이 직선 y = x 위에 있으므로 두 좌표가 같습니다
   2. 좌표가 같다는 것은 사인과 코사인이 같은 수라는 뜻이고, 그 값이 √2/2입니다
   3. 같은 두 수의 비는 정확히 1이라서 탄젠트가 여기서 딱 떨어집니다

   90도 아래에서 탄젠트가 정확한 유일한 각입니다. 0.9999가 아니라 1입니다. 사인과 코사인이 둘 다 0.7071인데, 45도를 지나면 사인은 계속 오르고 코사인은 내려가므로 이 값이 제1사분면에서 둘이 함께 닿는 가장 큰 값입니다. 탄젠트가 사인을 코사인으로 나눈 값과 같으면서 답이 깔끔하게 나오는 각도 여기뿐입니다.

3. 제2사분면의 각도 135도

   1. 135도는 직각을 45도 지난 자리이므로 점이 제2사분면에 있습니다
   2. y좌표는 여전히 양수라서 사인은 그대로 0.7071입니다
   3. x좌표는 이제 음수라서 코사인이 -0.7071입니다
   4. 탄젠트는 양수를 음수로 나눈 비이므로 음수입니다

   이 예제의 요점은 부호입니다. 135도의 사인은 45도의 사인과 정확히 같고, 코사인은 부호가 뒤집혔으며 탄젠트도 함께 뒤집혔습니다. 아래 표를 위에서 아래로 읽으면 사인 열은 처음 두 사분면에서 양수이고 나머지 둘에서 음수입니다. 코사인 열은 90도에서 바뀌고 탄젠트 열도 90도에서 바뀌는데, 그 자리가 탄젠트가 값이 없어지는 자리와 같습니다.

이 페이지가 하지 않는 일이 셋 있습니다. 각도를 읽어 비율을 내놓을 뿐, 반대 방향으로 가지는 않습니다. 0.5를 쥐고 그 사인을 가지는 각도를 원한다면 여기서는 알 수 없습니다. 그 일은 역삼각함수 페이지가 하고, 그것은 답의 집합 자체가 다른 별개의 질문입니다. 사인 0.5는 각도 하나의 것이 아니기 때문입니다. 둘째, 직각이나 사분의 삼 회전의 탄젠트는 근삿값으로 대신하지 않고 거절하며, 그 둘로 줄어드는 모든 각도, 음수와 한 바퀴를 넘는 각도까지 같은 거절에 들어갑니다. 정직한 처사이지만 450도는 사인과 코사인에게 지극히 평범한 각인데도 이 페이지에서는 오류를 돌려준다는 뜻이기도 합니다. 셋째, 값은 소수 넷째 자리로 주어집니다. 표의 열두 각도에서는 그 자리수로 정확한 값을 볼 수 없습니다. 30도의 코사인은 여기서 0.866이고 정확히는 √3/2입니다. 소수를 더 늘려도 마찬가지인데, 그 각들의 정확한 값이 무리수이기 때문입니다. 아래 표는 소수를 인쇄합니다. 근 자체가 필요하면 정확한 값 표에서 찾으십시오.

탄젠트는 90도에서 왜 값이 없나요?

탄젠트가 사인을 코사인으로 나눈 값이고 90도에서 코사인이 0이기 때문입니다. 점이 원의 꼭대기로 옮겨 가서 x좌표가 0이 되고, 나눌 것이 없습니다. 정직하게 말하면 그 자리의 탄젠트는 아주 큰 수가 아니라 값이 없는 것입니다. 그 각의 사인과 코사인은 1과 0으로 멀쩡히 정의되어 있고, 아래 표에도 그대로 실려 있습니다.

각도를 도로 넣나요, 라디안으로 넣나요?

둘 다 됩니다. 입력칸 옆에 단위 선택기가 있고 어느 쪽이든 같은 각도로 읽습니다. 30도와 0.5236 라디안은 넷째 자리까지 같은 세 수를 줍니다. 차이는 한 단위를 전제하는 자료와 맞춰 볼 때만 드러나는데, 교과서가 대개 그렇습니다. 30도의 사인이 2분의 1이라고 적힌 책은 도를 말하고 있는 것입니다.

아래 삼각함수 표는 무엇을 위한 것인가요?

한 바퀴에 넷씩, 열두 각도에 세 함수를 한 줄씩 실었습니다. 열두 각도가 세 함수가 가질 수 있는 부호 조합과 탄젠트의 두 극점, 네 사분면을 모두 덮습니다. 한 열씩 아래로 읽으면 각 함수의 모양이 보입니다. 사인은 1까지 올라갔다 내려오고, 코사인은 같은 모양을 옮긴 것이며, 탄젠트는 한 바퀴가 아니라 반 바퀴마다 반복합니다.

각도가 음수이거나 360도보다 클 수 있나요?

둘 다 됩니다. 어느 쪽도 특별한 경우가 아닙니다. 음의 각도는 반시계가 아니라 시계 방향으로 도는데, 한 바퀴를 더한 양의 각도와 같은 점에 내려앉습니다. -30도와 330도는 같은 각이고 같은 세 값을 줍니다. 한 바퀴를 넘으면 계속 돌 뿐입니다. 390도는 다시 30도입니다. 마지막 위치만 중요하므로 계산기는 각도를 먼저 정리한 뒤 세 비율을 읽습니다.

단위원 페이지와 무엇이 다른가요?

두 페이지는 입력칸을 공유하고 소수점 끝자리까지 일치합니다. 서로 맞춰 보라고 만든 것이기 때문입니다. 차이는 보여 주는 것에 있습니다. 단위원 페이지는 그림을 중심으로 합니다. 반지름 1인 원 위의 점과 그 좌표, 그리고 정확한 값과 함께 놓인 특수각입니다. 이 페이지는 함수와, 그리기 어려운 각을 중심으로 합니다. 음의 각도, 한 바퀴를 넘는 각도, 그리고 탄젠트가 아예 값이 없는 두 각도입니다.

소수 넷째 자리로 충분한가요?

교과서의 답과 틀린 답을 가르기에 넷이면 충분하고, 그 뒤의 자리는 각도에 관한 것이 아니게 됩니다. 표에 있는 각들의 정확한 값은 대개 제곱근과 분수이고 소수 전개가 끝나지도 반복되지도 않습니다. 30도의 코사인은 √3/2이고 0.8660254037844386은 그것을 잘라낸 값이지 다른 수가 아닙니다. 자리를 더 인쇄하면 각도에 없는 정밀도를 있는 것처럼 보이게 합니다.

• Trigonometric Functions — 사인과 코사인과 탄젠트의 정의, 각각의 정의역, 그리고 코사인이 0인 자리에서 탄젠트가 정의되지 않는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine — 단위원이 y좌표로 읽어 내는 함수, 그 주기, 그리고 특수각에서 가지는 값 — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — 나머지 두 함수가 만들어 내는 비, 한 바퀴가 아니라 반 바퀴인 주기, 그리고 90도와 270도의 극점 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 직각삼각형의 세 비를 처음부터, 특수각을 외우게 하지 않고 끌어내며 — Math is Fun (United Kingdom)